Phòng giáo dục Đông hng Trờng THCS Đông Giang Đề khảo sát tìm nguồn học sinh giỏi Môn : Toán9 (Thời gian làm bài 120 Phút) Bài 1 : ( 4 điểm ) 1. Chứng minh rằng nếu a là số nguyên tố lớn hơn 3 thì a 2 - 1 chia hết cho 24 . 2. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : xy - 2x - 3y + 1 = 0 Bài 2 : ( 4,5 điểm ) . Cho hàm số y = x 2 có đồ thị ( P ) và hai điểm A; B thuộc đồ thị ( P ) có hoành độ lần lợt là -1 và 2. 1. Viết phơng trình đờng thẳng AB 2. Vẽ đồ thị ( P ) và tìm toạ độ của điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P ) sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất . Bài 3 : ( 1,5 điểm ). Cho phơng trình bậc hai : ax 2 + bx + c = 0 (a 0) với các hệ số nguyên . Hỏi biệt thức của phơng trình trên có thể bằng một trong hai số 2010 ; 2011 không ? Vì sao? Bài 4 : ( 4 điểm ). Chứng minh rằng nếu 2009 =++ cba và 2009 1111 =++ cba thì một trong ba số phải có một số bằng 2009. Bài 5: ( 6 điểm ) Cho hai đờng tròn (o 1 ) và (o 2 ) cắt nhau tại A và B . Đờng tiếp tuyến chung gần B của hai đờng tròn lần lợt tiếp xúc với (o 1 ) và (o 2 ) tại C và D . Qua A kẻ đờng thẳng song song với CD lần lợt cắt (o 1 ) và (o 2 ) tại I và K . Các đờng thẳng CI ; DK cắt nhau tại H.Chứng minh rằng : a) Đờng thẳng AE vuông góc với đờng thẳng CD b)Tứ giác HCBD là tứ giác nội tiếp . Phạm Ngọc Quang Hớng dẫn chấm khảo sát t×m nguån häc sinh giái M«n : To¸n 9 AI DH Bài 1 : (4 điểm ) 1. (2điểm) : Vì a là số nguyên tố lớn hơn 3 nên 3 là số lẻ và không chia hết cho 3 do đó ta có : *a = 2k +1 ( k Z ; k > 1) =>A = a 2 -1= (a-1)(a+1) = 2k(2k+2) =>A = 4k(k+1) ;=>A 8 *a = 3q+1 hoặc a = 3q-1 ( q Z ; q > 1) + a = 3q+1 =>A = a 2 -1= (a-1)(a+1) =3q(3q+2) =>A 8 + a = 3q- 1 =>A = a 2 -1= (a-1)(a+1) =3q(3q- 2) =>A 8 Từ đó ta có ( 3,8 ) = 1 => a là số nguyên tố lớn hơn 3 thì a 2 - 1 chia hết cho 24 . 2.(2điểm) : xy - 2x - 3y + 1 = 0 <=> y(x- 3) = 2x-1 . (*) Vì x = 3 không là nghiệm của phơng trình nên (*) <=> 3 5 2 3 12 += = x x y . Vì y Z nên 5 x- 3 => x- 3 nhận các giá trị 1; 5 . Từ đó xác định đợc hai nghiệm nguyên dơng (x,y ) của phơng trình đã cho là (4, 7) ; ( 8,3) 1điểm 1điểm 1điểm Bài 2 : ( 6 điểm ) 1. Vì A; B (P) có phơng trình y = x 2 nên A(-1;1); B(2;4) Phơng trình đờng thẳng AB có dạng y= ax +b (*) 1 = - a+b Thay toạ độ của A; B vào (*) ta có : 4 = 2a+b <=> a = 1 Vậy phơng trình đờng thẳng AB là y = x +2 b = 2 2. 4 điểm - Học sinh vẽ đúng , - Gọi m là hoành độ của M ta có M(m;m 2 ) với -1 m 2 Gọi C; N; D là hình chiếu của B; M; A Trên trục hoành ta có : ND = m+1; NC = 2- m ; CD = 3 S AMB =S ABCD - (S AMNB + S BCNM ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + ++ + = 2 24 2 11 2 41 .3 22 mmmm 8 27 8 27 2 1 2 3 2 633 2 2 + = ++ = m mm Đẳng thức xẩy ra khi 2 1 = m thoả mãn -1 m 2. =>M ( 2 1 ; 4 1 ) Khi đó tam giác MAB có diện tích lớn nhất . Bài 3 : ( 4 điểm ) 1điểm 1điểm 1điểm 2điểm 1điểm y H A K C I B D . Phòng giáo dục Đông hng Trờng THCS Đông Giang Đề khảo sát tìm nguồn học sinh giỏi Môn : Toán 9 (Thời gian làm bài 120 Phút) Bài 1 : ( 4 điểm ) 1 phơng trình trên có thể bằng một trong hai số 2010 ; 2011 không ? Vì sao? Bài 4 : ( 4 điểm ). Chứng minh rằng nếu 20 09 =++ cba và 20 09 1111 =++ cba thì