BỘ ĐỀ THI HSG TOÁN 9 (CÓ ĐÁP ÁN)

1 Học sinh lên bảng vẽ hình Giáo viên gọi ý để học sinh trả lời từng ý một.. Đề tổng hợp kiến thức học sinh giỏi1/ Chứng minh rằng nếu một đởng thẳng không đi qua gốc toạ độ, cắt trục ho

Đề tổng hợp kiến thức học sinh giỏi

Môn : Toán lớp 9

Câu 1 : a) Tính A =

3 2 2

1 3

2 2

Câu 3 :

a) Biết a , b , c là số đo 3 cạnh của một tam giác Chứng minh phơng trình :

x2 + ( a - b - c )x + bc = 0 vô nghiệm

b) Cho M = x2 + y2 + 2z2 + t2 ; với x , y , z , t là số tự nhiên

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị tơng ứng của x,y,z,t biết rằng: 

3

21

2 2 2

2 2 2

z y x

t y x

Câu 4 :

Cho đoạn thẳng AB=2a , trên AB lấy một điểm C tuỳ ý Vẽ đờng tròn tâm I đờng kính AC và vẽ đờng tròn tâm K đờng kính BC MN là tiếp chung ngoài của hai đờng tròn (M (I),N (K)) ; Cx là tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn

a) Chứng minh các đờng thẳng AM,BN,Cx đồng quy tại một điểm D

b) Xác định vị trí của điểm C trên AB sao cho tứ giác DMCN có diện tích lớn nhất

2 3

2 4 2

3 3

2 3

3

2 )

1 3 ( 2

2 )

1 3 ( 2

= 2

3 9

) 3 3 3 3 ( 2

x = 3

b) x2 + 4x + 5 = (x+2)2 +1 > 0 với mọi x , nên y xác định với mọi x ;

từ đó ta cũng có y > 0

x y

x y

; từ đó ta tìm đợc (x=-2;y=1)

Câu 3 :

a) (1đ) = (a-b-c)2 - 4bc = a2 + b2 +c2 - 2ab - 2ac + 2bc - 4bc

= a2 + b2 +c2 - 2ab - 2ac - 2bc =

= a2 - a(b+c) + b2 - b(a+c) + c2 - c(a+b)

Vì a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên :

0 <a<(b+c) ; suy ra a2 < a(b+c) ; do đó a2 - a(b+c) < 0

0 <b<(a+c) ; suy ra b2 < b(a+c) ; do đó b2 - b(a+c) < 0

0 <c<(a+b) ; suy ra c2 < c(a+b) ; do đó c2 - c(a+b) < 0

Từ đó suy ra < 0 Vậy phơng trình vô nghiệm

3

*) ( 21

2 2 2

2 2 2

z y x

t y x

; cộng vế với vế ta đợc : 2(x2 + y2 + 2z2 + t2) - t2 = 122 ;

suy ra M=

2

61 2





 ; do đó Min M = 61 khi t = 0 Với t = 0 từ (*) suy ra x2 - y2 = 21 hay (x-y)(x+y)= 21

1

y x y

3

y x y

x

y

x

, thay vào (**) ta tìm đợc z=4 Vậy Min M=61 khi x=5,y=2,z=4,t=0

Câu 4 :

a)

Gọi D là giao điểm của AM và BN

Q là giao điểm của MN và Cx

Theo tính chất của tiếp tuyến ta có

Vậy AM,BN,Cx đồng quy tại D

DC DB

DA

DC DB

DC DA

DC

.

2 3 3

a

a a

DC AB

x x x

x

x x

Bài 3

Giải phơng trình: (2x + 1)2(x + 1)x = 105

§Ị tỉng hỵp kiÕn thøc häc sinh giái

Cho điểm M nằm trong tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng :

4 SABC  AM.BC + BM.CA + CM.AB

Do : a4 – 1  5 vaứ b4 – 1  5Hỏi: Em hãy cho biết bạn đã dùng những kiến thức nào để làm bài tập trên?

F

E M

C B

Lấy (1) + (2) vế theo vế

Ta được : BE AM + CF AM  BA’ AM + CA’ AM

Hay : ( BE + CF ) AM  AM ( BA’ + CA’)

Nên : ( BE + CF ) AM  AM BC

Do đó ta có tổng diện tích :

2 ( SABM + SACM )  BC AM  SABM + SACM 12 BC AM (*) Tương tự ta chứng minh được :  SABM + SCBM 12 AC BM (**)

 SACM + SCBM 12 AB CM (***)Cộng vế theo vế (*) , (**), (***) cho ta

2(SABM + SACM + SCBM) 12 ( BC AM + AC BM + AB CM )

 2 S ABC 12 ( BC AM + AC BM + AB CM )

 4 S ABC  BC AM + AC BM + AB CM ( ĐPCM)

D Bµi tËp vỊ nhµ

Bµi 1 :

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa

2 2

3 5 1

y x

 



 Bµi 2

Cho a, b ≥ 0 tho¶ m·n : a b  1 Chøng minh r»ng: ab(a + b) 2 ≤ 641

DÊu b»ng x¶y ra khi nµo ?

Bàµi3: Cho biĨu thøc

P =     1 a3

2 2 a a 1 2

1 a

1 2

Bài 2: Cho x, y lµ hai sè kh¸c nhau tháa m·n: x2 + y = y2 + x

Tính gi¸ trÞ cđa biĨu thøc : P = x2xy y2-1xy

§Ị tỉng hỵp kiÕn thøc häc sinh giái

Bài 1: Chứng minh rằng nếu phơng trình bậc hai a x 2 b x c   0 có hai nghiệm dơng

2 Cho các số thực dơng x; y; z thoả mãn: x3 y3 z3  3xyz 0

Tính giá trị của biểu thức: Bx y 27y x 6z x 2008

Bài 4: Cho đờng tròn (O; R) và một đờng thẳng d đi qua O Lấy A và B là hai điểm

thuộc d sao cho OA = OB < R; M là điểm tuỳ ý trên (O; R) thoả mãn OM không vuông góc với d đồng thời M không thuộc d Các đờng thẳng MA, Mo,

MB Cắt (O; R) lần lợt tại Q, R, P (khác M) Đờng thẳng PQ cắt d tại S

Hỏi: Em đã dùng kiến thức nào để làm bài này?

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 2

x   x   M

d S C D

Q II P R

Không làm mất tính tổng quát giả sử MA > MB

1 Gọi C; D là giao điểm của d với (O; R) Ta có CMD  900

Mà OA = OB < R  A và B nằm giữa C và D AMB nhỏ hơn CMD  AMB là góc nhọn

Kẻ BH vuông góc với AM thì H nằm giữa AvàM (Vì MA

> MB)Xét tam giác vuông AHB và MHB, theo định lý Pitago ta có:

AB AH HB và có HB <MB; AH < MA

(1)(2)

O

EI

B

HA

K

VậyMA2 MB2 AH2 HB2  MA2 MB2 AB2 (đpcm)

2 Kẻ QE // d (E MP) Gọi I là trung điểm của PQ và

K QE MR Ta có OI PQ( Bán kính vuông góc với dây tại trung điểm của dây)

Theo GT OA = OB suy ra KQ = KE ( Vì QE // AB)Vì K là trung điểm của QE và I là trung điểm của PQ nên IK//PE

Do đó:QIK QPE   (1) (Hai góc đồng vị)

mà QRM QPM (2) (Cùng chắn cung QM của (O) )

Từ ( 1) và (2) suy ra QRK QIK   suy ra tứ giác QRIK là tứ giác nội tiếp

Ta có: KQI BSQ (3) ( hai góc đồng vị ) KQI KRI (4) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung

KI của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác QRIK)

Từ (3) và (4) suy ra tứ giác SRIQ là tứ giác nội tiếp

2 Với x, y, z là các số nguyên dơng ta có

x y z   12 x y z  2x y z   12.Mặt khác:

x y z   12 x y z  2  2x y z    1 x y z  2 2x 2y

(x y z   1) 2 x y z  2 2x y z    1 x y z  2 2x 2y

Từ đó suy ra :x y z  2 2x 2y là số chính phơng thì

x y z  2 2x 2y= x y z  2 suy ra x = y

Víi x = y tuú ý th×: x y z  2 2x 2y= 2x z 2 lu«n lµ sè chÝnh ph¬ng.

VËy c¸c bé ba sè x; y; z tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n lµ (n; n; k) víi n; k lµ c¸c sè nguyªn tuú ý

1 : a a

1 1

a a

a) Rót gän P

b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi a = 3 + 2 2

c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a sao cho P < 0

§Ò tæng hîp kiÕn thøc häc sinh giái



x + x  1 + x 2 = 2 5



y + y  1 + y2 Chøng minh r»ng: x = y

2 1

3

a x

ax a

x ax

Hớng dẫn giải Bài 1.1

Hỏi: Khi nào đựơc gọi là số chính phơng?

Học sinh: Số chính phơng là bình phơng của số tự nhiên

Học sinh len bảng làm

Giả sử tồn tại số tự nhiên n thoả mãn n2 + 2006 là số chính phơng

thì n2 + 2006 = m2 với m là số tự nhiên => (m-n)(m+n) = 2006 (*)

Khi đó:

- nếu m và n khác tính chẵn lẽ thì (m-n)(m+n) lẻ Mâu thuẫn với (*)

- nếu m và n cùng tính chẵn lẽ thì (m-n)(m+n) chia hết cho 4, nhng 2006 không chia hết cho 4 Cũng mâu thuẫn với (*)

Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm: x =

2

37

5  và x =

2 37

5 

Chú ý: Có thể ch/m x = y bằng cách loại trừ các khả năng x < y; x > y

Bài 3

Giáo viên: Trong bài này áp dụng bất đẳng thức cô si để làm

Do phơng trình x2 - 3ax - a = 0 có hai nghiệm phân biệt là x 1 và x 2 nên ta có : 9a2 + 4a

> 0 (1) ; x1 - 3ax1 - a = x2 - 3ax2 - a = 0 ; x1 + x2 = 3a

=> x1 = 3ax1 + a ; x2 = 3ax2 + a (2)

2 1 2 2

2 1

3

a x

ax a

x ax

4

a a a

a



Theo (1) thì 9a2 + 4a > 0 nên áp dụng BĐT Côsi, ta đợc A  2

A = 2 <=> 9a2 + 4a = a2 <=> a = -1/2

Dễ kiểm tra thấy với a = -1/2 thì x1 = -1 và x2 = -1/2

Vậy Anhỏ nhất = 2, đạt đợc khi a = -1/2 ; x1 = -1 và x2 = -1/2

4 1)

Học sinh lên bảng vẽ hình

Giáo viên gọi ý để học sinh trả lời từng ý một

Hỏi: Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta cần chứng minh điều gì?

Học sinh: để chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta đi chứng minh góc tạo bởi 3 điểm đó bằng góc bẹt

Hỏi: Em nào chứng minh đợc điều này?

Học sinh: Lên bảng làm:

Dễ thấy AKBO, BLCO, CMDO và DNAO là các tứ giác nội tiếp

và các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD tơng ứng là phân giác các góc A, B, C, D của tứ giác ABCD

Có éKOL + éLOM = p - éOKB - éOLB + p - éOLC - éOMC

= p - éBAO - éBCO + p - éCBO - éCDO

= 2p - ( éA + éB + éC + éD )/2 = 2p - p = p

Từ đó suy ra các điểm K, O, M thẳng hàng

4 2

Giáo viên: Chứng minh tơng tự nh trên ta đợc ba điểm naof thẳng hàng?

Học sinh: Chứng minh tơng tự ta đợc ba điểm N, O, L thẳng hàng.

Giáo viên cho học sinh lên bảng làm.

Học sinh lên bảng làm.

Chứng minh tơng tự nh trên, ta đợc N, O, L thẳng hàng

Ta chứng minh tứ giác KLMN nội tiếp Thật vậy, có:

éNKL + éNML = éAKO + éOKB + éDMO + éOMC

Giáo viên chép lên bảng bài tập về nhà cho học sinh chép vào vở ghi

Baì 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab

Tính giá trị của biểu thức: P =

b a

b a



Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x2 +2y2 = 5xy

Tính giá trị của biểu thức E = x y

y x

xz x

yz





Đề tổng hợp kiến thức học sinh giỏi

1/ Chứng minh rằng nếu một đởng thẳng không đi qua gốc toạ độ, cắt trục hoành tại

điểm có hoành độ bằng a, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b thì đờng thẳng đó

2/Cho đờng thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1

a/ Chứng minh rằng đờng thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi m

c/ Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đờng thẳng là lớn nhất.Bài 6 Cho tam giác OAB (OA = OB) Vẽ đờng cao OH, AK biết OA = a, AOH  a/ Tính các cạnh tam giác AKB theo a và 

b/ Tính các cạnh của các tam giác OKA và AKB theo a và 2 Từ đó biểu diễn sin2, cos2 theo sin , cos

Bài 7 :

Cho hình vuông ABCD O là một điểm thuọc miền trong hình vuông sao cho OA : OB: OC = 1 : 2 : 3 Tính số đo góc AOB ?

Hớng dẫn trả lời

Hỏi : Hãy nêu cách tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ?

Học sinh : Ta phải chứng minh biểu thức đó lớn hơn hoặc bằng một hằng số

Học sinh lên bảng làm

Bài 1 Ta có: M = (x2 – 2x + 1) + (y2 + xy + 1) + xy – x – y + 1 + 2008 = (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x – 1)(y – 1) + 2008 = (x – 1)2 +

2008 )

1 ( 4

3 2

1 ).

1 (

4

3 )

2

1 ( ) 1

0 2

1 1

y

y x

1 ( )

1 (

1

k k

k k

k

k k

1 1

k k k

k k

2 2 1

1 1

k k k

k k

Giáo viên yêu cầu học sinh lên bảng làm

1 2 1

1 2 2 3

1 2 )

1 (

1

n n

n

1

1 1 2 )

1 (

1

1 3

1 1 2

Giáo viên vừa chữa vừa h ỡng dẫn cho học sinh.

Đặt t = x + y + z  Q, Ta có: x + y = z - t  x + y + 2 xy = z + t2 –2t z

 2 xy = - x – y + z + t2 - 2t z  4xy = (x + y + z – t2)2 + 4t2 + 4t (x + y – z – t2) z

0 x

y

t y z

x

; 0

; 0

; 0

; 0

( 4

4 4

) (

2

2 2

2

z y x t t

xy zt

z y x t

Q Lập luận tơng tự, ta suy ra: x, y  Q

Bài 5

Giáo viên: Hãy nêu cách làm bài này?

1) Gọi đờng thẳng cần xác định là y = mx + n

Đờng thẳng đi qua điểm (0 ; b) nên : b = m.0 + n  n = b

Đờng thẳng đi qua điểm (a ; 0) nên: 0 = m.a + b  m =

x b

x a

b

a

x là tức

2a) Điều kiện cần và đủ để đờng thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (1) đi qua điểm

cố định N(xo,yo) là:

(m – 2)xo + (m – 1)yo = 1 với mọi m  mxo – 2xo + myo – yo – 1 = 0 với mọi

o o o

o o o

y x y

x y x

Vậy các đờng thẳng (1) luôn đi qua điểm cố định N (-1; 1)

b) Gọi A là giao điểm của đờng thẳng (1) với trục tung Ta có: x = 0  y =

1 ) 2

3 ( 2 5 6 2 ) 2 ( ) 1 ( 1 1

2 2

OB OA

a) Ta có BAK = AOH = α Từ tam giác vuông OHA, ta có AH = OAsinα =

asinα vậy AB = 2asinα , mặt khác trong tam giác vuông AKB thì AK = AB

cosα suy ra AK = 2a.sinα.cosα và BK = AB.sinα nên BK = 2a.sin2α

b) Với tam giác OKA : AK = OA sin AOK nên AK = asin2α OK =

OAcos AOK nên OK = acos2α

- Với tam giác AKB ta có : AK = asin2α mà BK = OB – OK= a – acos2α

hay BK = a(1 – cos2α)

Theo Pitago thì AB2 = AK2 + BK2 = a2sin22α + a2(1 – cos2a2) = a2

sin 2 2 ( 1 2 cos 2 cos 2 2 )





    Vì sin22α + cos22α = 1 nên AB2 = a2(1 + 1 – 2cos2α)

= 2a2(1 - cos2α)

- So sánh giá trị của AK, ta có asin2α = 2a.sinα cosα vậy sin2α = 2sinα.cosα

- So sánh giá trị của BK ta có: 2a.sin2α = a(1 – cos2α) hay cos2α = 1 – 2sin2α

Hỏi: Em đa dùng kiến thức nào để làm bài này?

b b

a

1 1 1

A

DO

xK

Dựng tia Bx nằm trên nửa mặt phẳng không chứa điểm O với bờ là đờng thẳng

BC sao cho xBC = ABO Trên tia Bx lấy điểm K, sao cho BK = BO Do BOK là tam giác vuông cân nên BKO = 45o Từ  ABO =  CBK, suy ra KC = OA Đặt

OA = a vì OA : OB : OC = 1 : 2 : 3 nên CK = a ; OB = BK = 2a, OC = 3a Trongtam giác vuông OBK ta có OK2 = OB2 + BK2 = 8a2 Vì vậy OK2 + CK2 = 8a2 + a2

= 9a2 Mặt khác OC2 = 9a2 nh vậy, OC2 = OK2 +KC2 Theo định lí Pitago đảo thì

OKC vuông tại K hay OKC = 90o Vì CBK= ABO và BCK = BAO, hơn nữa cácgóc này nhọn, nên K thuộc phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đờng thẳng song

song AB và CD.Từ đó BKC = BKO + OKC = 45o + 90o = 135o Vì BKC =

AOB suy ra AOB = 135o

a 2 1

a

1 : 1 a

a 1 P

Cho tửự giaực ABCD coự E, F laàn lửụùt laứ trung ủieồm cuỷa caực caùnh AD, BC ẹửụứng thaỳng EF caột caực ủửụứng thaỳng AB, CD laàn lửụùt taùi M, N.

Chửựng minh raống MA.NC = MB.ND

a 2 1

a

1 : 1 a

a 1 P

a Ruựt goùn P b Cho a19 8 3 Tớnh P

Giáo viên: hãy nêu điều kiện xác định của biểu thức?

Giáo viên: Hãy dùng giả thiết để làm bài này.

Giáo viên: Hãy dùng công thức tổng quát để tính tổng?

Em nào biến đổi đợc công thức tổng quát của bài này?

Học sinh lên bảng biến đổi công thức tổng quát và làm bài tập trên

Vẽ đường cao AH, ta có:

Xeựt  EAG vaứ  EDH coự:

AEG DEH, AE DE(gt), EAG EDH    (do AG // DH),

Do ủoự EAG EDH g.c.g 

Hỏi: Em đã dùng kiến thức nào để làm bài này?

3

b

y a

Bài 4: Cho

b a b

y a

2008

) (

2

b a b

y a

3 5 1

y x

Cho đờng tròn tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau

E là điểm bất kì trên cung AD Nối EC cắt OA tại M, nối EB cắt OD tại N

1 Chứng minh rằng tích OM ON

AM DN là một hằng số Suy ra giá trị nhỏ nhất của tổng

AM DN , khi đó cho biết vị trí của điểm E ?

2 Gọi GH là dây cung cố định của đờng tròn tâm O bán kính R đã cho và GHkhông phải là đờng kính K là điểm chuyển động trên cung lớn GH Xác định

vị trí của K để chu vi của tam giác GHK lớn nhất

Hớng dẫn trả lời

Bài 1

1.1

Giáo viên: Em nào làm đợc bài này?

Gợi ý: Các em đa phơng trình trên về phơng rình trị tuyệt đối

Vậy tập nghiệm của pt (1) là: S 1; 81

Giáo viên: Hãy nhận xét bài làm của bạn.

Học sinh đứng tại chỗ nhận xét bài làm của bạn.

Học sinh lên bảng làm: Nếu học sinh dùng cách đa về dạng quen thuộc đã làm thì giáo viên giới thiệu cách làm sau đây.

Dùng công thức nghiệm của phơng trình bạc hai

Giáo viên: Hãy sử dụng công thức nghiệm của phơng trình bậc hai để làm

Để có nghiệm nguyên thì đen ta của phơng trình bậc hai phải nh thế nào?

Học sinh: Đen ta phải là số chính phơng

Thay các giá trị y2;y6 vào pt (***) và giải pt theo x có các nghiệm nguyên (x; y) là:

Giáo viên cho học sinh lên bảng vẽ hình và ghi giả thiết kết luận của bài toán

Học sinh lên bảng làm theo yêu cầu của giáo viên

Gợi ý: Các em dùng kiến thức về tâm giác đồng dạng để chứng minh

2 2

x y

x y xy

 E là trung điểm của dây cung AD.

Nêú học sinh không làm đợc cho học sinh suy nghĩ trao đổi và tìm ra hớng giải của bài tốaêụhc sinh thảo luận theo nhóm hai ngời một để tìm ra lời giải

3.2

Hỏi: Chi vi của tam giác GKH đợc tính theo công thức nào?

Hỏi: Chu vi đó lớn nhất khi nào?

mà

2

GKH  GH

(góc nội tiếp chắn cung nhỏ GH cố định), do đó GNH

không đổi Vậy N chạy trên cung tròn (O') tập hợp các điểm nhìn đoạn GH dới góc

Vậy: Chu vi của GKH lớn nhất khi K là trung điểm của cung lớn GH.

Giáo viên: Em hãy nêu những kiến thức đã dùng trong bài này?

( ) )(

( ) )(

(

2 2

2

a c b c

c a

b c b

b c

a b a

1 Giải hệ phơng trình:

4 4

Bài 2:

1 Xác định hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên và diện tích cũng là sốnguyên gồm 4 chữ số, trong đó các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm giốngnhau

2 A, B, C là một nhóm ba ngời thân thuộc Cha của A thuộc nhóm đó,cũng vậy con gái của B và ngời song sinh của C cũng ở trong nhóm đó Biết rằng C vàngời song sinh của C là hai ngời khác giới tính và C không phải là con của B Hỏitrong ba ngời A, B, C ai là ngời khác giới tính với hai ngời kia ?

Giáo viên: hãy nêu điều kiện để hệ phơng trình có nghiệm?

Học sinh đứng tại chỗ trả lời.

x y