BỘ ĐỀ THI HSG TOÁN 9 (CÓ ĐÁP ÁN)

Ti Liu Bi Dng HSG B Đề tổng hợp kiến thức học sinh giỏi Môn : Toán lớp 9 Câu 1 : a) Tính A = 322 1 322 1 + ++ b) So sánh : 2008 2009 2009 2008 + và 2008 2009+ Câu 2 : a) Giải phơng trình : x 2 + x + 12 1 + x = 36 b) Tìm các số nguyên x , y sao cho : y= 54 2 ++ xx Câu 3 : a) Biết a , b , c là số đo 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh phơng trình : x 2 + ( a - b - c )x + bc = 0 vô nghiệm b) Cho M = x 2 + y 2 + 2z 2 + t 2 ; với x , y , z , t là số tự nhiên . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị tơng ứng của x,y,z,t biết rằng: =++ =+ 10143 21 222 222 zyx tyx Câu 4 : Cho đoạn thẳng AB=2a , trên AB lấy một điểm C tuỳ ý . Vẽ đờng tròn tâm I đờng kính AC và vẽ đờng tròn tâm K đờng kính BC . MN là tiếp chung ngoài của hai đờng tròn (M )(),( KNI ) ; Cx là tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn . a) Chứng minh các đờng thẳng AM,BN,Cx đồng quy tại một điểm D . b) Xác định vị trí của điểm C trên AB sao cho tứ giác DMCN có diện tích lớn nhất . Câu 5 : Chứng minh rằng nếu ba + > 2 thì phơng trình sau có nghiệm 2ax 2 + bx +1 - a = 0 Hớng dẫn trả lời GV biờn son: Nguyn Minh Nht 1 Ti Liu Bi Dng HSG B Câu 1 : Giáo viên vừa hớng dẫn vừa yêu cầu học sinh làm theo giáo viên. a) A = 3242 2 3242 2 + ++ ( Nhân tử và mẫu với 2 ) = 33 2 33 2 )13(2 2 )13(2 2 + + = + ++ = 2 39 )3333(2 = ++ b)Hỏi: Em nào làm đợc bài này? Ta có 2008 2009 2009 2008 + = 2009 1 2008 1 2009 2008 + + = = 2009 1 2008 1 2009 2009 2008 2008 + + = = ( 2008 2009+ )+ 1 1 ( ) 2008 2009 Ta thấy 1 1 2008 2009 2008 2009 < > Do đó 1 1 2008 2009 >0 ; suy ra ( 2008 2009+ )+ 1 1 ( ) 2008 2009 > 2008 2009+ Vậy 2008 2009 2009 2008 + > 2008 2009+ Câu 2 : a) Gợi ý: Dùng phơng pháp đặt ẩn phụ để làm. x 2 + x + 12 1 + x = 36 x(x+1)+ 12 1 + x = 36 KX : x 1 Đặt 1+x = t 0 ; phơng trình trở thành : ( t 2 - 1 )t 2 + 12t = 36 GV biờn son: Nguyn Minh Nht 2 Ti Liu Bi Dng HSG B t 4 - ( t - 6 ) 2 = 0 ; suy ra (t 2 - t + 6)(t 2 + t - 6) = 0 Phơng trình t 2 - t + 6 = 0 vô nghiệm Phơng trình t 2 + t - 6 = 0 có nghiệm là t 1 = -3< 0 (loại) t 2 = 2 > 0 Với t = 2 thì 1 + x =2 ; từ đó tìm đợc nghiệm của phơng trình là : x = 3 b) x 2 + 4x + 5 = (x+2) 2 +1 > 0 với mọi x , nên y xác định với mọi x ; từ đó ta cũng có y > 0 . Bình phơng 2 vế y= 54 2 ++ xx ta đợc : y 2 = (x+2) 2 +1 (y + x + 2)(y - x - 2 ) = 1 Vì x,y là số nguyên nên (y + x + 2) và (y - x - 2 ) cũng nhận giá trị nguyên . Ta thấy tổng và tích của 2 biểu thức này là dơng nên ta có : = =++ 12 12 xy xy ; từ đó ta tìm đợc (x=-2;y=1) Câu 3 : a) (1đ) = (a-b-c) 2 - 4bc = a 2 + b 2 +c 2 - 2ab - 2ac + 2bc - 4bc = a 2 + b 2 +c 2 - 2ab - 2ac - 2bc = = a 2 - a(b+c) + b 2 - b(a+c) + c 2 - c(a+b) Vì a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên : 0 <a<(b+c) ; suy ra a 2 < a(b+c) ; do đó a 2 - a(b+c) < 0 0 <b<(a+c) ; suy ra b 2 < b(a+c) ; do đó b 2 - b(a+c) < 0 0 <c<(a+b) ; suy ra c 2 < c(a+b) ; do đó c 2 - c(a+b) < 0 Từ đó suy ra < 0 . Vậy phơng trình vô nghiệm . GV biờn son: Nguyn Minh Nht 3 Ti Liu Bi Dng HSG B b) Từ hệ =++ =+ (**)10143 *)(21 222 222 zyx tyx ; cộng vế với vế ta đợc : 2(x 2 + y 2 + 2z 2 + t 2 ) - t 2 = 122 ; suy ra M= 2 61 2 122 22 tt += + ; do đó Min M = 61 khi t = 0 Với t = 0 từ (*) suy ra x 2 - y 2 = 21 hay (x-y)(x+y)= 21 Có 2 trờng hợp xảy ra : + = = =+ = 10 11 21 1 y x yx yx (loại vì không thoả mãn (**) ) + = = =+ = 2 5 7 3 y x yx yx , thay vào (**) ta tìm đợc z=4 Vậy Min M=61 khi x=5,y=2,z=4,t=0 Câu 4 : a) Gọi D là giao điểm của AM và BN Q là giao điểm của MN và Cx . Theo tính chất của tiếp tuyến ta có QM=QC=QN ; Từ đó suy ra MCN vuông . Tứ giác DMCN có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật ; Mà Q là trung điểm của MN , suy ra Q là trung điểm của DC . GV biờn son: Nguyn Minh Nht 4 Q I m CB = 3 cm Distance A to CB = 0 cm m AC = 5 cm O N M KC B x A D Ti Liu Bi Dng HSG B Vậy AM,BN,Cx đồng quy tại D. b) Gọi O là trung điểm của AB , Suy ra DO= 2 AB =a S DMCN =DM.DN= === DCAB DC DBDA DC DB DC DA DC . 4422 222 2333 a a a a DC AB DC === ; Từ đó ta có S DMCN lớn nhất bằng 2 2 a khi DC=a ; lúc đó C O . Câu 5 : Giả sử phơng trình vô nghiệm , ta có : = b 2 - 8a(1-a) < 0 (1) , do đó 0 < b 2 < 8a(1-a) hay a(1-a) > 0 Từ đó ta có 0 <a < 1 , suy ra a = a . Từ (1) , ta lại có b < 2 )1(2 aa , vậy =+<+ )1(22 aaaba = 1)12(1)1()1(222 2 +=++ aaaaaa (2) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki , ta có : ( [ ] )1()12()1.1.2()12 22 aaaaaa +++=+ = 3 (3) Kết hợp (2) với (3) , ta có : ba + < 3 -1 = 2 ; trái với giả thiết . Vậy phơng trình có nghiệm . Hỏi: Trong bài học hôm nay các em đã dùng những đơn vị kiến thức nào? Học sinh trả lời: D. Bài tập về nhà. Bài 1. Rút gọn biểu thức A = 24923013 +++ Bài 2. Chứng minh rằng với x > 0, x 1, biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: 1 . 11 2 + + + + ++ x xxxxx xx xx xx xx . Bài 3. GV biờn son: Nguyn Minh Nht 5 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề Gi¶i ph¬ng tr×nh: (2x + 1) 2 (x + 1)x = 105 §Ị tỉng hỵp kiÕn thøc häc sinh giái M«n : To¸n líp 9 Bài 1 Cho hai số nguyên dương a và b ( ) a b≥ đều không chia hết cho 5 . Chứng minh rằng a 4 – b 4 M 5. Bài 2 : a) Rút gọn : ( ) 2 1 : 1 1x x x − − − − b) Tính : ( ) ( ) 4 15 . 10 6 . 4 15+ − − Bài 3 : Cho a > 2 ; b > 2 . Chứng minh rằng : ab > a + b Bài 4 : Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức sau : A = 2 1 2 1x x x x + − + − − Bài 5 : Cho điểm M nằm trong tam giác ABC nhọn . Chứng minh rằng : 4 S ABC ≤ AM.BC + BM.CA + CM.AB ---*--- GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 6 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề HƯỚNG DẪN Bài 1 : Gi¸o viªn: C¸c em mn lµm ®ỵc bµi to¸n nµy chóng ta ph¶i vËn dơng tÝnh chÊt chia hÕt mµ c¸c em ®· häc ë líp 6. Hái: Em nµo lµm ®ỵc bµi nµy? Häc sinh: Suy nghÜ lµm. Ta có bài toán phụ sau : ; 5n n / ∈Ζ M Chứng minh rằng : n 4 – 1 M 5 Do : n 4 – 1 = ( n 2 – 1 ).( n 2 + 1 ) n / M 5 ⇒ n chia 5 dư ± 1 hoặc ± 2 • Nếu n chia 5 dư ± 1 ⇒ n 2 chia 5 dư 1 ⇒ n 2 – 1 M 5 Do đó : n 4 – 1 M 5 • Nếu n chia 5 dư ± 2 ⇒ n 2 chia 5 dư 4 ⇒ n 2 + 1 M 5 Do đó : n 4 – 1 M 5 Áp dụng cho bài toán trên : Do : a 4 – 1 M 5 và b 4 – 1 M 5 Hái: Em h·y cho biÕt b¹n ®· dïng nh÷ng kiÕn thøc nµo ®Ĩ lµm bµi tËp trªn? Bài 2 : Gi¸o viªn gäi hai em lªn b¶ng lµm. Häc sinh lªn b¶ng lµm. a) Rút gọn : ( ) 2 1 : 1 1x x x − − − − ( ) ( ) ( ) ≠ ≥ = − − − − = − − − − 2 : 2; 1 2 1 : 1 1 1 1 : 1 1 ĐK x x x x x x x GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 7 Ti Liu Bi Dng HSG B ( ) = > > = = < < > > = = < < 1 1 : 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 x x Neỏu x Neỏu x Neỏu x Neỏu x Neỏu x Neỏu x Neỏu x Neỏu x b) Tớnh : ( ) ( ) 4 15 10 6 4 15+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + = + = + = + = + = + = + = = 2 2 2 2 4 15 . 5 3 . 2. 4 15 4 15 . 5 3 . 2. 4 15 4 15 . 5 3 . 8 2 15 4 15 . 5 3 . 5 3 4 15 . 5 3 . 5 3 4 15 . 5 3 4 15 . 8 2 15 4 15 . 4 15 .2 4 15 .2 2 Baứi 3 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ; 0 . 2. 1 2 ; 0 . 2. 2 1 2 : . . 2. 2. 2 . 2. . Do a b neõn a b b vaứ b a neõn a b a Tửứ vaứ Ta ủửụùc a b a b a b a b a b a b a b ẹPCM > > > > > > + > + > + > + Baứi 4 : Giáo viên hớng dẫn Các em dùng bất đẳng thức sau để làm bài này. a b a b+ + GV biờn son: Nguyn Minh Nht 8 A' F E M CB A • Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 : 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 A x x x x ĐK x A x x x x A x x A x x Ápdụngbấtđẳngthức a b a b tacó A x x x x = + − + − − ≥ = − + − + + − − − + = − + + − − = − + + − − + ≥ + = − + + − − ≥ − + + − − = = ( ) ( ) 1 1 1 1 0 2 1 2 1 2 1 2 x x A x x Vậy Mim A khi x  − + − − ≥  = ⇔ ⇔ ≤ ≤  ≥   = ≤ ≤ Bài 5 : Cho điểm M nằm trong tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng : 4.S ABC ≤ AM . BC + BM . CA + CM . AB Kéo dài AM cắt cạnh BC tại A’ Vẽ BE ⊥ AM tại E ( E ∈ AM ) CF ⊥ AM tại F ( F ∈ AM ) Ta có : BE. AM ≤ BA’. AM (1) CF. AM ≤ CA’. AM (2) GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 9 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề Lấy (1) + (2) vế theo vế Ta được : BE. AM + CF. AM ≤ BA’. AM + CA’. AM Hay : ( BE + CF ). AM ≤ AM ( BA’ + CA’) Nên : ( BE + CF ). AM ≤ AM . BC Do đó ta có tổng diện tích : 2 ( S ABM + S ACM ) ≤ BC. AM ⇔ S ABM + S ACM 1 2 ≤ BC. AM (*) Tương tự ta chứng minh được : ⇔ S ABM + S CBM 1 2 ≤ AC. BM (**) ⇔ S ACM + S CBM 1 2 ≤ AB. CM (***) Cộng vế theo vế (*) , (**), (***) cho ta 2(S ABM + S ACM + S CBM ) 1 2 ≤ ( BC. AM + AC. BM + AB. CM ) ⇔ 2 . S ABC 1 2 ≤ ( BC. AM + AC. BM + AB. CM ) ⇔ 4 . S ABC ≤ BC. AM + AC. BM + AB. CM ( ĐPCM) D. Bµi tËp vỊ nhµ. Bµi 1 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa 2 2 3 5 1 x x y x + + = + . Bµi 2. Cho a, b ≥ 0 tho¶ m·n : 1 =+ ba . Chøng minh r»ng: ab(a + b) 2 ≤ 64 1 . DÊu b»ng x¶y ra khi nµo ? Bàµi3: Cho biĨu thøc. P = ( ) ( ) 3 a1 2 2 a a12 1 a12 1 − + − − + + a) Rót gän P. b) Tìm Min P. Bài 2: Cho x, y lµ hai sè kh¸c nhau tháa m·n: x 2 + y = y 2 + x Tính gi¸ trÞ cđa biĨu thøc : P = 1 -xy xy 2 y 2 x ++ GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 10 [...]... + 1).( a − 1) 2 a −1 b/ Ta có: GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 26 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG ( a = 19 − 8 3 = 4− 3 19 − 8 P= 9 ( 24 − = Bộ Đề ) 2 1 ( 4 − 3 ) + = 19 − 3 +4 − 3 + =24 − 3 8 1 9 4− 3 − 1 3− 3 1 (4 − 3) − 3 )( 3 + 3 ) 72 + 24 3 − 27 3 − 27 45 − 3 3 15 − = = = 2 3+ 2 9 3 6 6 2 3 Bài 2: Gi¸o viªn: H·y dïng gi¶ thi t ®Ĩ lµm bµi nµy 1 1 1 + + = 0 Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 = 1 a b c Cho a... Nhật 16 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề Do ph¬ng tr×nh x2 - 3ax - a = 0 cã hai nghiƯm ph©n biƯt lµ x1 vµ x2 nªn ta cã : 9a2 + 4a > 0 (1) ; x12 - 3ax1 - a = x22 - 3ax2 - a = 0 ; x1 + x2 = 3a => x12 = 3ax1 + a ; x22 = 3ax2 + a (2) 3ax 2 + x12 + 3a a2 a2 9a 2 + 4a + Khi ®ã: A = = 9a 2 + 4a + 2 a2 3ax1 + x 2 + 3a a2 Theo (1) th× 9a2 + 4a > 0 nªn ¸p dơng B§T C«si, ta ®ỵc A ≥ 2 A = 2 9a2 + 4a = a2 a = -1/2... x + y + z ) − 2 x + 2 y lµ sè chÝnh ph¬ng 2 GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 11 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề Híng dÉn gi¶i GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 12 bµi Bµi 1 ®¸p ¸n Hái: H·y nªu c¸ch lµm cđa bµi tËp nµy? Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG 1 1 2 Víi x0 > 0 ta cã : ax0 + bx0 + c = 0 ⇔ a + b x + c x 2 = 0 0 0 Bộ Đề Do ®ã nÕu x1 ; x2 lµ nghiƯm d¬ng cđa PT: a.x 2 + b.x + c = 0 th× : x3 = 1 1 ; x4 = lµ nghiƯm... b a +b − c 2 2 x4 y4 1 + = ; a b a+b x2 + y2 = 1 Ch÷ng minh r»ng: a) bx2 = ay2; GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 29 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG b) Bộ Đề y 2008 x 2008 2 + 1004 = 1004 a b (a + b) 1004 §Ị tỉng hỵp kiÕn thøc häc sinh giái M«n : To¸n líp 9 Bµi 1: 1 Gi¶i ph¬ng tr×nh: x +1− 2 4 x + x + 9 − 64 x = 2 2 Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ c¸c sè kh«ng ©m vµ b lµ sè trung b×nh céng cđa a vµ c th× ta cã:... Nguyễn Minh Nhật 24 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: A = x2007 + y2007 + z2007 Bµi 3: Cho a + b + c = 0 vµ a2 + b2 + c2 = 14 TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: P = a4 + b4 + c4 §Ị tỉng hỵp kiÕn thøc häc sinh giái M«n : To¸n líp 9 Bài 1   a   1 2 a :   P = 1 +    a −1 − a a + a − a −1  a +1    Cho biểu thức: a Rút gọn P b Cho a = 19 −8 3 Tính P Bài 2: 1 1 1 Cho a + b... dïng c¸ch ®a vỊ d¹ng quen thc ®· lµm th× gi¸o viªn giíi thi u c¸ch lµm sau ®©y Dïng c«ng thøc nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh b¹c hai y= x 2 + 3x + 5 2 x 2 + 1 (x¸c ®Þnh víi mäi x ∈ R ) ⇔ ( y − 1) x − 3x + y − 5 = 0 (**) • y = 1: pt (**) cã nghiƯm x=− GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 4 3 32 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề y ≠ 1: ®Ĩ pt (**) cã nghiƯm th×: ∆ = 9 − 4( y − 1)( y − 5) = −4 y 2 + 24 y − 11 ≥ 0 ⇔ 25 5 5... theo x cã c¸c nghiƯm nguyªn (x; y) lµ: ( x = −1; y = 2), ( x = −3; y = 2);( x = 11; y = −6), ( x = 9; y = −6) GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 33 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề Gi¸o viªn: H·y nhËn xÐt bµi lµm cđa b¹n? Häc Ýnh nhËn xÐt s¶ sai nÕu cã Bµi 3 3.1 Gi¸o viªn cho häc sinh lªn b¶ng vÏ h×nh vµ ghi gi¶ thi t kÕt ln cđa bµi to¸n Häc sinh lªn b¶ng lµm theo yªu cÇu cđa gi¸o viªn Gỵi ý: C¸c em dïng kiÕn... lªn b¶ng chøng minh Ta cã: ∆COM : ∆CED v×: µ µ µ O = E = 90 0 ; C chung Suy ra: OM CO ED.CO = ⇔ OM = (1) ED CE CE Ta cã: ∆AMC : ∆EAC v×: µ C chung , µ = E = 450 Suy ra: A µ AM AC EA AC = ⇔ AM = (2) EA EC CE OM OC.ED ED = = (3) 2 EA Tõ (1) vµ (2): AM AC.EA GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 34 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG ∆ONB : EAB Bộ Đề µ µ µ ( O = E = 90 ; B chung ) ⇒ EA = EB ⇒ ON = 0 ON OB OB.EA (4) EB DN... = 0 CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc 2) Cho xy + yz + zx = 0 vµ xyz ≠ 0 TÝnh gi¸ trÞ cđ biĨu thøc: M= yz xz xy + + x2 y 2 z 2 GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 18 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề §Ị tỉng hỵp kiÕn thøc häc sinh giái M«n : To¸n líp 9 Bµi 1 Cho : M = x2 + y2+xy-3x-3y+2011 Víi gi¸ trÞ nµo cđa x,y th× M ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt T×m gi¸ trÞ ®ã? Bµi 2 Chøng minh r»ng 1 2 1 + 1 3 1 + + 1 < 2 víi mäi n ∈ N* (... th¼ng kh«ng ®i qua gèc to¹ ®é, c¾t trơc hoµnh t¹i ®iĨm cã hoµnh ®é b»ng a, c¾t trơc tung t¹i ®iĨm cã tung ®é b»ng b th× ®êng th¼ng ®ã cã d¹ng x y + = 1 a b GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 19 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề 2/Cho ®êng th¼ng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 a/ Chøng minh r»ng ®êng th¼ng lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh víi mäi m c/ TÝnh gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ kho¶ng c¸ch tõ gèc to¹ ®é O ®Õn ®êng th¼ng lµ lín . + ++ = 2 39 )3333(2 = ++ b)Hỏi: Em nào làm đợc bài này? Ta có 2008 20 09 20 09 2008 + = 20 09 1 2008 1 20 09 2008 + + = = 20 09 1 2008 1 20 09 20 09 2008 2008. Dng HSG B Đề tổng hợp kiến thức học sinh giỏi Môn : Toán lớp 9 Câu 1 : a) Tính A = 322 1 322 1 + ++ b) So sánh : 2008 20 09 20 09 2008 + và 2008 20 09+ Câu