TRƯỜNG THPT TRẦN QUỐC TUẤN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Tổ: Toán - Tin NĂM HỌC 2008-2009 Môn: Toán học - LỚP 10 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút BÀI 1 ( 3 điểm ): Xác định m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: BÀI 2 ( 4 điểm): Cho phương trình . Tìm nghiệm thực của phương trình. BÀI 3 ( 4 điểm): Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: BÀI 4 ( 4 điểm ): Cho các số thực a, b, c > 0 thoả hệ thức a 3 + b 3 + c 3 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = a 2 + b 2 + c 2 BÀI 5 ( 5 điểm ): Cho đường tròn ( C ) với hai dây cung AB, CD cắt nhau tại M. Qua trung điểm S của đoạn BD, kẻ SM cắt AC tại K. a/ Đặt . Chứng minh . b/ Chứng minh ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - ĐÁP ÁN Môn: Toán học - LỚP 10 BÀI 1 ( 3 điểm ĐK x Viết lại phương trình dưới dạng mx =2-m Do đó phương trình có nghiệm duy nhất m BÀI 2 ( 4 điểm ) a/ Ta có x 4 + x 2 +1 = (x 2 +1) 2 – x 2 = (x 2 +x +1) (x 2 -x +1) x 2 -3x +1= 2(x 2 -x +1) – (x 2 +x +1) x 2 -x +1> 0 với mọi x x 2 +x +1> 0 với mọi x P/t x 2 -3x +1 = - 2(x 2 -x +1) – (x 2 +x +1) = - Đặt t = ĐK (có giải thích vì sao) P/trình trở thành 2t 2 + t – 1 = 0 P/trình có 2 nghệm thực t = - ( loại) và t = t = x =1. P/t (1 ) có1 nghiệm thực x = 1 (Có thể giải bằng phép bình phương 2 vế, đưa về phương trình dạng đặt t= x+ ) BÀI 3 ( 4 điểm ) P/ t y 0 = có nghiệm đối với x ( y 0 -1 ) x 2 + 2( y 0 + 1)x + 2(y 0 – 1) = 0 có nghiệm (vì x 2 +x+2 khác 0 với mọi x) 1/ y 0 = 1 là 1 giá trị vì x = 0 là nghiệm 2/ Xét y 0 1. Để phương trình có nghiệm : = ( y 0 + 1) 2 - 2( y 0 - 1) 2 0 - y 0 2 + 6 y 0 - 1 0 3 - 2 Vậy max y = 3+ 2 khi x = - Min y = 3- 2 khi x = BÀI 4 ( 4 điểm ) áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số 1 và 2 số a 3 Ta có Tương tự = b 2 T= a 2 + b 2 + c 2 Dấu bằng xảy ra khi a 2 = b 2 = c 2 = 1 Hay a = b = c = 1 BÀI 5 ( 5 điểm ) a/ Từ giả thiết .(1 ) b/ cùng phương = p = (2) Mà MA.MB= MC. MD = a không đổi (3) Từ (1) (2) (3) suy ra điều cần c/m . THPT TRẦN QUỐC TUẤN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Tổ: Toán - Tin NĂM HỌC 2008-2009 Môn: Toán học - LỚP 10 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - ĐÁP ÁN Môn: Toán học - LỚP 10 BÀI 1 ( 3 điểm ĐK x Viết lại phương trình dưới dạng mx