Sở Giáo dục - đào tạo Thái Bình **** Đề chính thức Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 8 Môn thi: Toán (thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 ( 5điểm) Cho biểu thức A = a 4 + b 4 + c 4 2(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) 1. Phân tích A thành tích các thừa số. 2. Xét dấu của A khi a,b , c là số đo 3 cạnh một tam giác. Bài 2 ( 4điểm) Chứng minh không thể tìm đợc số nguyên x , y , z thoả mãn: x y 3 y z 5 z x 2003 + + = Bài 3 (3điểm) Cho x + y = 2. Chứng minh rằng x 2003 + y 2003 x 2004 + y 2004 . Bài 4 ( 5điểm) Đờng thẳng d đi qua trọng tâm G của V Abc lần lợt cắt các cạnh AB, AC và tia CB tại M, N, và P. Chứng minh: 1) AB AC 3 AM AN + = 2) 2 2 2 AB AC BC 9 AM.BM AN.CN BP.CP + = + Bài 5: (3điểm) Cho hai điểm A và B cố định . Điểm M di động sao cho V MAB có 3 góc nhọn. Gọi H là trực tâm của V MAB, K là chân đờng cao vẽ từ M xuống cạnh AB của V MAB Tìm vị trí của M để giá trị KM.KH lớn nhất. Hớng dẫn giải và biểu điểm Bài ý Nội dung Điểm Bài 1 1 A = a 4 + b 4 + c 4 + 2a 2 b 2 2a 2 c 2 2b 2 c 2 4a 2 b 2 = (a 2 + b 2 - c 2 ) 2 (2a 2 b 2 ) 2 = (a 2 + b 2 - c 2 - 2a 2 b 2 ) (a 2 + b 2 - c 2 + 2a 2 b 2 ) = [(a- b) 2 c 2 )] [(a + b) 2 c 2 )] = (a - b c)(a b + c)(a + b- c)(a + b + c) 0,5 1 1 1 2 Do a b c < 0 a b + c > 0 ; a + b c > 0; a + b + c > 0 => A > 0 1.5 Bài 2 +.Ta có 2x x y x y x y 0 x y + = < Vậy x y x y + luôn chẵn + Tơng tự y z y z; z x z x + + luôn chẵn +. x y 3 y z 5 z x x y y z z x (x y y z z x) 2 y z 4 z x + + = + + + + + + + luôn chẵn, không thể bằng 2003 là số lẻ (đpcm) 1 1 2 Bài 3 Xét ( x 2004 + y 2004 ) (x 2003 + y 2003 ) = x 2003 (x 1) + y 2003 ( y 1) = x 2003 (1 y) + y 2003 ( y 1) (do x 1 = 1 y) Vậy ( x 2004 + y 2004 ) (x 2003 + y 2003 ) = (1 y) ( x 2003 y 2003 ) +.Giả sử x y => x 2003 y 2003 và x 1 y do đó (1 y) ( x 2003 y 2003 ) 0 (đpcm) +. Tơng tự nếu y x => y 2003 x 2003 và y 1 x do đó (1 y) ( x 2003 y 2003 ) 0 (đpcm) (dấu bằng xảy ra khi x = y = 1) 0,5 1 1 0,5 Bài 4 1 +.Vẽ thêm CC 2 , AA 1 ; BB 1 nh hình vẽ +.Chứng minh V BB 1 D = V CC 1 D => 1 1 AB AC AB AC 2AD 2.3AG 3 AM AN AG AG AG 2AG + = + = = = 2 2 +. Chứng minh tơng tự đợc : CA CB 3 CN CP + = +.Ta tính : ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 A A BA A C BA BA BC BA BC 2BA BA BC 3 BM BP BG BG BG BG BG + = = = = = => AB AC CA CB BA BC 9 AM AN CN CP BM BP + + + + = ( ) ( ) ( ) AB AM BM AC AN CN BC BP CP 9 AM.BM AN.CN CP.BP + + + + = 2 2 2 AB AC BC 9 AM.BM AN.CN CP.BP + = + Bài 5 +) V AKH ~ V MKB +) KM.KH = KB.KA A2 M A C B P C2 D G N B1 C1 H A B M K +) 2 2 KA KB AB KA.KB 2 4 + = ữ +) Vậy KM.KH lớn nhất bằng 2 AB 4 khi K là trung điểm của BC +.M nằm trên đờng trung trực của AB cách K ( K là TĐ của AB) một khoảng lớn hơn AB 2 để V MAB nhọn. . y 0 x y + = < Vậy x y x y + luôn chẵn + Tơng tự y z y z; z x z x + + luôn chẵn +. x y 3 y z 5 z x x y y z z x (x y y z z x) 2 y z 4 z x + + = + + + + + + + luôn chẵn,. AN.CN CP.BP + + + + = 2 2 2 AB AC BC 9 AM.BM AN.CN CP.BP + = + Bài 5 +) V AKH ~ V MKB +) KM.KH = KB.KA A2 M A C B P C2 D G N B1 C1 H A B M K +) 2 2 KA KB AB KA.KB 2 4 + = ữ +) Vậy KM.KH. c 2 )] [(a + b) 2 c 2 )] = (a - b c)(a b + c)(a + b- c)(a + b + c) 0,5 1 1 1 2 Do a b c < 0 a b + c > 0 ; a + b c > 0; a + b + c > 0 => A > 0 1.5 Bài 2 +. Ta có 2x