Gián án hsg toan 9 10 -11 hot

Kì thi chọn học sinh giỏi huyện lớp 9 vòng 1 nĂm học 2010- 2011 đề thi môn: toán Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề có 01 trang Câu 1 (1,5 điểm) Cho biểu thức 2 1 . 1 1 2 1 2 1 x x x x x x x x M x x x x x x + + = + + a) Hãy tìm điều kiện của x để M có nghĩa, rút gọn M. b) Với giá trị nào của x thì M đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị nhỏ nhất đó của M? Câu2 (2,0 điểm) a) Giải phơng trình 2 2 4 1 2 2 1x x x x x + = + + b) Giải bất phơng trình 2 3 4 2 2 ( 1) 1 ( 1) x x x x x x x + + + + + Câu 3 (1,0 điểm) Cho ABC có diện tích bằng 1(đvdt). Gọi a,b,c và h a , h b , h c tơng ứng là độ dài các cạnh và đờng cao của ABC. Chứng minh: (a 2 + b 2 + c 2 )( h a 2 + h b 2 + h c 2 ) 36. Dấu bằng xảy ra khi nào? Câu 4 (2,0 điểm) a) Tìm các số x,y nguyên dơng thoả mãn phơng trình: 6x 2 + 5xy 25y 2 -221 = 0 b) Tính tổng sau: 1 1 1 . 2 1 1 2 3 2 2 3 2011 2010 2010 2011 S = + + + + + + Câu 5 (2,5 điểm) Cho đờng tròn tâm O, và một điểm A nằm bên ngoài đờng tròn. Qua A kẻ hai đ- ờng thẳng cắt đờng tròn O tại các điểm B,C và D,E tơng ứng (B nằm giữa A và C, D nằm gữa A và E). Đờng thẳng qua D và song song với BC cắt đờng tròn O tại điểm thứ hai F. Đờng thẳng AF cắt đờng tròn O tại điểm thứ hai G. Hai đờng thẳng EG và BC cắt nhau tại M. Chứng minh: a) AM 2 = MG.ME b) 1 1 1 AM AB AC = + Câu 6 (1,0 điểm) Với các số a,b,c là các số thực dơng thoả mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng: 2 2 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) a b c a b c ab a bc b ca c + + + + + + + + + + Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Đề chính thức Họ và tên thí sinh: .SBD: Hớng dẫn chấm thi Chọn học sinh giỏi huyện lớp 9 vòng 1 nĂm học 2010-2011 Môn: toán Câu 1 (1,5 điểm) Cho biểu thức 2 1 . 1 1 2 1 2 1 x x x x x x x x M x x x x x x + + = + + a, Hãy tìm điều kiện của x để M có nghĩa, rút gọn M. b, Với giá trị nào của x thì M đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị nhỏ nhất đó của M? Nội dung Điểm M có nghĩa khi 0 0 1 0 0 1 1 0 0 ( 1)(2 1) 0 1 2 1 0 2 1 0 4 2 1 0 x x x x x x x x x x x x x x x + + 0,25 2 1 . ( 1)( 1) 1 ( 1)(2 1) 2 1 2 1 2 . 1 2 1 2 1 ( 1)(2 1) 1 x x x x x x x M x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = + + + + + = + = = = + + + + + 0,5 Do x 0 nên ( 1) 0, 1x x x x+ + + >0 vì vậy ( 1) 0 1 1 x x x x M x x x x + + = = + + + + MinM = 0 khi x = 0 0,75 Câu2 (2,0 điểm) a) Giải phơng trình 2 2 4 1 2 2 1x x x x x + = + + b) Giải bất phơng trình sau: 2 3 4 2 2 ( 1) 1 ( 1) x x x x x x x + + + + + Nội dung Điểm a, 2 2 4 1 2 2 1x x x x x + = + + (1) ĐK: x 1 2 0,25 (1) 2 1( 2 1 1) ( 2 1 1) 0 ( 2 1 1)( 2 1 ) 0 2 1 1 1 1 2 1 x x x x x x x x x x x x + = + = = = = + = 0,5 Nhận xét: x=-1 không thuộc tập xác định => loại nghiệm x = -1 0,25 Vậy nghiệm của phơng trình là x=1 b) ĐK: x > 0 chia cả 2 vế cho 2 ( 1)x x + và biến đổi BPT trở thành 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x + + + + + (1) 0,25 Đặt 1 2x t x + = khi đó (1) trở thành 1 1 1 1 1 1t t t t t t t t + Do cả 2 vế dơng biến đổi chỉ ra đợc 2 1 1 0t t Điều này luôn đúng với t 2 Vậy BPT đã cho có nghiệm x > 0 0,75 Câu 3 (1,0 điểm) Cho ABC có diện tích bằng 1(đvdt). Gọi a,b,c và h a , h b , h c tơng ứng là độ dài các cạnh và đờng cao của ABC. Chứng minh: (a 2 + b 2 + c 2 )( h a 2 + h b 2 + h c 2 )36. Dấu bằng xảy ra khi nào? Nội dung Điểm áp dụng BĐT Cô-si với bộ ba số dơng a,b,c và h a , h b , h c ta có: 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 ( )( ) 9 (1) a b c a b c a b c a b c a b c a b c h h h h h h a b c h h h a b c h h h + + + + => + + + + Lại có: ah a = bh b = ch c = 2S ABC = 2. Thay vào (1) ta có: 2 2 2 2 2 2 3 ( )( ) 9 64 36 a b c a b c h h h+ + + + = Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c a b c h h h = = = = =>ABC đều 0,5 0,5 Câu 4 (2,0 điểm) a, Tìm các số x,y nguyên dơng thoả mãn: 6x 2 + 5xy 25y 2 -221 = 0 b, Tính tổng sau: 1 1 1 . 2 1 1 2 3 2 2 3 2011 2010 2010 2011 S = + + + + + + Nội dung Điểm a, 6x 2 + 5xy 25y 2 -221 = 0 (2x+5y)(3x-5y) = 13.17 0,5 Do x,y Z + nên 2x+5y > 0 => 3x-5y > 0, do đó 2x+5y và 3x-5y là các ớc tự nhiên của 221 0,5 Tìm đợc x = 6, y = 1 là nghiệm nguyên dơng duy nhất của phơng trình đã cho b, Chứng minh đợc với mọi k = 1,2,3 n ta có 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1. ( 1 ) 1. ( 1 ) 1. 1. 1 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k + + = = = = + + + + + + + + + + + 0,5 Vậy S = 1 1 1 1 . . 1 2 1 1 2 3 2 2 3 2011 2010 2010 2011 2011 + + + = = + + + 0,5 Câu 5 (2,5 điểm) Cho đờng tròn tâm O, và một điểm A nằm bên ngoài đờng tròn. Qua A kẻ hai đ- ờng thẳng cắt đờng tròn O tại các điểm B,C và D,E tơng ứng (B nằm giữa A và C, D nằm gữa A và E). Đờng thẳng qua D và song song với BC cắt đờng tròn O tại điểm thứ hai F. Đờng thẳng AF cắt đờng tròn O tại điểm thứ hai G. Hai đờng thẳng EG và BC cắt nhau tại M. Chứng minh: a) AM 2 = MG.ME b) 1 1 1 AM AB AC = + Vẽ đúng hình 0,5 C F G E D A O B M a, Từ hình vẽ ta có MAF =AFD (so le trong) MEA = AFD ( cùng chắn cung DG) =>MAF = MEA Xét MAG và MEA có M chung MAF = MEA => MAG MEA: (g-g) nên 2 . MA MG MA ME MG ME MA = = (1) 0,5 0,25 b, Xét MBG và MCE có : MBG =MEC (cùng bù với CBG) M chung => MBG MCE (g-g) nên . . MB MG MB MC ME MG ME MC = = (2) 0,5 Từ (1) và (2) => MA 2 = MB.MC hay MA 2 = (AB-AM) (AC-AM) = AB.AC- AM(AB+AC) + AM 2 => AB.AC = AM(AB+AC) D đó 1 1 1 . AB AC AM AB AC AC AB + = = + 0,5 0,25 Câu 6 (1,0 điểm) Với các số a,b,c là các số thực dơng thoả mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng: 2 2 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) a b c a b c ab a bc b ca c + + + + + + + + + + Nội dung Điểm áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-Côpski, ta có: 2 2 2 2 ( ) 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) a b c a b c a b c ab a bc b ca c ab a bc b ca c + + + + + + + + + + + + + + + + + + 0,25 Do abc =1 nên ta có : 2 2 2 2 2 2 2 1 ; 1 1 1 1, 1 1 1 ( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ab ab c abc abc ab a a ab ca c a ab a bc abc ab a b c ab a bc b ca c a b c a b c ab b bc b ca c a b c dpcm a b c ab b bc b ca c = = = + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 0,25 0,25 0,25 Lu ý: Trên đây chỉ là đáp án sơ lợc của một cách giải, học sinh làm cách khác mà vẫn đúng thì cho tối đa theo thang điểm trên. Tổ chấm có thể chia nhỏ điểm đến 0,25. Điểm bài thi của học sinh là tổng điểm của toàn bài không làm tròn. . Kì thi chọn học sinh giỏi huyện lớp 9 vòng 1 nĂm học 2 010- 2011 đề thi môn: toán Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề. sinh: .SBD: Hớng dẫn chấm thi Chọn học sinh giỏi huyện lớp 9 vòng 1 nĂm học 2 010- 2011 Môn: toán Câu 1 (1,5 điểm) Cho biểu thức 2 1 . 1 1 2 1 2 1 x x x x