SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH SÓC TRĂNG Năm học 2010-2011 Đề chính thức Môn: Toán - Lớp 9 (Thời gian làm bài 150 phút, không kể phát đề) ________________ HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1. (4điểm) a) Điều kiện: ≠ ≥ 1 0 a a 0,5đ A = 1 1 1 1 1 2 − + − ++ + + − + a a aa a aa a = 1 1 1 1 1)( 2 3 − − ++ + + − + aaa a a a 0,5đ = )1)(1( )1()1)(1(2 ++− ++−−+++ aaa aaaaa 0,25đ = )1)(1( ++− − aaa aa 0,25đ = )1)(1( )1( ++− − aaa aa 0,25đ = 1++ aa a . 0,25đ b) Ta có: 3 1 1 3 1 ++ ⇔ aa a A 0,5đ 13 ++⇔ aaa 0,25đ 012 +−⇔ aa 0,25đ ( ) 1,0,01 2 ≠≥∀−⇔ aaa 0,5đ Vậy 3 1 A với mọi 0 ≥ a và 1 ≠ a . 0,5đ Bài 2. (4điểm) a) Chứng minh rằng 12 24 nn − với mọi số tự nhiên n. ( ) ( ) 1.1 24 +−=− nnnnnn 0,5đ Nhận xét: 12 = 3.4 và ƯCLN(3, 4) = 1. 0,25đ Trong 3 số tự nhiên liên tiếp, sẽ có một số chia hết cho 3. ( ) ( ) 311 +− nnn ( ) 1,3 24 Nnnn ∈∀−⇒ 0,5đ Tích 2 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2. 1 ( ) 21 −nn ( ) 21 +nn ( ) 2,4 24 Nnnn ∈∀−⇒ 0,5đ Từ (1) và (2), ta có: .,12 24 Nnnn ∈∀− 0,25đ b) Gọi số phải tìm là abcd . Xóa đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được .ab 0,25đ Theo đề bài ta có: 5445=− ababcd 0,25đ 5445.100 =−+ abcdab 0,25đ 5445.99 =+ cdab 0,25đ abcd .9955.99 −= 0,25đ )55.(99 abcd −= 0,25đ Tích của 99 với một số tự nhiên là một số tự nhiên nhỏ hơn 100. Suy ra ( ) ab−55 phải bằng 0 hoặc bằng 1. - Nếu ab−55 = 0 thì ab = 55 và cd = 00 => số phải tìm là 5500. 0,25đ - Nếu ab−55 = 1 thì ab = 54 và cd = 99 => số phải tìm là 5499. 0,25đ Bài 3. (4điểm) Gọi vận tốc của xe khách là x (km/h), vận tốc của xe tải là y (km/h). 0,5đ Điều kiện: x > 0, y > 0. Ta có hệ phương trình: = =+ y x x y yx 25,4 3005,42 1,5đ Đưa về phương trình: x 2 + 240x – 18000 = 0 0,5đ Giải ra: x = 60 ( thích hợp), y = 40 ( thích hợp). 1đ Trả lời: Vận tốc xe khách là 60 km/h, 0,25đ Vận tốc xe tải là 40 km/h. 0,25đ Bài 4. (4điểm) Hình vẽ 0,5đ a) ( ) ANAQgcgADNABQ =⇒∆=∆ 0,5đ ( ) PNPQcgcANPAQP =⇒∆=∆ 0,5đ Chu vi ∆ CPQ = CP + PQ + QC = CP + PN + QC 0,25đ = CP + PD + DN + QC 0,25đ = CP + PD + BQ + QC 0,25đ 2 = CD + BC = 2a ( không đổi). 0,25đ b) Kẻ AH ⊥ PQ. Ta có AH = AD = a ( Do ∆ APQ = ∆ APN). 1đ Vậy PQ luôn tiếp xúc (A; AH = a). Với a là độ dài cạnh hình vuông. 0,5đ Bài 5. (4điểm) Hình vẽ 0,25đ a) Tính số đo của góc COD 1đ OC là tia phân giác của AOM∠ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OD là tia phân giác của MOB∠ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Mà: AOM∠ và MOB∠ là hai góc kề bù ⇒ OC ⊥ OD hay COD∠ = 90 0 b) Chứng minh: OI = 1 CD 2 và OI vuông góc với AB Xét ∆OCD vuông tại O có OI là trung tuyến ⇒ OI = 1 CD 2 (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền). 0,5đ Ta có: AC ⊥ AB, BD ⊥ AB ⇒ AC // BD ⇒ ACDB là hình thang. Có O là trung điểm của AB; I là trung điểm của CD ⇒ OI là đường trung bình của hình thang ACDB 0,25đ ⇒ OI // AC // BD Vậy OI ⊥ AB. 0,25đ c) Chứng minh: AC.BD = R 2 . Trong tam giác vuông OCD có OM 2 = MC.MD ( HTL trong tam giác vuông). 0,25đ Mà AC = MC (tctt) 0,25đ BD = MD (tctt) và OM = R . 0,25đ Vậy AC.BD = R 2 d) Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất. 1đ AB không đổi nên chu vi hình thang ABDC nhỏ nhất ⇔ CD nhỏ nhất ( CD = AB) ⇔ CD // AB ⇔ OM ⊥ AB ⇔ M chia đôi cung AB (tức là điểm M nằm chính giữa của nửa đường tròn đường kính AB). Ghi chú: Thí sinh có thể giải theo cách khác. Nếu đúng vẫn cho trọn số điểm theo qui định của từng phần hoặc từng bài. 3 . (4điểm) a) Điều kiện: ≠ ≥ 1 0 a a 0,5đ A = 1 1 1 1 1 2 − + − ++ + + − + a a aa a aa a = 1 1 1 1 1)( 2 3 − − ++ + + − + aaa a a a 0,5đ = )1)(1( )1()1)(1(2 ++− ++−−+++ aaa aaaaa 0,25đ . )1)(1( ++− − aaa aa 0,25đ = )1)(1( )1( ++− − aaa aa 0,25đ = 1++ aa a . 0,25đ b) Ta có: 3 1 1 3 1 ++ ⇔ aa a A 0,5đ 13 ++⇔ aaa 0,25đ 012 +−⇔ aa 0,25đ ( ) 1,0,01 2 ≠≥∀−⇔ aaa 0,5đ . 0,25đ 5445 .99 =+ cdab 0,25đ abcd .99 55 .99 −= 0,25đ )55. (99 abcd −= 0,25đ Tích c a 99 với một số tự nhiên là một số tự nhiên nhỏ hơn 100. Suy ra ( ) ab−55 phải bằng 0 hoặc bằng 1. - Nếu ab−55