0

Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 2

10 303 0

Đang tải.... (xem toàn văn)

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 14/09/2013, 12:10

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Môn thi: Toán - Đề 1 Thời gian làm bài: 180 phút CâuI (2 điểm): Cho hàm số: y = x 3 +mx 2 +9x+4 (Cm) 1. Tìm m để (Cm) cực đại, cực tiểu? 2. Tìm m để (Cm) 1cặp điểm đối xứng qua O(0; 0)? CâuII (2 điểm): 1. Tính: I= 3/ 4/ 4 xdxtg 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng y = x 2 ; y= 4x 2 ; y = 4. CâuIII (2 điểm): 1.Cho phơng trình: (m+3)x 2 - 3mx + 2m = 0 Xác định m để phơng trình 2 nghiệm x 1 và x 2 sao cho 2x 1 - x 2 = 3. 2 Xác định m để tam thức bậc hai: f(x)= x 2 +(3-m)x -2m + 3 luôn luôn dơng với x 4 Câu IV (2 điểm): 1. giải hệ phơng trình: x + y + xy = 11 x 2 + y 2 + 3(x + y) = 28 2. Giải và biện luận phơng trình: mxmxx += 2 Câu V (2 điểm): Cho phơng trình: 2Cos 2 x - (2m+1)Cosx +m = 0 1. Giải phơng trình với m = 2 3 2. Tìm m để phơng trình nghiệm x sao cho x 2 3 ; 2 Câu VI (2 điểm): 1. CMR trong ABC ta có: tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC 2. nếu ABC là nhọn, c/m tgA + tgB + tgC 33 Câu VII (2 điểm): 1. Tìm: 1 23 lim 3 1 x xx x 2. Giả phơng trình: 8.3 x + 3.2 x = 24 + 6 x Câu XIII (2 điểm): 1. giải phơng trình: log 2 (3.2 x - 1) = 2x + 1 2. Cho (H) phơng trình: x 2 - 3y 2 = 1 và đờng thẳng : kx + 3y -1 = 0 a, Xác định k để tiếp xúc với (H) b, Tìm tọa độ tiếp điểm. Câu IX (2 điểm): 1. Cho 3 mp (P), (Q), (R) các phơng trình lần lợt là: (P): Ax + By + Cz + D 1 = 0 (1) (Q): Bx + Cy + Az + D 2 = 0 (2) (P): Cx + Ay + Bz + D 3 = 0 (3) Với điều kiện A 2 + B 2 + C 2 > 0 và AB + BC + CA = 0 CMR: 3mp (P), (Q), (R) đôi một vuông góc. 2. Cho tứ diện ABCD AB mp(BCD), BCD vuông tại C CMR 4 mặt của tứ diện là những vuông. Câu X (2 điểm): 1. Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác . CMR: a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ac) 2. bao nhiêu số tự nhiên (đợc viết trong hệ đếm thập phân) gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi 1 khác nhau. Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 Năm học: . Hớng dẫn chấm thi Môn: Toán- Đề số I (Bản hớng dẫn chấm gồm 7 trang) Câu I: 1. y' = 3x 2 + 2mx + 9 Hàm số CĐ CT' y' = 0 2 nghiệm phân biệt (0,5đ) ' = m 2 - 27 > 0 m (-; 33 ) ( 33 ;+) (0,5đ) 2. Giả sử A(x 1 ; y 1 ) và B(-x 1 ; -y 1 ) đối xứng nhau qua gốc tọa độ và cùng thuộc (Cm) (0,25đ) Khi đó: y 1 = 49 1 2 1 3 1 +++ xmxx (1) -y 1 = 49 1 2 1 3 1 ++ xmxx (2) (0,25đ) Lấy (1) cộng với (2) (vế với vế) ta p/t: 04 2 1 =+ mx (0,25đ) 4 2 1 = mx nghiệm m < 0 (0,25đ) Câu II: 1. Ta có: I = dx x x 2 3/ 4/ 2 2 cos sin = ( ) dx x x 3/ 4/ 4 2 2 cos cos1 (0,25đ) = dxdx x dx dx x dx + 3/ 4/ 3/ 4/ 2 3/ 4/ 4 cos 2 cos (0,25đ) = ( ) 3/ 4/ 3/ 4/ 3/ 4/ 2 2)(1 xtgxtgxdxtg ++ (0,25đ) = 123 2 2 3 1 3/ 4/ 3/ 4/ 3/ 4/ 3 +=+ + xtgxxtgtgx (0,25đ) 2. Giao điểm hai đờng y=x 2 hoành độ là : x 2 Giao điểm y=4 với y = 4x 2 hoành độ là x= 1 Giao điểm hai đờng y=x 2 và y= 4x 2 hoành độ x=0 (0,5đ) Diện tích miền cần tính (miền gạch chéo nh hình vẽ) là : S=2 + dxxdxxx 2 1 2 1 0 22 44 y = 4 y = x 2 y = 4x 2 y x = 2 + 1 0 2 1 2 2 1 2 43 dxxdxdxx = 2 + 2 1 3 2 1 1 0 3 3 1 4 xxx = 3 16 (đv dt) (0,5đ) Câu III 1. Giả sử phơng trình 2 nghiệm x 1 ,x 2 ta : + = = + =+ 3 2 32 3 3 21 21 21 m m xx xx m m xx (đk m-3) (0,25đ) Từ (1) và (2) ta : x 1 = 3 32 + + m m và x 2 = 3 3 + m m (0,25đ) Thay vào (3) ta đợc 1 99 3 )3(2)3)(32( 3 3 2 3 3 3 32 = = +=+ + = + ì + + m m m mmmm m m m m m m m (0,25đ) Với m=-1 phơng trình viết : 2x 2 +3x -2 =0 x 1 = 2 1 , x 2 =-2. Vậy m=-1 là giá trị cần tìm. (0,25đ) 2. Tam thức đã cho dơng với x - 4 Khi vµ chØ khi                 <− >− ≥∆ <∆ ⇔         <≤− ≥∆ <∆ 2 4 0)4( 0 0 4 0 0 21 s af xx (0,25®) ⇔ 2/7 132/7 13 5 2/7 13 13 0 2 5 072 032 032 2 2 −>⇒    >∨−≤<− <<− ⇔             −> −> ≥∨−≤ <<− ⇔                 > + >+ ≥−+ <−+ m mm m m m mm m m m mm mm (0,5®) C©u IV: 1. §Æt    = =+ Pxy Syx ⇔    =−+ =+ )2(2823 )1(11 2 PSS PS (0,25®) (1) ⇒ P = 11 - S thÕ vµo (2) ta ®îc: S 2 + 5S - 50 = 0 gi¶i ®îc: S 1 = 5; S 2 = -10 -4 x S/2 2 1 x HÖ (0,25 ®) + + – * với S 1 =5 P 1 = 6 hệ (I) = =+ 6 5 xy yx (0,25đ) * với S 2 = -10 P 2 = 21 hệ (II) = =+ 21 10 xy yx (0,25đ) * giải hệ (I) ta đợc 2 nghiệm (2; 3) và (3; 2) * giải hệ (II) ta đợc 2 nghiệm (-3; -7) và (-7; -3) vậy hệ phơng trình 4 nghiệm: (2; 3); (3; 2); (-3; -7); (-7; -3) (0,25đ) 2. Giải và biện luận phơng trình: mxmxx += 2 Giải: Phơng trình tơng đơng với: = += + )2(3 )1( )()( 0 222 mmx mx mxmxx mx (0,25đ) Xét hai trờng hợp: * m 0: ta có: x= 3 m theo điều kiện (1) ta phải 3 m -m 0 3 2 > m m>0 (0,25đ) * m=0: x đều thỏa mãn phơng trình (2) so sánh với điều kiện (1) ta nhận x0 (0,25đ) Vậy: + m<0 phơng trình vô nghiệm + m>0 phơng trình nghiệm x= 3 m + m=0 phơng trình co nghiệm x 0 (0,25đ) Câu V: Cho phơng trình : 2cos 2 x - (2m+1)cosx + m = 0 Đặt: cosx = t; 1 t p/t 2t 2 - (2m+1)t + m =0 = (2m-1) 2 0 t 1 = 2 1 và t 2 =m (0,25đ) a. với m = 2 3 thì: * nghiệm t 2 = cosx = 2 3 (loại) * vậy t 1 = cosx = 2 1 = cos 3 x= 2 3 k + (k Z) (0,5đ) b. Để phơng trình nghiệm ) 2 3 ; 2 ( x thì cosx < 0 -1 m < 0 (0,25đ) Câu VI: 1. Trong ABC ta A=-(B+C) tgA =tg(-(B+C)) = -tg(B+C) (0,25đ) tgA=- tgCtgB tgCtgB .1 + (0,25đ) tgA-tgA.tgB.tgC = -tgB -tgC (0,25đ) tgA+tgB+tgC = tgA.tgB.tgC (đpcm). (0,25đ) 2.ABC là nhọn nên tgA>0, tgB>0, tgC>0 áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dơng ta có: tgA+tgB+tgC 3 tgC.tgA.tgB3 (0,25đ) từ kết quả câu 1, ta có: tgA+tgB+tgC 3 3 tgCtgBtgA ++ (0,25đ) (tgA+tgB+tgC) 3 27(tgA+tgB+tgC) (0,25đ) (tgA+tgB+tgC) 2 27 tgA+tgB+tgC 33 (đpcm) (0,25đ) Câu VII 1. 1 23 lim 3 1 x xx x = )23)(1( 23 lim 3 6 1 + xxx xx x (0,5đ) = )23)(1( )2)(1( lim 3 12345 1 + ++++ xxx xxxxxx x (0,25đ) 23 )2( lim 3 12345 1 + ++++ xx xxxxx x = 2 3 (0,25đ) 2. giải phơng trình: 8.3 x + 3.2 x =24 + 6 x 8(3 x -3) - 2 x (3 x -3) = 0 (0,25đ) (3 x -3)(8 - 2 x ) = 0 (0,25đ) = = = = 3 1 82 33 x x x x (0,25đ) Vậy phơng trình 2 nghiệm x =1 và x =3 (0,25đ) Câu VIII: 1. Giải phơng trình: log 2 (3.2 x -1)= 2x+1 =+ > = > + 012.32.2 3 1 2 212.3 012.3 2 12 xx x xx x đặt t= 2 x (t>0) (0,5đ) = = > =+ > 2 1 1 3 1 0132 3 1 2 2 1 2 t t t tt x = = 2 1 2 12 x x = = 1 0 x x (phơng trình 2 nghiệm) (0,5đ) 2. Giải a, (H) 1 3/11 22 = yx đởng thẳng (): kx+3y-1 = 0 tiếp xúc với (H) khi và chỉ khi: A 2 a 2 - B 2 b 2 = C 2 2413. 3 1 1. 222 === kkk (0,25đ) giải b: * Khi k=2 ta (): 2x+3y-1=0 (1) gọi M 0 (x 0 , y 0 ) là tiếp điểm của () và (H) áp dụng công thức phân đôi tọa độ ta có: (): x 0 x-3y 0 y-1 = 0 (2) so sánh (1) và (2) ta có: 1 1 1 3 3 2 00 = = = yx (0,25đ) = = 1 2 0 0 y x tiếp điểm M 0 (2, -1) * khi k=-2 ta (' ): -2x+3y-1=0 (3) goi M 1 (x 1 , y 1 ) là tiếp điểm của (') và (H). theo công thức phân đôi tọa độ ta có: ('): x 1 x- 3y 1 y-1 = 0 (4) (0,25đ) Từ (3) và (4) ta có: (thỏa) A B C D = = = = = 1 2 1 1 1 3 3 2 1 1 11 y x yx M 1 (-2, -1) Vậy 2 tiếp điểm là 1)- (-2,M 1)- (2,M 1 0 (0,25đ) Câu IX 1. Các véc tơ pháp tuyến của 3 mp' (P), (Q), (R) lần lợt là: ),,( CBAn P = ),,( ACBn Q = (0,5đ) ),,( BACn R = ta có: 0 . =++=== CABCABnnnnnn PRRQQP Vậy 3 mặt phẳng (P), (Q) ,(R) đôi một vuông góc. (0,5đ) 2. c/m: * AB mp(BCD) BDAB BCAB hay ABC và ABD vuông tại B. gt cho BCD vuông tại C và AB(BCD) nên BC là hình chiếu AC trên (BCD) theo định lí 3 đờng vuông góc CDAC hay ACD vuông tại C. Câu X 1. Cho a, b, c là 3 cạnh của . cm: a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab+bc+ca) Giải: Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của nên: a,b,c dơng và: +< +< +< +< +< +< )3( )2( )1( 2 2 2 bcacc abbcb acaba bac acb cba (0,5đ) cộng vế với vế 3 bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta có: a 2 + b 2 + c 2 <2(ab+bc+ca) (đpcm) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) 2. Giải: các chữ số lớn hơn 4 là 5, 6, 7, 8, 9 (0,25đ) Số các số gồm 5 chữ số lập nên từ các chữ số đó là hoán vị của 5 phần tử. (0,5đ) Tức là: P 5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 (0,25đ) Đáp số: 120 số ---------------------------------------------------------------------------------------- Tài liệu: * Sách giáo khoa môn toán THPT lớp 10, 11, 12 * Sách tham khảo nâng cao của Bộ giáo dục * Sách ôn luyện thi tốt nghiệp BT THPT * Toán nâng cao đại số 10 (NXB Bộ giáo dục) ------------------------------------------------------------------------------------------ . 1 2 21 2. 3 0 12. 3 2 12 xx x xx x đặt t= 2 x (t>0) (0,5đ) = = > =+ > 2 1 1 3 1 01 32 3 1 2 2 1 2 t t t tt x = = 2 1 2 12 x. hình vẽ) là : S =2 + dxxdxxx 2 1 2 1 0 22 44 y = 4 y = x 2 y = 4x 2 y x = 2 + 1 0 2 1 2 2 1 2 43 dxxdxdxx = 2 + 2 1 3 2 1 1 0 3 3
- Xem thêm -

Xem thêm: Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 2, Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 2,

Hình ảnh liên quan

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng y=x 2; y= 4x 2; y= 4. - Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 2

2..

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng y=x 2; y= 4x 2; y= 4 Xem tại trang 1 của tài liệu.
Diện tích miền cần tính (miền gạch chéo nh hình vẽ) là: S=2  −+−∫ - Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 2

i.

ện tích miền cần tính (miền gạch chéo nh hình vẽ) là: S=2  −+−∫ Xem tại trang 3 của tài liệu.
hình chiếu AC trên (BCD) - Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 2

hình chi.

ếu AC trên (BCD) Xem tại trang 9 của tài liệu.