Tài liệu TONG HOP ĐE THI HSG TINH QUANG NGAI TU 2001 - 2010

Bài 4 5 điểm Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn.. Gọi I là một điểm bất kì nằm trên nửa đường tròn đi qua ba điểm A, O, D không chứa điểm O I không trùng với A và D.. Cạnh

Trang 1

Thời gian : 150 phút Ngày thi :

Bài 1 :( 5 điểm)

1 Giải hệ phương trình :

2001 2001 2001 1001

3 2

9

x y z xyz

x y z



 







2 Ba số x,y,z thoả mãn điều kiện : 2x3  9y3  45 và 1 1 1 1

x yz  Chứng minh rằng: 3 2 x2  9 y2  45 z2 3 2  3 9  3 45

Bài 2 ( 5 điểm)

1 Tìm m để phương trình x2 -4|x| + m = 0 có nghiệm duy nhất

2 Tìm giá trị lớn nhất của y = 4 2

16

x

x  , với x R Bài 3 ( 5 điểm)

Một số được gọi là số chính phương nếu nó bằng bình phương của một số tự nhiên nào

đó

1 Hãy tìm tập hợp các số dư khi chia các số chính phương cho 5

2 chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 192n + 5n + 2002 không phải là số chính phương

Bài 4 ( 5 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn M là điểm bất kì trên cung AC

(không chứa điểm B).Kẻ MH vuông góc với AC; MK vuông góc với BC (H thuộc AC, K thuộc BC) Gọi P, Q tươg ứng là trung điểm của AB và KH Chứng minh rằng: tam giác PQM là tam giác vuông

-Hết

-Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

QUẢNG NGÃI Năm học 2003 – 2004

Mơn : Tốn Lớp : 9 Thời gian : 150 phút Ngày thi : 23/3/2004

Bài 1 :( 5 điểm)

1 Thực hiện phép tính :

1  2  2  3 3  4  2002  2003 2003  2004

2 Giải hệ phương trình :

2

3

4

x y z

y x z

z x y



















Bài 2 :( 5 điểm)

1 Trong tất cả các cặp số (x,y) thoả mãn : x2 – yx2 + 2xy – y + 7 = 0 Hãy tìm cặp số mà y có giá trị nhỏ nhất

2 Cho a, b, c là các số thoả mãn các điều kiện: - 1 ≤ a ≤ 2 ; - 1 ≤ b ≤ 2; -1 ≤ c ≤ 2 và

a + b + c = 0 Chứng minh: a2 + b2 + c2 ≤ 6

Bài 3 :( 4 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên a và b để số a4 + 4b4 là số nguyên tố

Bài 4 :( 6 điểm)

1 Cho hình vuông ABCD có tâm O, cạnh bằng 10cm Gọi I là một điểm bất kì nằm

trên nửa đường tròn đi qua ba điểm A, O, D không chứa điểm O (I không trùng với A và D) IO cắt cạnh BC tại J Cạnh DK của hình bình hành IJKD cắt BC tại E, EH là đường cao của tam giác EKJ

a) Tính số đo của góc HEK

b) Chứng minh rằng IJ > 10 2 cm

2 Cho tam giác ABC cố định, xét các hình chữ nhật có hai đỉnh ở trên cạnh BC

của tam giác và hai đỉnh kia ở trên hai cạnh còn lại của tam giác Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất

-Hết

Trang 3

Thời gian : 150 phút Ngày thi : 29/3/2005

Bài 1 :( 5 điểm)

2

2 1

 

2 Cho a + b + c + d = 2 Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 1

Bài 2 :( 5 điểm)

1 Giải hệ phương trình

1 4 9

x xy y

y yz z

z zx x





  



   



2 Tìm tất cả các số thực x1; x2; …; x2005 thoả mãn:

1

2

Bài 3 :( 4 điểm)

1 Cho A = 1 +2 +22 + …+ 22003 + 22004 Chứng minh rằng A chia hết cho 31

2 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n4 + n3 + 1 là số chính phương

Bài 4 :( 6 điểm)

Cho tam giác ABC cân ( AB = AC), nội tiếp trong đường tròn (O) M là điểm bất

kì trên dây BC Qua M vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với AB tại B; Qua M vẽ đường tròn tâm E tiếp xúc với AC tại C Gọi N là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (D) và (E)

a) Chứng minh rằng N thuộc đường tròn (O).

b) Chứng minh rằng tích AM AN không đổi khi M thay đổi trên BC.

c) Khi M thay đổi trên BC thì trung điểm I của đoạn DE chạy trên đường nào?

-Hết

Trang 4

Bài 1 :( 5 điểm)

1 Cho a> 0 và 4a2 a 2  2 0  Chứng minh rằng : 4 2 2

1

2 1

a





2 Giải phương trình: x 2  2x 5  x  2 3 2x 5  7 2

Bài 2 :( 4 điểm)

1 Chứng minh rằng: x, y > 0 thì 1 1x yx y4



2 Cho a > 0; b> 0; c > 0 và a + b + c = 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

P a 1 b 1 c 4

Bài 3 :( 5 điểm)

1 Tìm các số nguyên x để biểu thức x4 – x2 + 2x + 2 là số chính phương.

2 Tìm các số nguyên n để n2006 + n2005 + 1 là số nguyên tố

Bài 4 :( 6 điểm)

1 Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’ theo tỉ số k Gọi AM và

A’M’; R và R’ là các trung tuyến và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tương ứng của hai tam giác đó Chứng minh rằng .

' ' '

k

A M R 

2 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O,R) với BC cố định Các đường

cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của BC và EF

a) Chứng minh rằng AH = 2 OI và AI OI = R AJ b) Chứng minh rằng SABC = ½ R(EF + DE + DF) và hãy xác định vị trí của điểm A để chu vi của tam giác DEF lớn nhất (SABC là kí hiệu diện tích của tam giác ABC)

c) Gọi M là điểm đối xứng của H qua A Khi A thay đổi thì điểm M chạy trên đường nào?

-Hết

Trang 5

Bài 1 :( 5 điểm)

x    Tính giá trị của biểu thức M = x2  x4  x 1.

2 Cho a 0 và b≥ 0 Chứng minh rằng:  2 2 2

2

a b

Bài 2 :( 4 điểm)

1 Giải hệ phương trình:

2

2 2









2 Cho ba số x, y, z thoả mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 1 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = xy + yz + 2zx

Bài 3 :( 5 điểm)

1 Tìm các số nguyên dương n sao cho hai số 2n + 2003 và 3n + 2005 đều là

những số chính phương

2 Cho a, b là các số nguyên và n là số nguyên tố lẻ Chứng minh rằng nếu p4 là ước của a2+b2 và a.(a+b)2 thì p4 cũng là ước của a.(a+b)

Bài 4 :( 6 điểm)

1 Cho đường tròn tâm O, đường kính Bc cố định và điểm A thuộc đường tròn (O).

Kẻ AH vuông góc với BC tại H Gọi I,K theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác AHB và tam giác AHC Đường thẳng IK cắt AB tại M và cắt AC tại N

a) Chứng minh tam giác AMN vuông cân.

b) Xác định vị trí của A để tứ giác BCNM nội tiếp được trong đường tròn c) Chứng minh SAMN≤ ½ SABC (SAMN là diện tích tam giác AMN; SABC là diện tích tam giác ABC)

2 Cho hình vuông ABCD tâm E Một đường thẳng đi qua A và cắt cạnh Bc tại M

(M≠C) và cắt đường thẳng CD tại N Gọi K là giao điểm của các đường thẳng

EM và BN Chứng minh rằng CK vuông góc với BN

Trang 6

Bài 1 :( 6 điểm)

1 Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 – 1 chia hết cho 24

2 Chứng minh rằng không có số nguyên n nào thoả mãn hệ thức

n3+2006n=20082008+1

3 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) sao cho x3 – x2y + 3x – 2y – 5 = 0

Bài 2 :( 4 điểm)

1 Cho các số thực x, y, z Chứng minh rằng (x+y+z)2 ≤ 3(x2 + y2 + z2)

2 Aùp dụng kết quả câu 1 chứng minh rằng: a b  b c  c a  2 6; Trong đó

a, b, c là các số không âm và thoả mãn a + b + c = 4

Bài 3 :( 4 điểm)

1 Cho ax x2 b . y y2 b  0. Tính S x y2  b y x2 b theo a và b

2 Giải phương trình: 4 22 16 23 25 27

x



Bài 4 :( 6 điểm)

1 Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM, đường phân giác AD, đường cao

AH chia góc BAC thành bốn góc bằng nhau (M,D,H thuộc BC) Tính các góc của tam giác ABC

2 Cho đoạn thẳng AB cố định và điểm M nằm giữa A và B Trên cùng một nửa

mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, vẽ các hình vuông AMED và MCFB Các đường tròn (O1) và (O2) ngoại tiếp hai hình vuông trên cắt nhau tại điểm thứ hai N ( N khác M)

a) Chứng minh rằng ba điểm A,C, N thẳng hàng và ba điểm E, N, B thẳng

hàng

b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M

di động trên AB

c) Tìm vị trí của điểm M trên AB sao cho đoạn thẳng MN có độ dài lớn

nhất

d) Trung điểm I của đoạn thẳng O1O2 chạy trên đường nào khi M di động trên AB?

-Hết

Trang 7

Bài 1 :(4,0 điểm)

a Cho x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x3 + y3

b Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài cạnh là số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi

Bài 2 :(4,0 điểm)

















x z

3 zx

4

z y

6 yz

5

y x

2 xy

3

b Giải phương trình : 25 x 2 10 x 2 3





Bài 3 :(5,0 điểm)

a Cho a và b là các số nguyên dương sao cho aa1bb1 là các số nguyên ; gọi d là ước chung của a và b Chứng minh : d  a  b

b Chứng minh rằng không có các số nguyên x và y nào thoả mãn hệ thức:

2011 y

2009 x





Bài 4 :(2,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao kẻ từ B và C cắt nhau tại O Chứng minh rằng nếu đường tròn nội tiếp tam giác OAB và đường tròn nội tiếp tam giác OAC có bán kính bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác cân

Bài 5 :(5,0 điểm)

Cho hai đường tròn (O,R) và (O’,r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A Trên đường tròn (O,R) vẽ dây AB = R Trên cung lớn AB lấy điểm M , đường thẳng MA cắt đường tròn (O’;r) tại N (N khác A) Đường thẳng qua N song song với AB cắt đường thẳng MB taị E

a Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng NE không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên cung lớn AB

b Tìm vị trí điểm M trên cung lớn AB để tam giác MNE có diện tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó

-Hết

-ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 8

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

QUẢNG NGÃI Ngày thi : 30/3/2010

Môn : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút

MA TRẬN ĐỀ CHÍNH THỨC

Mạch kiến thức

SỐ HỌC

ĐẠI SỐ

HÌNH HỌC

Trang 9

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1 (4,0 điểm)

a) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn 6x + 5y + 18 = 2xy

b) Cho biểu thức A = a3 + a2 + a

24 8 12 với a là số tự nhiên chẵn

Hãy chứng tỏ A có giá trị nguyên.

Bài 2 : (4,0 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x 3 – 9x 2 + 13x – 6

b) Tính giá trị của biểu thức M = x 3 – 6x với x = 3 3

20 + 14 2 + 20 - 14 2

Bài 3 : (5,0 điểm)

x - 2 + 6 - x = x - 8x + 24

b) Giải hệ phương trình:

x + y + + =

xy + =

xy 2









Bài 4 ( 5,0 điểm)

Cho tam giác cân ABC (AB = AC; Â < 90 0 ), một đường tròn (O) tiếp xúc với

AB, AC tại B và C Trên cung BC nằm trong tam giác ABC lấy một điểm M

M B;C   Gọi I; H; K lần lượt là hình chiếu của M trên BC; CA; AB và P là giao điểm của MB với IK, Q là giao điểm của MC với IH.

a) Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK.

b) Chứng minh PQ // BC.

c) Gọi (O 1 ) và (O 2 ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp  MPK và  MQH Chứng minh rằng PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O 1 ) và (O 2 ).

d) Gọi D là trung điểm của BC; N là giao điểm thứ hai của (O 1 ),(O 2 ) Chứng minh rằng M,N,D thẳng hàng.

Bài 5 ( 2,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác Các tia AO,

BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P Chứng minh :

AM BN CP+ +

OM ON OP  9 -

HẾT -ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP

TỈNH

QUẢNG NGÃI HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH

THỨC

Môn : TOÁN

1

4điểm

a

6x 5y 18 2  xy  2xy - 6x - 5y = 18

2xy - 6x + 15 - 5y = 33

 (y – 3)(2x – 5) = 33 = 1.33 = 3.11

Ta xét các trường hợp sau :



Các cặp số nguyên dương đều thỏa mãn đẳng thức trên

Vậy các cặp số cần tìm là : (3; 36); (4; 14); (8; 6); (19; 4)

0,75đ

0,5đ

0,25đ b

2điểm Vì a chẵn nên a = 2k k N 

Ta có : k k+1 2   k k+1 2k+1 2   

Ta chứng minh : k k  1 2  k  1 3 Thật vậy :

- Nếu k = 3n (với n N ) thì k k  1 2  k  1 3

- Nếu k = 3n + 1 (với n N ) thì 2k  1 3

- Nếu k = 3n + 2 (với n N ) thì k  1 3

Với mọi k N  k k  1 2  k 1luôn chia hết cho 2 và cho 3

Mà (2, 3) = 1  k k  1 2  k  1 6 Vậy A có giá trị nguyên.

0,25đ

0,5đ 0,25đ

0,75đ

0,25đ 2

2điểm

a) 2x 3 – 9x 2 + 13x – 6 = 2x 3 – 2x 2 – 7x 2 + 7x + 6x – 6

= 2x 2 (x -1) – 7x(x – 1) +6(x – 1) = (x – 1)(2x 2 – 7x + 6)

= (x – 1)(x – 2)(2x – 3)

0,5đ 1,0đ 0,5đ b

3 20 14 2  ; v = 3 20 14 2 

Ta có x = u + v và u3 v3  40

u.v = 3 (20 14 2)(20 14 2) 2   

0,25đ 0,5đ 0,5đ

Trang 11

5điểm

Chứng minh được: x 2  6  x 2 2

Dấu “=” xảy ra  x – 2 = 6 – x  x = 4

Dấu “=” xảy ra  (x – 4) 2 = 0  x - 4 = 0  x = 4 Phương trình (1) xảy ra  x = 4

Giá trị x = 4 : thỏa mãn ĐKXĐ Vậy: S = 4  

0,5đ

0,5đ 0,5đ 0,5đ

0,25đ b

xy 0 

x + y + + =

xy + =

xy 2









2[xy(x+y)+(x+y)]=9xy (1) 2









Giải (2) ta được:

xy=2 (3) 1

2







Thay xy = 2 vào (1) ta được x + y = 3 (5)

Từ (5) và (3) ta được:

1 2 3

1

x y

y

 







 





 



 



( thoả mãn ĐK)

Thay xy = 1

2 vào (1) ta được x + y = 3

2 (6)

Từ (6)và(4) ta được:

1 1 3

2 2

1

x y

y

  











  



(thoả mãn ĐK)

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là:

( ; ) (1; 2), (2; 1), 1; , ;1

2 2

x y      

   

0,25đ 0,25đ

0,25đ

0,5đ 0,5đ

0,5đ

0,25đ

Trang 12

0,75điểm

b

1,25điểm

c

1,0điểm

a) Chứng minh tia đối của tia MI là phân giác củaHMK

Vì  ABC cân tại A nên ABC ACB

Gọi tia đối của tia MI là tia Mx

Ta có tứ giác BIMK và tứ giác CIMH nội tiếp

 IMH  180 0  ACB 180 0  ABC IMK 

 180 0  180 0  

Vậy Mx là tia phân giác của củaHMK .

b) Tứ giác BIMK và CIMH nội tiếp

 KIM KBM HIM ; HCM

Mà KBM  ICM ( cùng bằng 1 

2sd BM)

HCM IBM( cùng bằng 1 

2sdCM)

PIQ ICM IBM

Ta lại có PMQ ICM IBM      180 0 ( tổng ba góc trong tam

giác)

180

PMQ PIQ

Do đó tứ giác MPIQ nội tiếp

MQP MIK

2sd PM)

Mà MIK MCI ( vì cùng bằng KBM)

MQP MCI

c) Ta có MHIMCI ( cùng bằng 1 

2sd IM )

mà MQP MCI  ( c/minh b)

2

0,25đ

0,5đ 0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

0,5đ

O1

E' A

H

B

P I Q K

E D

N O2

O M

C

Trang 13

d 1,0điểm

(1) và (2)  PQ là tiếp tuyến chung của đường tròn (O 1 ) và (O 2 )

d) Gọi E; E’lần lượt là giao điểm của NM với PQ và BC

Ta có PE 2 = EM EN ( vì  PEM  NEP )

QE 2 = EM EN ( vì  QEM  NEQ )  PE 2 = QE 2 ( vì PE;QE >0)  PE = QE

Xét  MBC có PQ // BC ( c/m b) nên:

E B E C ( định lí Ta Lét)

Mà EP = EQ  E’B = E’C do đó E’  D Suy ra N, M, D thẳng hàng.

0,5đ

0,5đ 5

2điểm

N A

O

K

P

Từ A và O kẻ AH  BC

OK  BC (H, K  BC)

AM AH (1)

1 2 1 2

BOC ABC

OK BC

S  AH BC AH

(2)

(1) , (2)  BOC

ABC

Tương tự : AOC

ABC

S BN

AOB

ABC

S CP

Với ba số dương a,b,c ta chứng minh được:

0,25đ 0,25đ

0,75đ

Trang 14

Nên ( OM ON OP AM)( BN CP) 9

AM  BN CP OM ON OP  (4)

Từ (3) ,(4) suy ra :

AM BN CP 9

Ghi chú:

- Hướng dẫn chỉ trình bày một trong các cách giải Mọi cách giải khác nếu đúng

vẫn cho điểm tối đa theo từng câu, từng bài.

- Đáp án có chỗ còn trình bày tóm tắt, biểu điểm có chỗ còn chưa chi tiết cho

từng bước lập luận, biến đổi Tổ giám khảo cần thảo luận thống nhất trước khi

chấm.

- Điểm toàn bài không làm tròn số

-

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	504,5 KB