Đề thi HSG Toán 9 - 1

TRƯờNG THCS GIA KHáNH THI TUYN CHN HC SINH GII LP 9 NM HC 2009 2010 MễN THI: TON Thi gian lm bi: 150 phỳt (Khụng k thi gian giao ) I. Trắc nghiệm Câu 1: Cho ( ) ( ) 2 2 3 9 4 5 8 2 5 4 E = + kết quả là A. E = 6 B . E = - 6 C. E = - 6 D E = 6 Câu 2: Cho 2 2 3 3 : 2 1 1 3 E + = + Rút gon kết quả là: A. E = 6 3 B . E = - 3 6 C. E = - 6 3 D. E = 6 6 Câu 3: Cho biểu thức : 1 1 a a b b E a b + = + với a> 0, b > 0 và a b Sau khi rút gon đợc kết quả: A. E = a b B . E = a b C. E = 1 1 a b + D. E = 1 1 b a + Câu 4: Cho hệ phơng trình 3 2 1 mx y x my m + = + = + Hệ thức độc lập giữa các biến số là: A. x 2 - y 2 = 1 B. x 2 -y= 1 C. x 2 - y 2 + x=0 D . Một đáp án khác. Câu 5: Biết hệ 4mx ny x my m n + = + = + có nghiệm là x = 1; y= 2 thế thì : m+ n là : A. 2 3 D 1 C. 5 2 D. 7 3 Câu 6: Biết = 30 0 và tg cot g2 P 2tg2 cotg + = . Kết quả nào sau là đúng? A. 4 3 P 3 = B. 2 P 3 = C. 2 3 P 3 = D. P 2 3= Câu 7: Biết = 30 0 và 2 2 sin2 tg P cos cotg 2 + = . Kết quả nào sau là đúng? A. 2 3 6 P 3 3 2 + = B. 3 3 6 P 3 3 2 + = C. 3 3 2 P 3 3 2 + = D. 3 6 P 3 2 + = Cõu 8: Hai hỡnh cu A v B cú cỏc bỏn kớnh tng ng l x v 2x. T s cỏc th tớch hai hỡnh cu ny l: A. 1:2 B. 1:4 C. 1:8 D. Mt kt qu khỏc Cõu 9: Mt hinh tr cỳ ban kinh ỏy l 7cm , din tớch xung quanh bng 352cm 2 . Khi ú chiu cao ca hinh tru gn bng l : A. 3,2cm B. 4,6cm C. 1,8cm D.8cm Câu 10: Cho đường tròn (O; 25 cm) và hai dây MN // PQ có độ dài theo thứ tự 40 cm và 48 cm. Khi đó khoảng cách giữa dây MN và PQ là: A. 22 cm B. 8 cm C. 22 cm hoặc 8 cm D. Tất cả đều sai II. Tù LuËn Câu 1: (3,0điểm) Rút gọn biểu thức: 1. 5 3 29 12 5A = − − − 2. ( ) 2 3 2 3 3 , 0, 0, x x y y y xy y x B x y x y x y x x y y − + + − = + > > ≠ − + Câu 2: (2,0 điểm) Giải phương trình: 3 3x x x− = + Câu 3: (2,0 điểm) Cho a,b,c>0 thỏa mãn: ab+bc+ca=1 CMR: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 ab bc ca a b c + + ≥ + + + + + + Câu 4: (3,0điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ đường tròn ( c ) đường kính AB, O là tâm đường tròn ( c ). Từ C vẽ tiếp tuyến CT với đường tròn ( c ) khác CB, gọi T là tiếp điểm, gọi E là giao điểm của AD và OT a. Đặt DE = x tính theo a, x các cạnh của tam giác OAE, sau đó tính x theo a (1,0 điểm) b. Tính theo a diện tích tam giác OCE và đường cao EH xuất phát từ E của tam giác đó. HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 9, NĂM HỌC 2009- 2010 C©u Néi dung §iÓm 1 1. (1,0điểm) ( ) 2 2 2 2 5 3 29 12 5 5 3 2 5 2.2 5.3 3 5 3 (2 5 3) 5 3 (2 5 3) 5 6 2 5 5 ( 5 1) 5 ( 5 1) 1 A = − − − = − − − + = − − − = − − − = − − = − − = − − = 2. (1,0 điểm) Xét: ( ) 2 3 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 2 2 2 ( ) 3 3 ( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 3( ) 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x y y y x x y x y y x y x x x y y x y x x x y y x x y x y x x y x y x y x x y y − + + − + − + + = + +   − + − +   = = =   + + + − +   Xét: 3 3 3 ( ) 3 ( )( ) xy y y x y y x y x y x y x y − − = = − + − + 3 3( ) 3 3 y x y x B x y x y x y + = + = = + + + 2 ĐKXĐ: 0 3x≤ ≤ 3 3x x x− = + ( ) 2 3 2 2 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 0 1 1 1 1 3 . 3 . 3 3 3 3 3 1 10 3 3 3 1 10 10 1 3 3 3 3 x x x x x x x x x x x x ⇔ − = + ⇔ + + − =       ⇔ + + + = +  ÷  ÷  ÷         ⇔ + =  ÷   − ⇔ + = ⇔ = 3 BĐT đã cho tương đương với: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 . . . ( 1) ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca a b c c a b a c b b a c a b a c b c b a c b c a ab bc ac a b c do ab bc ca + + + + + + + + + − + − + − ≥ + + + + + + + + + + + ⇔ + + ≥ + + + + = Đặt .( ) .( ) .( ) ; ; c a b a b c b a c x y z ab bc ac + + + = = = Ta có: x y z xy yz xz+ + ≥ + + (luôn đúng với mọi bộ 3 số dương x,y,z). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z. Khi đó: 3 3 a b c= = = 4 T D O B C A H E a. Đặt DE = x tính theo a, x các cạnh của tam giác OAE, sau đó tính x theo a Ta có: ( , )DCE TCE EC chung CT CD BC∆ = ∆ = = ET ED x⇒ = = Mà 2 2 a OA AE a x a OE OT TE x ⇒ = = − = + = + Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AOE: OE 2 = OA 2 + AE 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 3 ( 0) 3 a a x a x a a x ax a x ax ax a a x a     ⇔ + = + −  ÷  ÷     ⇔ + + = + + − ⇔ = ⇔ = ≠ b. Tính theo a diện tích tam giác OCE và đường cao EH xuất phát từ E của tam giác đó. (1,0 điểm) 2 2 . ( 2 ) 5 2 3 ( ) 2 2 4 4 12 3 OCE a a a x a a CT OE a a x a a S khi x ∆     + +  ÷  ÷ +     = = = = = = Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông BOC: OC 2 = OB 2 + BC 2 = 2 2 2 5 5 4 4 2 a a a a OC+ = ⇔ = 2 2 . 5 5 5 2. : 2 12 2 3 OCE OCE S EH OC a a a S EH OC ∆ ∆ = ⇔ = = = . TRƯờNG THCS GIA KHáNH THI TUYN CHN HC SINH GII LP 9 NM HC 20 09 2 010 MễN THI: TON Thi gian lm bi: 15 0 phỳt (Khụng k thi gian giao ) I. Trắc nghiệm Câu 1: Cho ( ) ( ) 2 2 3 9 4 5 8 2 5 4 E =. = a b C. E = 1 1 a b + D. E = 1 1 b a + Câu 4: Cho hệ phơng trình 3 2 1 mx y x my m + = + = + Hệ thức độc lập giữa các biến số là: A. x 2 - y 2 = 1 B. x 2 -y= 1 C. x 2 - y 2 + x=0 D. phương trình: 3 3x x x− = + Câu 3: (2,0 điểm) Cho a,b,c>0 thỏa mãn: ab+bc+ca =1 CMR: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 ab bc ca a b c + + ≥ + + + + + + Câu 4: (3,0điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a,