PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS Năm học 2021-2022 Mơn thi : TỐN Thời gian làm : 150 phút Đề thi thức Câu I (4,0 điểm) a b Q a b 1) Cho biểu thức a b 1 a b a b thỏa mãn điều kiện a 0; b 0; a b Hãy tính giá trị biểu thức Q với a 2021 505 ; b 2021 505 2 2) Cho phương trình bậc hai x m 1 m 3m 0 (m tham số, x ẩn số) a Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 2 b Đặt P x1 x2 x1 x2 Tìm m để P 18 Câu II (4,0 điểm) 2 1) Giải phương trình x x 16 1 3 x y 65 2 2) Giải hệ phương trình x y xy 20 Câu III (4,0 điểm) 2 1) Tìm tất cặp số nguyên dương x; y thỏa mãn x y y x 5xy 27 a bc b ca c ab 2 2) Cho a, b, c a b c 1 Chứng minh b c c a a b Câu IV (6,0 điểm) Cho đường tròn (O) dây BC cố định (BC khơng phải đường kính) Điểm A di động cung lớn BC cho tam giác ABC tam giác nhọn Gọi E điểm đối xứng B qua đường thẳng AC F điểm đối xứng C qua đường thẳng AB Gọi K giao điểm hai đường thẳng EC FB, H giao điểm hai đường thẳng BE CF a) Chứng minh FAHB ACKF tứ giác nội tiếp b) Chứng minh KA phân giác góc BKC ba điểm K , O, A thẳng hàng Câu V (2,0 điểm) Cho 16 số nguyên dương lớn nhỏ 2021 đôi nguyên tố Chứng minh 16 số có số số ngun tố Cho 8045 điểm mặt phẳng cho điểm tạo thành tam giác có diện tích nhỏ Chứng minh : Ln có 2012 điểm nằm tam giác cạnh tam giác có diện tích nhỏ ĐÁP ÁN Câu I (4,0 điểm) a b Q a b 3) Cho biểu thức a b 1 a b a b Hãy tính giá trị biểu thức Q với a a b Q a b a b a thỏa mãn điều kiện a 0; b 0; a b 2021 505 ; b 2021 505 a b 1 a, b 0, a b a b a b a b b a b b a ab (a b) ab (a b).ab ab Ta có : ab 2021 505 2021 505 ab 1 Q 2021 505 2021 505 2021 505 1 4 2 4) Cho phương trình bậc hai x m 1 m 3m 0 (m tham số, x ẩn số) c Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ' m 1 m 3m 5m Ta có Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ' 5m m 2 d Đặt P x1 x2 x1 x2 Tìm m để P 18 x1 x2 2m m Với , áp dụng hệ thức Viet: x1 x2 m 3m P 18 P x12 x22 x1 x2 18 2 x1 x2 3x1 x2 18 2m m 3m 18 m 1(tm) m m 16 18 0 m 2(ktm) Vậy m 1 Câu II (4,0 điểm) 3) Giải phương trình x2 x 16 1 x2 x 16 1 x 3 BP ve : x 25 x x x 16 1 x 16 x 13 BP ve : x 25 x 144 x 26 x 169 x 25 x 5(ktm) Vậy phương trình vơ nghiệm 3 x y 65 2 4) Giải hệ phương trình x y xy 20 3 x y 65 x y 3xy ( x y ) 65 2 x y xy 20 xy x y 20 S x y S 4 P 1 P xy Đặt S 3SP 65 PS 20 Thay lại Câu III (4,0 điểm) S 5 x y 5 tm(1) P 4 xy 4 x 1; y 4 x 4; y 1 2 3) Tìm tất cặp số nguyên dương x; y thỏa mãn x y y x 5 xy 27 x y y x 5 xy 27 xy x xy x y 27 Giả sử tồn cặp x; y thỏa mãn , biến đổi chứng minh xy ước 27 y x 5 y 27 Th1: xy 1 ktm x, y 0 5 y y x 9 Th : xy 3 ( x; y ) 1;3 (ktm), 3;1 (tm) x, y 0 x 1; y 9 Th3 : xy 5 x y 3 x 3; y 3(ktm) x 9; y 1 Vậy x 3, y 1 a bc b ca c ab 2 4) Cho a, b, c a b c 1 Chứng minh b c c a a b a bc a a b c bc a b c a Ta có : Tương tự : b ca b a b c ; c ab (c a )(c b) VT a b a c b a b c c a c b bc ca Áp dụng bất đẳng thức Co-si ta có : a b a b a c b a b c 2(a b) b c a c a b a c c a c b 2 a c b c a b b c b a c a c b 2 b c ca a b 2VT 4 a b c 4 VT 2 Dấu xảy a b c Câu IV (6,0 điểm) Cho đường tròn (O) dây BC cố định (BC khơng phải đường kính) Điểm A di động cung lớn BC cho tam giác ABC tam giác nhọn Gọi E điểm đối xứng B qua đường thẳng AC F điểm đối xứng C qua đường thẳng AB Gọi K giao điểm hai đường thẳng EC FB, H giao điểm hai đường thẳng BE CF E A F H B O I C D K c) Chứng minh FAHB ACKF tứ giác nội tiếp Gọi M giao điểm AB CF, N giao điểm AC BE F đối xứng C qua AB nên AB đường trung trực FC AF AC AFC cân A nên F1 C1 mà B1 C1 (cùng phụ BAC ) B1 F1 FAHB tứ giác nội tiếp Cmtt suy ACKF tứ giác nội tiếp d) Chứng minh KA phân giác góc BKC ba điểm K , O, A thẳng hàng Có K1 C1 (chắn AF ACKF nội tiếp), K F1 (chắn AC ACKF tứ giác nội tiếp), F1 C1 cmt K1 K nên KA phân giác BKC Có F2 A1 (chắn BH FAHB tứ giác nội tiếp) F2 CAK (cùng chắn CK ACKF nội tiếp) nên A1 CAK * D AO O , I AH BC Gọi CO AD R ACD Xét ACD có vng C CAD ADC 90 1 Lại có CM AB, BN AC nên H trực tâm ABC AH BC I A1 ABC 90 Mà ABC ADC (cùng chắn cung AC O ) 3 Từ (1), (2), (3) suy A1 CAD hay A1 CAO ** Từ (*), (**) CAK CAO AK AO Vậy A, O, K thẳng hàng Câu V (2,0 điểm) Cho 16 số nguyên dương lớn nhỏ 2021 đôi nguyên tố Chứng minh 16 số có số số nguyên tố Giả sử phản chứng 16 số khơng có số số ngun tố, tức 16 hợp số Do xét số a 16 số hợp số a p.q với p q Mà a 2020 pq 2020 p 44 Gọi 16 số a1; a2 ; ; a15 ; a16 số hợp số nên phân tích a1 p1.q1 ; a2 p2 q2 ; ; a15 p15 q15 ; a16 p16 q16 pk qk Cho nên suy p1 ; p2 ; ; p15 ; p16 44 cmt Ta gọi r1 , r2 , , r15 , r16 ước nguyên tố p1; p2 ; ; p15 ; p16 Suy r1 , r2 , , r15 , r16 44 Mà có 14 số nguyên tố khác nhỏ 44 nên theo nguyên lý Dirichlet có 16 số mà có 14 giá trị suy tồn rx ry, x, y 16 UCLN ax, ay rx , suy vô lý hai số nguyên tố Vậy nên giả thiết phản chứng sai nên đpcm Cho 8045 điểm mặt phẳng cho điểm tạo thành tam giác có diện tích nhỏ Chứng minh : Ln có 2012 điểm nằm tam giác cạnh tam giác có diện tích nhỏ Gọi ABC tam giác có diện tích lớn số hữu hạn tam giác cho sẵn, kẻ đường thẳng d / / BC qua A, nên điểm lại nằm nửa mặt phẳng d chứa B, C Tương tự từ B, C kẻ d ', d '' song song AC , AB d , d ', d '' cắt tạo thành tam giác A ' B ' C ' nên 8045 điểm cho nằm A ' B ' C ' Mà A ' B ' C ' gồm tam giác nhỏ có diện tích ABC Nên theo nguyên tắc Đirich-let tồn tai tam giác chứa 2012 điểm