PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TRIỆU SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021-2022 Mơn : Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi : 31/12/2021 Câu I (4,0 điểm) x x x x 1 x 1 x 1 x x x x x x x1 x 1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh A với x thỏa mãn điều kiện xác định A 1 1 1 1 a b c 2) Cho ba số thực a, b, c khác thỏa mãn b c c a a b 2021 2021 2021 2021 2021 2021 P a b b c c a Tính giá trị biểu thức Câu II (4,0 điểm) Giải phương trình x x 2 x 3 x x Tìm cặp số x; y đồng thời thỏa mãn đẳng thức 1 , sau : 1 3 1 x y 1 ; x xy x y 2 y xy Câu III (4,0 điểm) 2 1) Tìm số nguyên x y thỏa mãn x xy y x 40 0 3 2) Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn a b 2021c Chứng minh a b c chia hết cho Câu IV (6,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB 2 R Gọi EF AB Gọi dây cung di động nửa đường tròn cho E thuộc cung AF H giao điểm AF , BE , C giao điểm AE , BF , I giao điểm CH , AB EF 1) Chứng minh tam giác ACI tam giác ABE đồng dạng với 2) Đường thẳng AF cắt tiếp tuyến B (O) N , tiếp tuyến A, F (O) cắt M Chứng minh ON MB 3) Xác định vị trí EF nửa đường trịn để tứ giác AEFB có diện tích lớn Câu V (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc 1 Tìm giá trị nhỏ P biểu thức a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 ĐÁP ÁN Câu I (4,0 điểm) x x x x 1 x 1 x 1 x x x x x x x1 x 3) Cho biểu thức c) Rút gọn biểu thức A x x x x 1 x 1 x 1 x 0 A x x x x x x x1 x x 1 A x. x x x 1 x1 x x 1 x x x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x x x x x 1 x x 1 x x x1 x 1 x 2x 2x x x x x A d) Chứng minh với x thỏa mãn điều kiện xác định x 0 Với x 0, x 1 ta có : x x 1 x x 1 x 2x x 6(dfcm) x 1 1 1 1 a b c 4) Cho ba số thực a, b, c khác thỏa mãn b c c a a b 2021 2021 2021 2021 2021 2021 P a b b c c a 2x x x Tính giá trị biểu thức a, b, c ; a, b, c 0 a b c b c a c a b 1 1 1 1 a b c bc ac ab b c c a a b a b c b c a c a b 2abc 0 a 2b a c b 2c b a c a c 2b 2abc 0 a b c a b c 2bc bc b c 0 b c a a b c bc 0 b c a ab ac bc 0 b c a b a c 0 b c 0 a b 0 a c 0 b c a b P a 2021 b 2021 b 2021 c 2021 c 2021 a 2021 0 a c Câu II (4,0 điểm) Giải phương trình x x 2 x 3x 2 x 3 x x x x 22 x 2 Dat t x 3 x x x 3 x x dat u t u 2 tu t u 0 t u x x x x 1 Tìm cặp số x; y đồng thời thỏa mãn đẳng thức 1 , sau : 1 3 1 x y 1 ; x xy x y 2 y xy x a 1 1 y ab x y xy xy ab y x xy xy y b Đặt x Ta có hệ phương trình : a b 2a 2b 9 2a 2b 9 a ab a ab a ab 6a 18a 4a 0 4a 12a 0 2b 9 2a 1 6a 2a 2a 2a 3 0 a b 3 x y y 3 x 3x x x y 3 Ta có hệ phương trình : x x 1; y 2 x 1; y 4 Vậy x; y 1; ; 1; Câu III (4,0 điểm) 2 3) Tìm số nguyên x y thỏa mãn x xy y x 40 0 x xy y x 40 0 x xy y x x 41 2 x y x 1 41 1 Vì x, y ; x số nguyên lẻ 41 16 25 nên : x y 16 x y 4 1 x 5 x 1 25 Giải hệ phương trình : x y 4 x y x y 4 x y ; II ;( III ) ; IV x 5 x 5 2 x 2 x I Tìm nghiệm phương trình cho : x; y 3;1 , 3; , 2;6 , 2; 3 4) Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn a b 2021c Chứng minh a b c chia hết cho a b c Ta có : a b c a 3a b c a b c b c a 3a b c a b c b 3bc b c c a b3 c b c a ab ac bc a b3 c b c a b a c a b3 c a b c b c a b a c Mà 3 3 a b c 2022c 3 a b c 3 3 b c a b a c 3 Câu IV (6,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB 2 R Gọi EF EF AB dây cung di động nửa đường tròn cho E thuộc cung AF Gọi H giao điểm AF , BE , C giao điểm AE , BF , I giao điểm CH , AB C N M K E A F H X I P O Y B 4) Chứng minh tam giác ACI tam giác ABE đồng dạng với Ta có AEB AFB 90 BE , CF đường cao ABC mà H giao điểm EB, AF nên H trực tâm ABC CH AB I Xét ACI ABE có : AIC AEB 90 , CAB chung ACI ∽ ABE ( g g ) 5) Đường thẳng AF cắt tiếp tuyến B (O) N , tiếp tuyến A, F (O) cắt M Chứng minh ON MB Xét MAO ABN có OAM NBA 90 OMA BAN (cùng phụ với NAM ) MAO ∽ ABN ( g.g ) MA AB MA 2OB MA OB AO BN BN AB BN AB MAB ∽ OBN (c.g c ) NOB MBA BMA MBA 90 ON MB 6) Xác định vị trí EF nửa đường trịn để tứ giác AEFB có diện tích lớn Dễ thấy OMN tam giác nên MN R Gọi K trung điểm EF OK EF R 3R R OK OE KE R OK 4 2 2 R2 S OK EF OMN có Dựng EX , FY vng góc với AB tai E, F EXFY hình thang vng Dựng KP AB P trung điểm XY KP đường trung bình hình thang EXFY 1 S AOE OA.EX R.EY , S BOF OB.FY 2 Mà S AEFB SOMN S AOE SOBF mà SOMN không đổi S AEFB max S AOE SOBF max 1 S AOE SOBF R EX FY R.2 KP R.KP 2 Có : R R2 KP KO S AOE S DBF OKP vng có 2 Dấu xảy P O DK EF EF / / AB Câu V (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc 1 Tìm giá trị P nhỏ biểu thức Đặt a a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 xy yz zx ;b ;c 2 z x y , bất đẳng thức cần chứng minh trở thành z4 2 y4 2 x4 2 xy z zx y yz x 2x2 y z2 1 xy z zx y yz x 2 xy z x Để ý đến bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có z2 y2 z2 z4 2 xy z Suy z y 2 z4 x y2 y2 z2 2 x Hoàn toàn tương tựu ta : 2 xy z zx y yz x z4 x z y2 z2 y4 x y2 z2 y2 x4 y x2 z x2 x4 y z y z x2 z x2 y x y x2 z y z Cũng theo đánh xy z zx y yz x x 2 2 y2 y2 z z2 x2 2x2 y2 z 2x2 y2 z xy z zx y yz x x y y z z x Khi ta có Do ta bất đẳng thức z4 2 y4 2 x4 2 x2 y z xy z zx y yz x xy z zx y yz x x y z y z x z x y 2x y z x y x z y z x y z y z x z x y 2x x y x z y z Ta cần chứng minh 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y2z2 1 Để ý ta phân tích : x y z y z x z x y x y z x y x z y z x4 y z y z x2 z x2 y 2x2 y z x y x2 z y z 1 Do Như bất đẳng thức ban đầu chứng minh Dấu xảy a b c 1