KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021-2022 Mơn : TỐN Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian giao đề) UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO Bài (4,0 điểm) 1 1 ax by cz x y z a) Cho 3 2 3 3 Chứng minh ax by cz a b c b) Giải phương trình Bài (4,0 điểm) 15 x2 x x2 x x xy x 3 y 2 a) Giải hệ phương trình x y 3x y 1 b) Cho a, b số thực 2 b1 ) Chứng minh a b 2 a b b2 ) Biết a b 2, tìm giá trị nhỏ biểu thức M 3 a b ab ABCD AB / / CD O Bài (4,0 điểm) Cho hình thang Gọi giao điểm hai AC BD đường chéo Qua O vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD E cắt BC F a) Chứng minh hai tam giác AOD BOC có diện tích 1 b) Chứng minh AB CD EF c) Gọi K điểm đoạn thẳng OE , M trung điểm FD Vẽ EN song song với KM N FD Chứng minh đường thẳng KN chia tam giác DEF thành hai phần có diện tích Bài (4,0 điểm) Từ điểm A nằm ngồi đường trịn tâm O, ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B C hai tiếp điểm) Vẽ cát tuyến AEF không qua tâm O (E nằm A F, O B nằm hai phía cát tuyến) Gọi K trung điểm EF a) Chứng minh điểm A, B, K , O, C thuộc đường tròn KA phân giác góc BKC b) Vẽ dây ED vng góc với OB cho ED cắt BC M Gọi H giao điểm AK BC Chứng minh AH AK AE AF c) Chứng minh FM qua trung điểm I AB Bài (4,0 điểm) 2 a) Tìm tất số nguyên tố p để p 1 p 1 số nguyên tố 2 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình x y x y 24 0 ĐÁP ÁN Bài (4,0 điểm) 1 1 c) Cho ax by cz x y z 3 2 3 3 Chứng minh ax by cz a b c A ax by cz Đặt 1 1 ax3 by cz ax3 x y z x y z 1 A 1) a x y z x A A b ;3 c y z Tương tự : 1 1 A A A a b c A A(dfcm) x y z x y z ax x a (do d) Giải phương trình 15 x2 4x x2 x x 15 x2 x x2 6x x x 0 15 2 x x 3 x x 0 15 x x x 15 *Th1: x x x x x (tm) 15 *Th : x 2 x x x x (ktm) 11 x Vậy phương trình có nghiệm Bài (4,0 điểm) xy x 3 y 2 c) Giải hệ phương trình x y 3x y 1 2 Đặt u x 3x; v y y , hệ cho trở thành : 3 (vì ax by cz ) x 3x 0 uv u 3, v y y 0(VN ) u v 1 u 2, v 3 x 3x 0 x 1; y y y 0 y 1; y x; y 1;1 , 1;3 , 2;1 , 2; 3 Vậy hệ có nghiệm d) Cho a, b số thực 2 b1 ) Chứng minh a b 2 a b a b 2 a b a 2ab b 2a 2b a 2ab b 0 a b 0 (luôn đúng) b2 ) Biết a b 2, tìm giá trị nhỏ biểu thức M 3 a b ab 2 a b 2 a b 2ab 2 ab a b 2 P 3 a b a b 2 18 P 1 a b a b 22 22 P a b 4 22 MinP a b 3(ktm a b 2) Vậy khơng có giá trị a,b để P Bài (4,0 điểm) Cho hình thang ABCD AB / /CD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Qua O vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD E cắt BC F B A E K I N O F M C D d) Chứng minh hai tam giác AOD BOC có diện tích Vì AB / /CD S DAB SCBA (cùng đáy đường cao) S DAB S AOB SCBA S AOB hay S AOD S BOC 1 e) Chứng minh AB CD EF EO AO EO / / DC DC AC , Mặt khác AB / / DC Vì AB AO AB AO EO AB DC OC AB BC AC DC AB DC EF AB AB DC 1 DC AB DC AB.DC EF DC AB EF f) Gọi K điểm đoạn thẳng OE , M trung điểm FD Vẽ KM N FD EN KN song song với Chứng minh đường thẳng DEF giác thành hai phần có diện tích chia tam Dựng trung tuyến EM , dựng EN / / MK N DF Kẻ đường thẳng KN đường phải dựng Chứng minh S EDM S EFM 1 Gọi giao điểm EM KN I S IKE S IMN Từ (1) (2) suy S DKEN S KFN Bài (4,0 điểm) Từ điểm A nằm ngồi đường trịn tâm O, ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B C hai tiếp điểm) Vẽ cát tuyến AEF không qua tâm O (E nằm A F, O B nằm hai phía cát tuyến) Gọi K trung điểm EF D B F M K O I E J H A C d) Chứng minh điểm A, B, K , O, C thuộc đường tròn KA phân giác góc BKC Ta có : OBA OCA 90 90 180 nên ABOC nội tiếp Vì K trung điểm EF nên OK EF Ta có OKA OBA OCA 90 B, K , O, C , A thuộc đường trịn đường kính OA Ta có BKA BOA (cùng chắn cung OA), AKC AOC (cùng chắn cung AC) BOA AOC (do AB, AC tiếp tuyến) BKA AKC KA phân giác BKC e) Vẽ dây ED vuông góc với OB cho ED cắt BC M Gọi H giao điểm AK BC Chứng minh AH AK AE AF f) Chứng minh FM qua trung điểm I AB Gọi J giao điểm AK BC, I giao điểm FM AB ta có : BAK chung , ABJ BKA (cùng ACB ) AJ AB AB AJ AK AB AK AB AE AEB ∽ ABF ( g g ) AB AE AF AF AB Tương tự ta có AF AE AF AK FK EK AE AF AJ AK AJ AK AJ AE EJ EJ Vậy AF EK AF AJ EK EJ Vậy AJ EJ ABJ ∽ AKB ( g g ) EM OB EM / / OB OB AB Ta có : AB AJ EM EJ (Talet ) AI AF EM EF AI AF AK AJ AB EM EK EK EJ EM AI AB AB AI Vậy I trung điểm AB (dfcm) Vậy EM EM Bài (4,0 điểm) 2 c) Tìm tất số nguyên tố p để p 1 p 1 số nguyên tố 2 Nhận xét : p số nguyên tố p p Đặt : x 4 p 5 p p 1 p 1 y 6 p y 25 p p p Khi - Nếu p chia cho dư dư p 1 p 1 chia hết cho x 5 mà x x không số nguyên tố - Nếu p chia cho dư dư p p chia hết cho y chia hết cho mà 4, 1 nên y chia hết cho mà y y không số nguyên tố Vậy p chia hết cho mà p số nguyên tố nên p 5 Thử với p 5 x 101, y 151 số nguyên tố 2 d) Tìm nghiệm nguyên phương trình x y x y 24 0 x x y y 24 x x y y 34 2 x 1 y 3 34 25 9 25 x 1 9 x 3 x 1; x *)TH 1: y 5 y 8; y y 3 25 x 1 25 2 x 5 x 2; x *)Th : y 3 y 6; y 0 y 3 9 Vậy nghiệm phương trình : 1;8 , 1; , 2;8 , 2; , 2;6 , 2;0 , 3;6 , 3;0