076 đề hsg toán 8 quế sơn 2012 2013

UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD & ĐT KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI 6,7,8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2012-2013 Mơn: Tốn – Lớp Bài (2,5 điểm) a) Cho ba số a, b, c thỏa mãn a  b  c 0 Chứng minh ab  bc  ca 0 b) Cho f ( x) ax  bx  c với a, b, c số thỏa mãn 13a  b  2c 0 Chứng tỏ f    f  3 0 2 c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M x  y  xy  x  y  Bài (2,0 điểm) Giải phương trình sau: x x x x 3 a)    b)  x     x    x  3 2013 2012 2011 2010 Bài (2,5 điểm) Cho hình vng ABCD M điểm tùy ý đường chéo BD Hạ ME vng góc với AB, MF vng góc với AD a) Chứng minh DE  CF b) Chứng minh ba đường thẳng DE , BF , CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn Bài (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD ( AC  BD ) Gọi G, H hình chiếu C lên AB AD Chứng minh a) ABC HCG b) AC  AB AG  AD AH Bài (1,0 điểm) 5n  5n  1  6n  3n  2n  91 n Chứng minh với số nguyên dương thì: ĐÁP ÁN Bài 2 2 2 a) Có: a  b 2ab; a  c 2ac; b  c 2ac 2 2 2 Cộng được: 2a  2b  2c 2ab  2ac  2bc  a  b  c ab  ac  bc (1) a  b  c 0  a  b  c  2ab  2ac  2bc 0   a  b  c 2ab  2ac  2bc Cộng  1 với   3ab  3ac  3bc 0  ab  bc  ca 0 b) f    4a  2b  c; f  3 9a  3b  c Có f     f  3 13a  b  2c 0 nên: Hoặc: f    0 f  3 0  f    f  3 0 (1) Hoặc : f    f  3 hai số đối  f    f  3  (2) Từ  1   f    f  3 0 2 c) 4M 4 x  y  xy  x  y   x  y  1  y  y  1   x  y  1   y  y    9  1   x  y  1   y    3   y    x 2  nên Giá trị nhỏ 4M  x     y   Giá trị nhỏ M (2) Bài x x x x  1  1  1 1 2013 2012 2010 2011 x  2014 x  2014 x  2014 x  2014     2013 2012 2010 2011 1     x  2014       0  2013 2012 2010 2011  a)  x 2014 b) Đặt x  a; x  b  a  b x   3 Phương trình cho trở thành: a  b  a  b    a  b   a  ab  b   a  b   a  2ab  b    a  b   a  ab  b  a  2ab  b  0  3ab  a  b  0   a 0  x     b 0  x 2  a b  x 3   Bài E A F B M C D a) Chứng tỏ AE DF (cùng MF)   Chứng tỏ CDF DAE  FCD EDA     Có: EDA EDC phụ  ECD EDA phụ hay CF  DE b) Tương tự có CE  BF Chứng minh CM  EF Gọi G giao điểm FM BC ; H giao điểm CM EF   MCG EFM (hai HCN nhau)     CMG FMH (đối đỉnh)  MHF MGC 90 CM , FB, ED ba đường cao CEF nên chúng đồng quy c)  AE  ME  AE.ME  ME  0 nên  AE  ME  4 AE.ME  AB  S AEMF  Mà AB số nên S AEMF lớn  AE ME Lúc M trung điểm BD  AE  2 Bài G C B F E D A CBG CDH  H CG BC BC   CH DC BA a) Chứng tỏ    Và ABC HCG (cùng bù với BAD)  ABC HCG b) Gọi E, F hình chiếu B, D AC AF AD AFD AHC    AF AC  AD AH AH AC AE AB AEB AGC    AE AC  AG AB AG AC Cộng : AF AC  AE AC  AD AH  AG AB  AC. AF  AE   AD AH  AG AB Chứng tỏ được: AE FC Thay được: AC. AF  FC   AD AH  AG AB  AC  AD AH  AG AB Bài A 5n  5n  1  6n  3n  2n  25n  5n  18n  12n A  25n  18n    12n  5n  A chia hết cho A  25  12    18   A chia hết cho 13 n n n n Do  13,7  1 nên A chia hết cho 91