Toan 9 thanh son (21 22)

1 UBND HUYỆN THANH SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN PHÒNG GD& ĐT Năm học: 2021 - 2022 Mơn: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút khơng kể thời gian giao đề (Đề có 03 trang) I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời ghi vào tờ giấy thi Câu Số a   80  80  nghiệm phương trình sau đây? A x  12 x  0 B x  12 x  0 C x  12 x  0 D x  12 x  0 Câu Giá trị nhỏ biểu thức P x2  x 2x  x  x  1   x  x 1 x x1 x  0; x 1 ) A B Câu Cho số x C y lớn −2 (với D thỏa mãn √ x+2− y 3=√ y+2−x Giá trị nhỏ biểu thức N = x +2 xy−2 y +2 y+10 A B 11 C  D  11  d  : y (m  1) x   m Khoảng cách lớn từ điểm A  4;5  d đến đường thẳng   Câu Cho đường thẳng A B C D Câu Có giá trị m để đường thẳng (d): y = mx + m – tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích 2? A B Câu Giá trị nhỏ hàm số A -1 B C y D x2  x 1 x  x  C 3 D Câu Cho đường thẳng (d) có phương trình: 2(m - 1)x + (m - 2)y = (m tham số) Tìm giá trị m để d cách gốc tọa độ khoảng lớn nhất? A m  5 m B m C m D A  2;  B 2;2  Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho   Tọa độ điểm M thuộc đường thẳng y  x  cho MA  MB nhỏ A (0; 3) B   1;2  C (1; 4) D   3;0  Câu Cho  ABC vuông A, đường cao AH Biết AB = cm, HC = 8cm Độ dài đường cao AH A cm B cm C cm D cm Câu 10 Cho hình vng ABCD có chu vi 16 Trên cạnh BC lấy điểm E cho đường thẳng AE cắt đường thẳng DC F Tính A B 1  ? AE AF C D 16   Câu 11 Cho tam giác ABC có BC 6 cm, AC 4 cm; BAC 2 ABC Tính AB ? A cm B cm C cm D cm Câu 12 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có AB = 16cm, AC = 21cm đường cao AH = 7cm (H  BC) Bán kính đường trịn (O) A 21 cm B 23cm C 24cm D 28cm Câu 13 Cho đường tròn (O; 10cm), dây AB = 16cm Một tiếp tuyến đường tròn (O) song song với AB cắt tia OA, OB M, N Độ dài đoạn thẳng MN A 28 cm B 26 cm 26 cm C 0 cm D O;29 cm  Câu 14 Cho đường tròn  Điểm M cố định OM 21cm Số dây cung O qua M đường tròn   có độ dài số tự nhiên A 18 B 36 C 19 D 38 Câu 15 Cho ba đường trịn (O1), (O2), (O3) có bán kính R tiếp xúc ngồi với đơi Diện tích tam giác có ba đỉnh ba tiếp điểm R A R2 B R2 C R D Câu 16 Trong hộp có viên bi màu cam, viên bi màu xanh 10 viên bi màu đỏ Khơng nhìn vào hộp, hỏi phải lấy viên bi để chắn có viên bi màu ? A B 10 C 15 D 16 II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Chứng minh số có dạng A n  n  2n  2n số phương, n  N , n  2 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x( x  x  2x  1) 4 y  y Câu (4,0 điểm) 2 a) Cho hai số thực a, b thỏa mãn a  4ab  7b 0 (với a b ) Tính giá trị biểu thức Q 2a  b 3a  2b  a b a b b) Giải phương trình: c) Giải phương trình:  3x    x  1  x    (3x  4) 2x  4x  5x  23 x 2 Câu (4,0 điểm) Cho nửa đường trịn (O; R) , đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB chứa nửa đường tròn, kẻ tia tiếp tuyến Ax A nửa đường tròn Lấy điểm M thay đổi Ax ( M không trùng với A ) Gọi E điểm đối xứng với A qua OM a) Chứng minh ME tiếp tuyến nửa đường tròn tâm O O b) Đoạn thẳng OM cắt nửa đường tròn   I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp AME c) Gọi N trung điểm EB Tia ME cắt ON P Hãy xác định vị trí điểm M tia Ax để diện tích OMP đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ theo R d) Gọi C giao điểm BE tia Ax , OC cắt AE Q Kẻ đường thẳng qua Q song song với Ax , cắt OM D Chứng minh A , D , P thẳng hàng Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số dương thỏa mãn ab  bc  ca 2abc Chứng minh rằng: 1 1    2 a (2a  1) b(2b  1) c (2c  1) Hết Họ tên thí sinh:……………………………………… Số báo danh:……………………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm (Lưu ý: Học sinh sử dụng máy tính cầm tay) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Năm học: 2021 - 2022 Mơn: Tốn (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Lưu ý: Nếu học sinh làm cách khác, tổ chấm thống cho điểm Học sinh khơng vẽ hình vẽ sai khơng tính điểm I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời 0,5 điểm Câu A C A B C D C A 10 11 12 13 14 15 16 Câu A B B C D B B D II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Chứng minh số có dạng A n  n  2n  2n khơng phải số phương, n  N , n  2 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x( x  x  2x  1) 4 y  y Nội dung cần đạt 0,25 n  n  1   n3  1   n  1  0,25 n  n  n  1  n  1   n  1  a) Ta có: A n  n  2n  2n =  = = n   n  1  n3  n2    n  n  1 n =  2n   0,25 n  2n   n  1    n  1 Với n  N ; n  Và n  2n  n   n  1  n n  1 Vậy  Điểm  n  2n   n 0,25 0,25 nên n  2n  không số phương Do A khơng số phương với n  N ; n  0,25 2 2 b) x( x  x  2x  1) 4 y  y  x  x  2x  x  4 y  y  0,25  ( x  1)( x  x  1) (2 y  1) 0,25 2 Gọi d ( x  1, x  x  1)  d 1 2 Suy x  1, x  x  số phương 2 Đặt x  m  (m  x )(m  x) 1  x 0  (2 y 1) 1  y   0;  1 0,5 0,5 Vậy ( x, y )   (0;  1), (0;0) Câu (4,0 điểm) 2 a) Cho hai số thực a, b thỏa mãn a  4ab  7b 0 (với a b ) Tính giá trị biểu Q 2a  b 3a  2b  a b a b thức b) Giải phương trình: (3x + 4)(x + 1)(6x + 7)2 = c) Giải phương trình: (3x  4) 2x  4x  5x  23 x 2 Nội dung cần đạt 2 Điểm 2 2a  b 3a  2b 2a  ab  b  3a  5ab  2b 5a  4ab  b    2 a b a b a b a  b2 2 Vì a  4ab  7b 0 nên ta có  a  b    a  4ab  7b   a  b  Q  2 6 a  b2 a b a) Q  2 b) (3x  4)(x  1)(6x  7) 6  (6x  8)(6x  6)(6x  7) 72 (*) Đặt 6x + = t, ta có: (*)  (t  1)(t  1)t 72  t  t  72 0  t 3 2 - Với t = 3, ta có 5 6x    x  - Với t = -3, ta có c) ĐK: 2x  4x  0 0,5 0,5 0,25 0,25 6x  3  x  Ta có: (3x  4) 2x  4x  5x  23 x 2 0,5 0,25  (3x  4) 2x  4x  2(2x  4x  1)  x  x  2 Đặt y  2x  4x  ( y 0) 7 (3x  4) y 2 y  x  x   y  (3x  4) y  x  x  0 2 2 Pt: 2  y  2(3x  4) y  x  x  0  (2 y  x  3)(2 y  2x  1) 0 x 3   y  (1)   y  2x  (2)  + Giải pt (1):    15 x  x 3 2x  4x    7x  10x  0   ( x  3)    15 x  0,5 0,25 Với x   x  + Giải pt (1): Với x   15   3 x  x 1 2x  4x    4x  12x+3 0   ( x  ) 2   3 x  0,5 1  3  x 2    15    x ;     Kết hợp với ĐK, ta có nghiệm pt là: Câu (4,0 điểm) Cho nửa đường tròn (O; R) , đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB chứa nửa đường tròn, kẻ tia tiếp tuyến Ax A nửa đường tròn Xét điểm M thay đổi Ax , không trùng với A Gọi E điểm đối xứng với A qua OM a) Chứng minh ME tiếp tuyến nửa đường tròn tâm O O b) Đoạn thẳng OM cắt nửa đường tròn   I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp AME c) Gọi N trung điểm EB Tia ME cắt ON P Hãy xác định vị trí điểm M tia Ax để diện tích OMP đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ theo R d) Gọi C giao điểm BE tia Ax , OC cắt AE Q Kẻ đường thẳng qua Q song song với Ax , cắt OM D Chứng minh A , D , P thẳng hàng Nội dung cần đạt Hình vẽ a) Chứng minh ME tiếp tuyến nửa đường tròn tâm O Điểm 1,0 Do E đối xứng với A qua OM nên MA = ME, OA = OE    AOM EOM  MEO OAM 90o  ME  OE Do ME tiếp tuyến đường trịn (O) O b) Đoạn thẳng OM cắt nửa đường tròn   I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp AME  Ta dễ chứng minh MI tia phân giác góc AME  AI tia phân giác góc MAE Do I giao điểm đường phân giác tam giác AME nên I tâm đường tròn nội tiếp tam giác AME c) Gọi N trung điểm EB Tia ME cắt ON P Hãy xác định vị trí điểm M tia Ax để diện tích OMP đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ theo R Dễ chứng minh AB  BP nên ABPM hình thang vuông  AB  PM 1 SOMP  OE.MP  OE.AB  R.2 R  R 2 2 1,0 1,0 Dấu “=” xảy ABPM hình chữ nhật AM = R d) Gọi C giao điểm BE tia Ax , OC cắt AE Q Kẻ đường thẳng qua Q song song với Ax , cắt OM D Chứng minh A , D , P thẳng hàng 1,0 Gợi ý: Chứng minh D giao đường cao tam giác AQO nên AD  OQ Chứng minh AP  OC AD  AP (ĐPCM) Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số dương thỏa mãn ab  bc  ca 2abc Chứng 1 1    2 minh rằng: a(2a  1) b(2b  1) c(2c  1) Nội dung cần đạt Điểm 1 ab  bc  ca 2abc    2 a b c Từ 1 x  ; y  ;z  a b c ( x, y, z  )  x  y  z 2 Đặt 0,25 x3 y3 z3    2 Ta bđt: (2  x) (2  y) (2  z ) x3 y3 z3    2 Hay (y z) (z  x) (x  y) 0,25 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: x3 y  z y  z 3x    ( y  z) 8 0,25 x3 y3 z3 xyz     2 Ta được: (y z) (z  x) (x  y) a b c  Dấu “=” xảy HẾT 0,25