UBND HUYỆN THANH SƠN PHÒNG GD& ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Năm học 2020 - 2021 Mơn: Tốn (Thời gian 150 phút khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề có 03 trang) I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời ghi vào tờ giấy thi Câu 1: Biểu thức 2 a b Giá trị a2 + b2 : A B C D x 2 y : (với x, y > 0, x y ) x y y x x y x y Câu Rút gọn biểu thức A kết là: A x 2 y y y B C Câu 3: Giá trị nhỏ Q A 34 y 2 y x y x x 34 x 3 B 10 Câu 4: Tập nghiệm phương trình A S x / x 2,5 D B S 2,5 C D 4 x 20 x 25 x 5 là: C S x / x 2,5 D S Câu Cho x y y x 1 (với x, y ) Giá trị biểu thức x y A B C D 2 2017 Câu Cho f ( x) x x Biết a 3 17 3 17 giá trị f (a ) là: A B C D -1 Câu 7: Giá trị nhỏ hàm số y 2 x x A Câu Biểu thức B 3x x2 x A x 2 B C D có nghĩa nào? x C x hoặc x D x Câu Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH BK Ta có 1 2 BK BC AH 1 C 2 BK BC AH 1 2 BK BC AH 1 C 2 BK 3BC AH A B Câu 10 Cho hình thang ABCD AB / / CD , có hai đường chéo vng góc với Biết BD 12cm, AB CD 16cm Diện tích hình thang ABCD A 7cm2 B 12 7cm C 24 7cm D 48 7cm2 Câu 11 Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD D BC , có AB = 10cm, AC = 15cm Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC E Độ dài đoạn CE A 10cm B 12cm C 15cm D 9cm AB 6cm, BH 4cm Câu 12 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Giả sử Khi cạnh BC bằng: A 9cm B 10cm C 10,5cm D 2cm Câu 13 Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH Kẻ HE vng góc với AB E, kẻ HF vng góc với AC F Khi hệ thức là: AB CF A AC BE AB BE B AC CF AH C 1 HE.BC.HF AH D 1 HE AC.HF Câu 14: Cho tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 6cm, đường phân giác AD Gọi O chia AD theo tỉ số AO:OD = 2:1 Gọi K giao điểm BO AC Tỉ số AK:KC A B C D Câu 15 Hình thang cân ABCD có đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ đường cao, đường chéo vng góc với cạnh bên Độ dài đường cao hình thang là: A cm B cm C cm D cm Câu 16 Nam chôn cọc xuống đất để đo chiều cao trước nhà, cọc cao 2m đặt cách khoảng 15m Từ chỗ cọc Nam lùi xa cách cọc 0,8m nhìn thấy đầu cọc đỉnh nằm đường thẳng Biết khoảng cách từ chân đến mắt Nam 1,6m Chiều cao A 10,85 m B 10,25 m C 9,5 m D 9,25 m II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Bài (3,0 điểm) a) Chứng minh với số nguyên n A = n ( n + 1) ( 2n + 1) M b) Tìm nghiệm nguyên phương trình 6x - 3xy + 17x - 4y + = Bài (4,0 điểm) a) Cho ba số a, b, c thỏa mãn ab bc ca 2020 Tính giá trị biểu thức: A a bc b ca c ab a 2020 b2 2020 c 2020 b) Giải phương trình x 11 x x 14 x 60 0 Bài (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D E hình chiếu vng góc H lên AB, AC a) Chứng minh: AD.AB = AE.AC b) Chứng minh: DE3 = BC.BD.CE Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME AB MF AD (E AB, F AD) a) Chứng minh DE CF ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy b) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Bài (1,0 điểm) Cho x, y , z ba số dương thỏa mãn x y z 3 Chứng minh rằng: x y z 1 x 3x yz y y zx z 3z xy -HẾT -Họ tên thí sinh: Số báo danh: Cán coi thi khơng giải thích thêm./ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Lưu ý: Nếu học sinh làm cách khác, tổ chấm thống cho điểm Học sinh khơng vẽ hình hoặc vẽ sai khơng tính điểm I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời 0,5 điểm Câu Câu C C B 10 C B 11 D A 12 A B 13 B D 14 D D 15 C D 16 C II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Bài (3,0 điểm) a) Chứng minh với số nguyên n A = n ( n + 1) ( 2n + 1) M6 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình 6x - 3xy + 17x - 4y + = Nội dung cần đạt Điểm A = n ( n + 1) ( 2n + 1) = n(n + 1)(2n - + 3) 0,5 = (n - 1)n(n + 1) + 3n(n + 1) ïï (n - 1)n ( n + 1) M 6ü ý Þ A M6 Ta có: 3n(n + 1)M6 ùù ù 0,5 0,5 ỵ 6x - 3xy + 17x - 4y + = Û 6x2 + 8x - 3xy - 4y + 9x + 12 = b) Û 2x(3x + 4) - y(3x + 4) + 3(3x + 4) = Û (3x + 4)(2x - y + 3) = 0,5 0,5 0,5 Lập bảng: Ta có nghiệm x, y 1; , 1; Bài (4,0 điểm) a) Cho ba số a, b, c thỏa mãn ab bc ca 2020 Tính giá trị biểu thức: A a bc b ca c ab a 2020 b2 2020 c 2020 b) Giải phương trình x 11 x x 14 x 60 0 Nội dung cần đạt 2 a) Từ ab bc ca 2020 suy a 2020 a ab bc ca a b a c 2 Tương tự có b 2020 b c b a , c 2020 c a c b A = a a bc b ca c ab a b a c b c b a c a c b bc b c b ca c a c ab a b Điểm 0,5 0,5 0,5 a b b c c a Khai triển làm gọn biểu thức tử ta kết Vậy A 0 11 x 6 Ta có: x 11 x x 14 x 60 0 ( x 11 6) ( x 1) ( x 5)(5 x 11) 0 b) ĐK: 0,5 0,25 5( x 5) x ( x 5)(5 x 11) 0 x 11 6 x 1 ( x 5) x 11 0 x 5 x 1 x 11 11 x 11 với x 6 ) (Do x 11 6 x 1 Vậy Phương trình có nghiệm x 5 0,5 0,5 0,5 0,25 Bài (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D, E hình chiếu vng góc H lên AB, AC a) Chứng minh: AD.AB = AE.AC c) Chứng minh: DE3 = BC.BD.CE Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME AB, MF AD a) Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy b) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Nội dung cần đạt Điểm Hình vẽ : A E D B C H a) Ta có: AD.AB = AE.AC (=AH2) 1,0 b) BH2 = BD.AB, CH2 = CE.AC AH4 = BH2.CH2 = AB.AC.BD.CE = AH.BC.BD.CE AH3 = BC.BD.CE Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật DE = AH 0,25 0,25 DE3 = BC.BD.CE Hình vẽ A F a) Chứng minh AE = AF Chứng minh AED DFC D DE, BF, CM ba đường cao EFC đpcm b) Đặt a = AB ME MF a không đổi E 0,25 0,25 B M C 0,5 0,5 S AEMF (ME MF)2 a (không đổi) ME.MF 4 lớn ME MF (tứ giác AEMF hình vng) S AEMF M trung điểm BD 0,5 0,5 Bài (1,0 điểm) Cho x, y , z ba số dương thỏa mãn x y z 3 Chứng minh rằng: x y z 1 x 3x yz y y zx z 3z xy Nội dung cần đạt Từ x yz Điểm 0 x yz 2 x yz (*) Dấu “=” x yz Chỉ : 3x yz ( x y z ) x yz x yz x ( y z ) 2 x yz x ( y z ) Suy : 3x yz x yz x( y z ) x ( y z ) ( Áp dụng (*)) x 3x yz x ( x y z ) x x (1) x 3x yz ( x y z ) y y z z (2); (3) y y xz x y z z 3z xy x y z x y z 1 Từ (1), (2) (3) x 3x yz y y xz z 3z xy Dấu “=” xảy x = y = z = Tương tự : HẾT 1,0