UBND HUYỆN THANH SƠN PHÒNG GD& ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Năm học: 2022 - 2023 Mơn: Tốn (Thời gian 150 phút khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề có 03 trang) I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời ghi vào tờ giấy thi x2 x x1 P : x x x x 1 x Câu Biểu thức với x 0, x 1 Rút gọn kết 2 x x 2 A x C x x B x x D x Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1; 3) B(3; 5) Phương trình đường trung trực AB y x y x y x y x A B C D x x 1 x x với x 0, x 4 , x 9 Câu Cho biểu thức: Số giá trị nguyên x để M nhận giá trị nguyên? A B C D d : y ( m 1) x M 2;1 Câu Cho đường thẳng Khoảng cách từ điểm đến M d đường thẳng x9 x x 6 Khi tổng giá trị m thỏa mãn A 12 B 12 C 10 D 10 Câu Cho số thực x, y thỏa mãn x y x y 0 Khi giá trị x y A B C D d : y m x 2 Câu Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d ' : y 2x Giá trị m để giao điểm (d) (d’) nằm góc phần tư thứ mặt phẳng tọa độ Oxy A m < 10 B m > 10 C m = 10 D m = Câu Cho đa thức f ( x )= x +1+ √ x ( x +1 ) S f 1 f f 2022 √ x +1+ √ x Giá trị A S 2023 B S 2022 2022 C S 2022 2023 D S 2023 2023 Trang 1/3 x2 x x 4 x Tổng tất nghiệm x 1 Câu Cho phương trình phương trình A B C D Câu Cho tam giác ABC Lấy điểm D E cạnh BC AC cho BD AE AI , BC EC Gọi giao điểm AD BE I Tỉ số ID 14 13 13 A 15 B 15 C 14 D Câu 10 Cho điểm M điểm tùy ý nằm tam giác ABC Gọi D, E, F SDEF trọng tâm tam giác MBC, MCA MAB Khi tỉ số SABC 1 1 A B 16 C D Câu 11 Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Qua B vẽ đường thẳng vng góc với BC cắt đường thẳng AC D Tia phân giác góc C cắt AB N BD M Hệ thức sau đúng? A CN.CB CM.CD B CN.CM CD.CB D CN.CD CM.CB C CN CM.CB Câu 12 Cho hình thang ABCD có A D 90 , B 60 ,CD 30cm CA vng góc với CB Diện tích hình thang ABCD A 350 cm B 50 cm C 250 cm 700 cm D AB AH 15 cm AC 7, Câu 13 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết Độ dài HC 75 15 74 21 cm 74 cm cm cm D B 7 C A Câu 14 Cho hai đường tròn (O; 10cm) (I; 17cm) cắt M N Biết khoảng cách gữa hai tâm 21cm Độ dài dây cung MN 15 cm cm cm 16 cm A B C D Câu 15 Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung B O , C O ' BC ( Tiếp tuyến chung A cắt tiếp tuyến chung OA 4,5 cm O 'A 2 cm BC I Biết , , độ dài BC cm cm 10 cm cm A B C D Câu 16 Sau buổi sinh hoạt ngoại khóa, nhóm Hằng rủ ăn kem Do quán khai trương nên có khuyến mại, ly kem thứ giá ly kem Trang 2/3 giảm 1500 (đồng) so với giá ban đầu Nhóm Hằng mua ly kem với số tiền 154 500 (đồng) Hỏi nhóm Hằng mua 15 ly kem hết tiền? A 270 000 (đồng) B 253 500 (đồng) C 264 000 (đồng) D 255 000 (đồng) II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Cho a, b, c, k số nguyên thỏa mãn: a b3 c3 k 4k 2a b 2c Chứng minh rằng: k chia hết cho x b) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: 57 y Câu (4,0 điểm) x2 3x x x 2 a) Giải phương trình: b) Cho đa thức f ( x) bậc có hệ số bậc cao Biết f (2) 5, f (3) 7, f (5) 11 Tính f (12) f (10) c) Giải phương trình: 2( x 4) x ( x 2) x 1 x 0 Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O; R), đường kính AK Các đường cao AD, BE, CF cắt H Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) hai điểm P, Q (P C nằm khác phía AB) Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh: Tứ giác BHCK hình bình hành OAC BAH 2 b) Chứng minh: AP AQ 2AD.OM c) Khi BC cố định A di động đường tròn (O) Chứng minh đường thẳng qua H song song với AO qua điểm cố định Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: a3 b3 c3 a2 b2 c2 a 2b b 2c c 2a -HẾT -Họ tên thí sinh: Số báo danh: Cán coi thi không giải thích thêm./ (Chú ý: Học sinh sử dụng máy tính cầm tay) Trang 3/3 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Lưu ý: Nếu học sinh làm cách khác, tổ chấm thống cho điểm Học sinh không vẽ hình vẽ sai khơng tính điểm I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời 0,5 điểm Câu C C B D D B D C 10 11 12 13 14 15 16 Câu A C D A D D A B II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) 3 a) Cho a, b, c, k số nguyên thỏa mãn: a b c k 4k 2a b 2c Chứng minh rằng: k chia hết cho x b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 57 y Nội dung cần đạt a) Ta có: a b3 c3 k 4k 2a b 2c Điểm a a b3 b c3 c k 4k 3a 3c 0,5 a a b b c c k a c 3 3 a a a 1 a a 1 3 b3 b3 c3 c3 a a b b c c 3 ; , a c 3 k 3 k 23 mà Vậy, k chia hết cho b) Nếu x phương trình vơ nghiệm x Nếu x lẻ chia dư 2, 57 chia dư Điều xảy số phương chia dư Vậy x số chẵn, xét x 0 , khơng tính tổng qt ta giả sử y 0 đặt x 2k ta có: x 2k 2 57 y y 2k 57 y k 0,5 0,5 0,5 y 1.57 3.19 k y 2n 1 2.2n 56 n TH1: y 57 vô nghiệm n y 3 2.2n 16 n 3 y 11, x 6 n TH2: y 19 Vậy phương trình có x; y 6;11 , 6; 11 nghiệm là: 0,5 0,25 0,25 Câu (4,0 điểm) x2 a) Giải phương trình: x 2 3 x x Trang 4/3 b) Cho đa thức f ( x) bậc có hệ số bậc cao Biết f (2) 5, f (3) 7, f (5) 11 Tính f (12) f (10) c) Giải phương trình: 2( x 4) x ( x 2) x x 0 Nội dung cần đạt Điểm a) Ta biến đổi phương trình: 2 x x x x x 1 0 x 3 3x 1 0 x2 x2 x2 Giải phương trình ta thu nghiệm 3 3 b) Đặt Q( x) f ( x) (2 x 1) Ta thấy x 2, x 3, x 5 nghiệm Q( x ) x 6; x Đặt Q( x) ( x 2)( x 3)( x 5)( x m) 0,5 0,5 1,5 f ( x) ( x 2)( x 3)( x 5)( x m) (2 x 1) f (12) f (10) 5040 c) ĐK: x 2 2( x 4) x ( x 2) x x 0 2( x 4)( x 1) ( x 2)( x 2) x 18 0 2( x 4)( x 3) ( x 2)( x 3) 6( x 3) 0 x 1 x 1 x 2x ( x 3) 0 x 1 x 1 Ta có: 1,5 2x x 2x x x 6 0 x 1 x 1 x 1 x 1 với x 2 Vậy x 3 Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường trịn (O; R), đường kính AK Các đường cao AD, BE, CF cắt H Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) hai điểm P, Q (P C nằm khác phía AB) Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh: Tứ giác BHCK hình bình hành OAC BAH 2 b) Chứng minh: AP AQ 2AD.OM c) Khi BC cố định A di động đường tròn (O) Chứng minh đường thẳng qua H song song với AO qua điểm cố định Nội dung cần đạt Điểm Trang 5/3 A Q E N F O H P B D C M I K a) Ta có ABK, ACK có cạnh AK đường kính đường trịn ngoại tiếp nên ABK, ACK vuông B, K BH//CK (cùng vuông góc AC), BK//CH (cùng vng góc với AB) Tứ giác BHCK hình bình hành Xét tam giác vng BDH ADC có DBH DAC (cùng phụ ACB ) BD BH BD CK BDH ADC g.g AD AC AD AC (do BH = CK) BDA KCA c.g.c OAC BAH Suy ra: b) Ta có BHCK hình bình hành BC cắt HK trung điểm M Tam giác AKH có OM đường trung bình nên AH = 2OM AE AB ABE ACF g.g AF AC Gọi N giao điểm AK EF.Ta có: AEF ABC c.g.c AEF ABC 0 Ta có: ABC BAD 90 OAC AEF 90 AK EF ANF ABK g.g AN.AK AF.AB Ta có AP AN.AK AHF ABD g.g AF.AB AH.AD AP AH.AD 2AD.OM 2 Vì AK vng góc PQ nên AP AQ AP AQ 2AD.OM c) Qua H kẻ đường thẳng song song với AK cắt OM I Suy tứ giác AHIO hình bình hành AH IO 2OM; IH OA R Vì BC cố định nên OM không đổi IO không đổi Điểm I cố định 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: a3 b3 c3 a2 b2 c2 a 2b b 2c c 2a Nội dung cần đạt Điểm Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a3 a a 2b a a a 2b 2 2 a a 2b a 2b (1) ; Trang 6/3 b3 b b 2c 2 b b 2c (2) ; 0,25 c3 c c 2b 2 c c 2b (3) Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a3 b3 c3 2 a b c ab bc ca a b c a 2b b 2c c 2a 9 3 3 a b c ab bc ca a b c (1' ) a 2b b 2c c 2a 9 0,25 Mặt khác ta có: a b c ab bc ca 2 a b c ab bc ca (2' ) 9 Cộng theo vế bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được: a3 b3 c3 2 ab bc ca a b c a b c ab bc ca a 2b b 2c c 2a 9 9 a3 b3 c3 a2 b2 c2 a 2b b 2c c 2a Dấu “=” xảy a b c 0,25 0,25 Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa HẾT Trang 7/3