PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THUỶ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC: 2022-2023 Đề thức MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề thi có: 03 trang Lưu ý: - Thí sinh lựa chọn đáp án phần trắc nghiệm khách quan có lựa chọn - Thí sinh làm thi (cả phần trắc nghiệm khách quan phần tự luận) tờ giấy thi; không làm đề thi A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu Cho biểu thức A A A = 16 x x với x Khẳng định đúng? 12 x B A = C A = Câu Điều kiện xác định biểu thức B A x B x D A = 2x x 3 C x D x Câu Cho ba đường thẳng (d1): y = 2x + 1; (d2): y = 4x – 1; (d3): y = 2m2 x – 15 Để ba đường thẳng cho đồng quy giá trị m A m 3 B m 3 C m D m Câu Cho đường thẳng d : y 2m 1 x với m tham số m trị m để khoảng cách từ A 2;1 đến đường thẳng d A 19 B 5 C Tổng giá D 19 f ( x y ) x f ( y), x, y R Tính f (2022) f (0) 2 Câu Hàm số f định nghĩa sau: A B 2020 C 2022 D 2024 x my m Trong trường hợp hệ có nghiệm mx y 3m Câu Cho hệ phương trình: giá trị m để tích xy nhỏ là: A m 0 B m C m D m 1 Câu Cho hệ pt Giá trị a để chúng tương đương A a 1 B a 2 C a 3 D a 4 Câu Trong tam giác ABC, đường trung tuyến AM, K điểm nằm AM cho 2 x y y 3 x ax y x y AK , BK cắt AC N Biết AC =12 cm, độ dài AN KM A cm B 3cm C 3,2cm D 2,4cm Câu Cho ABC gọi O trung điểm BC I trung điểm AO Gọi M điểm cạnh AB cho AM 2 AB Đường thẳng MI cắt cạnh AC N Khi tỉ sớ AN : AC A B C D 600 Tính độ dài BC Câu 10 Tam giác ABC có AB = 16cm, AC = 14cm B A 8cm C 10cm B cm D 10 cm Câu 11 Ở độ cao 920m, từ máy bay trực thăng người ta nhìn hai điểm A, B hai đầu cầu góc so với phương nằm ngang 370 310 Độ dài AB cầu khoảng A 1221 m B 310 m C 1531 m D 693 m Câu 12 Một hình hộp chữ nhật có diện tích xung quanh 224cm , chiều cao 7cm Thể tích hình hộp chữ nhật lớn bao nhiêu? A 448cm3 B 1568cm3 C 64cm3 D 128cm3 Câu 13 Cho tứ giác ABCD có AB = BD = BC, ? DBC 760 Tính sớ đo DAC C B 76° A D A 760 B 380 C 400 D 520 Câu 14 Cho đường tròn (O) với BA = 6cm đường tiếp tuyến Một cát tuyến qua B cắt (O) C D hình vẽ bên Biết CD = 9cm Tính độ dài đoạn thẳng BC A 6cm O B C D 9cm A 3cm B 4cm C.5cm D.6cm Câu 15 Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R C điểm nửa đường tròn, khoảng cách từ C đến AB h Tính bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác ABC theo R h A r R ( R h) R B r R ( R h) R C r R ( R h) R D r R ( R h) R Câu 16 Lương chị Hải lương anh Tuấn Mỗi tháng chị Hải tiết kiệm 40% lương sớ tiền chi tiêu chị Hải nửa số tiền chi tiêu anh Tuấn Hỏi tháng anh Tuấn tiết kiệm phần trăm lương mình? A.20% B 25% C.30% D.40% B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 1(3,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình x3 8 y 15 y 2 b) Cho số nguyên a b thỏa mãn S a b ab a b 2023 chia hết cho Tìm số dư chia a b cho Câu 2(3,5 điểm) 3 a) Cho số thực x, y, z đôi khác thỏa mãn x 3x 1, y 3 y z 3 z Chứng minh x y z 6 b) Giải phương trình: x x 11x x 1 0 Câu (4,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C điểm nằm nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B) Gọi H hình chiếu vng góc C AB, D điểm đối xứng với A qua C, M trung điểm CH, N trung điểm DH a) Chứng minh D CNH # D HMB b) Gọi E giao điểm HD BM Chứng minh HE.HD = HC2 c) Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn 1 2 Câu (1,5 điểm) Cho ba số dương x, y , z thỏa mãn điều kiện 1 x 1 y 1 z Tìm giá trị lớn biểu thức A xyz .Hết Họ tên thí sinh: .SBD: Cán coi thi khơng cần giải thích thêm./ PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2022 - 2023 MƠN: TỐN Hướng dẫn chấm có: 06 trang A Một sớ ý chấm - Đáp án chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm - Thí sinh làm theo cách khác với hướng dẫn chấm mà tở chấm cần thớng cho điểm tương ứng với thang điểm hướng dẫn chấm - Điểm thi tởng điểm câu khơng làm trịn số B Đáp án – thang điểm I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời cho 0,5 điểm Câu Đáp án A D A A D A D D B 10 11 12 13 14 C B A B A 15 B 16 B II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 1(3,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình x3 8 y 15 y 2 b) Cho số nguyên a b thỏa mãn S a b ab a b 2023 chia hết cho Tìm sớ dư chia a b cho Nội dung a) Tìm nghiệm nguyên phương trình x3 8 y 15 y (*) 3 Ta có x 8 y 15 y x 8 y 15 y x y 1 y Ta thấy y 0 với y Z Nếu y 0 y 1 thay vào (*) ta x = y a a, b Z 8 y b Điểm 1,5 0,25 0,25 Nếu y 0 y 1 Dễ thấy y 1,8 y 1 0,25 b3 (2a)3 1 (b 2a )(b 2ab 4a ) 1 b 2a 1 Vì b 2ab 4a 0 nên 2 b 2ab 4a 1 Vậy nghiệm phương trình x; y (0;1) 0,25 a 0 b 1 x 0 (Loại) y 1 2 b) Cho số nguyên a b thỏa mãn S a b ab a b 2023 chia hết cho Tìm sớ dư chia a b cho 0,25 0,25 1,5 2 Ta có S a b ab a b 2023 chia hết ta 2 a 4b ab 12 a b 125 a b b 1 5 Đặt x 2 a b 3; y b ta x y 5 Ta biết sớ phương chia cho có sớ dư 0; 1; Do ta xét trường hợp sau 0,5 + Nếu y chia hết cho 5, x chia hết cho Từ ta 2a b 3 5 2a b 35 b b 2a b 35 2a b 3 3b 3 5 3 b 1 5 0,5 Từ ta a b 5 a b5 (vì ngun tớ nhau) Do dư phép chia a b cho + Nếu y chia cho dư 1, x chia cho dư 0,25 Trường hợp loại + Nếu y chia cho dư 4, x chia cho dư Trường hợp loại 0,25 Vậy dư phép chia a b cho Câu 2(3,5 điểm) 3 a) Cho số thực x, y , z đôi khác thỏa mãn x 3x 1, y 3 y z 3 z Chứng minh x y z 6 b) Giải phương trình: x x 11x x 1 0 Nội dung a) Cho số thực x, y, z đôi khác thỏa mãn x 3x 1, y 3 y z 3 z Chứng minh x y z 6 1,5 Ta có x 3x 1(1), y 3 y (2), z 3 z (3) x y 3 x y x xy y 3 (4) Từ (1), (2) (3) suy y z 3 y z y yz z 3 (5) 3 2 z zx x 3 (6) z x 3 z x 2 Từ (4) (5) suy x z xy yz 0 x y x y z 0 x y z 0 (vì x, y, z đơi phân biệt) Cộng (4), (5) (6) theo vế với vế ta có 2 x y z x y z 9 x y z 6 2 b) Giải phương trình: x x 11x x 1 Điểm 0,5 0,5 0,5 0 2,0 Điều kiện: x 1 0,25 Ta có: x x 11x x 1 x x x 1 x 1 x 1 x 1 3 0 x 1 1 x x 0 2 1 x 2 x 0,25 x x Với x 1 2 x x 1 2 x x 3x 3x 4 x 12 x x 2 x 5 x x 15 x 10 0 x Với x 1 0,5 x x 1 x (vô nghiệm với x 1 ) 0,5 0,5 5 Câu (4,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C điểm nằm nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B) Gọi H hình chiếu vng góc C AB, D điểm đối xứng với A qua C, M trung điểm CH, N trung điểm DH a) Chứng minh D CNH # D HMB b) Gọi E giao điểm HD BM Chứng minh HE.HD = HC2 c) Xác định vị trí điểm C nửa đường trịn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn Nội dung Điểm Vậy phương trình có nghiệm x 2, x D C E M A 0,25 N O H B a) Chứng minh D CNH # D HMB CN đường trung bình tam giác ADH suy CN // AH CN = 1,25 AH 0,25 Ta có 0,25 CH AB CN CH CN / / AB Chỉ HCA#HBC ( g g ) HC HA HC 2CN CN HB HC HB HM HM 0,25 Xét D CNH D HMB có HC CN (cmt) HB HM HCN MHB 900 Do D CNH # D HMB (c.g.c) b) Gọi E giao điểm HD BM Chứng minh HE.HD = HC2 Vì CNH #HMB HMB mà HNC MHE HNC 900 MHE HMB 900 MB HD E Chứng minh HEM # HCN ( g.g ) HE HM HE.HN HC.HM Suy HC HN 1 Mà HN HD; HM HC Suy HE.HD = HC2 2 c) Đặt HB = x AH = 2r- x; gọi bán đường trịn (O) r Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ABC ta có CH x(2r x) AH + CH = 2r – x + x(2r x) 0,5 1,5 0,5 0,5 0,5 (2 3) x(2r x) 1 1 2r x (2 x x 2r x ) 1 2r x 2r x ( BDT cauchy ) 0,5 2r 2r x x x x r ( 2x x r) 1 1 3r 2.r r ( 1) r ( 1) 1 1 Dấu “=” xảy (2 3) x 2r x x Khi AH 2 2 r r CH 1 A 22,50 r CH Suy tan A AH Vậy Max(AH+CH) = 0,5 r C thuộc nửa đường tròn (O) cho BAC 22,50 hay BOC 450 Cách · Lấy điểm M nửa đường tròn (O) cho BOM = 450 Tiếp tuyến nửa đường tròn (O) M cắt AB N Ta có M N cớ định AN không đổi Kẻ MK AB K 0,25 Chứng minh D MON vuông cân M KM = KN ANM 450 +) Xét C º M Vì C º M nên H º K, Do AH + CH = AK + KM = AK + KN = AN (không đổi) 0,25 +) Xét C khác M Tia NC nằm hai tia NA NM Do ·ANC < ·ANM = 450 D HNC · · · có NHC = 900 nên HNC + HCN = 900 0,25 · · · · HC < HN Mà HNC < 450 nên HCN > 450 Suy HNC < HCN Do AH + CH < AH + HN = AN · Vậy Khi C nửa đường tròn (O) cho BOC = 450 AH + CH đạt giá trị lớn Câu (1,5 điểm) Cho ba số dương x, y , z thỏa mãn điều kiện 1 2 1 x 1 y 1 z Tìm giá trị lớn biểu thức A xyz Nội dung 1 1 1 y z 2 1 1 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 y 1 z Áp dụng BĐT Cosi cho sớ dương, ta có: y z y z 2 1 x 1 y 1 z 1 y 1 z Tương tự: x z x z 2 1 y 1 x 1 z 1 x 1 z 0,25 Điểm 0,5 0,5 x y x y 2 1 z 1 x 1 y 1 x 1 y Do đó: 1 y z x z x y 2 1 x 1 y 1 z 1 y 1 z 1 x 1 z 1 x 1 y 8 xyz xyz 1 x 1 y 1 z Dấu “=” xảy x y z 0,5