PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THUỶ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC: 2021-2022 Đề thức MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề thi có 03 trang I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu Cho biểu thức M 3a 9a a 1 a 2 (a 0, a 1) Kết rút a a 2 a 1 a gọn biểu thức M A a 1 a 1 B a 1 a 1 C 1 a a 1 D a 1 a 1 Câu Cho a 38 17 38 17 đa thức f ( x) x3 3x 1945 trị f (a) A Câu 3: Cho a b A B 20212022 76 C 20222021 76 2022 Giá D 20212022 1 , giá trị biểu thức Q a b 2 B 10 D 16 C 12 Câu Cho hàm số f x ax5 bx3 cx ( a, b, c số) Cho biết f 3 208 Khi giá trị f 3 A -218 B -98 C 98 D 218 Câu Cho điểm A(1; 4) B(3; 1) Xác định đường thẳng (d): y = ax cho A B nằm hai phía đường thẳng (d) cách đường thẳng (d) Đường thẳng (d) A y 3 x B y x x C y D y x Câu Giá trị x để ba điểm A(x; 14), B(-5; 20), C(7; -16) thẳng hàng A -5 B - C -3 D -2 Câu Cho đường thẳng y = ax – 1, y = 1, y = Giá trị a để ba đường thẳng cho với trục tung tạo thành hình thang có diện tích A -1 B - C D Câu Cho biểu thức P x 8x x 8x , với x 1, khẳng định sau đúng? A P 2 với x B P 2 với x D P 2 x với C P 2 x với x 1 x Câu Cho tam giác ABC vuông cân C Từ C kẻ tia vng góc với đường trung tuyến AM cắt AB D Khi tỉ số A B BD AD C D Câu 10 Cho ABC có đường trung tuyến AD, trọng tâm G Qua G kẻ đường thẳng cắt AB AC E F Tổng tỷ số A AB AC AE AF C B 2,5 D 3,5 Câu 11 Một hình hộp chữ nhật có diện tích xung quanh 224 cm2, chiều cao 7cm Một kích thước đáy để hình hộp chữ nhật tích lớn A 16 B 64 C D Câu 12 Cho tam giác nhọn ABC, đường cao CK, H trực tâm tam giác Gọi M điểm CK cho AMB 900 Cho biết diện tích tam giác ABC ABH Khi diện tích tam giác AMB A 13 B 10 C D 89 Câu 13 Cho tam giác ABC biết AB 11cm , AC 15cm BC 20cm Độ dài đường cao AH tam giác ABC B 8, 25cm A 66, 24cm C 93, 24cm D 12cm Câu 14 Cho đường tròn O; R ngoại tiếp đa giác 12 cạnh Độ dài cạnh đa giác theo R là: A R B R C R D R Câu 15 Cho đường t òn O; R Điểm A nằm O cho OA 2R, qua A kẻ cát tuyến ABC ( B nằm A C ), biết COB 900 độ dài AC A R 1 B R 1 C R 7 2 D R 7 2 Câu 16 Bốn bạn A, B, C, D có tất 76 viên kẹo Bốn bạn đồng thời chia số kẹo cho bạn sau: - A giữ lại viên kẹo chia phần lại cho bạn - B giữ lại hai viên kẹo chia phần lại cho bạn - C giữ lại ba viên kẹo chia phần lại cho bạn - D giữ lại bốn viên kẹo chia phần lại cho bạn Cuối số kẹo bạn Hỏi ban đầu A có viên kẹo? A 13 B 19 C 25 D 33 II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 5x4 y 4x2 y 85 5 P x 2020 y 2021 3z 2022 b) Cho x ; y ; z số nguyên S x y 3z 2021 Chứng minh P chia hết cho 30 S chia hết cho 30 Câu (4,0 điểm) f ( x) x5 ax4 bx3 cx dx e a) Cho hai đa thức với hệ số thực g ( x) x x 2021 Biết phương trình f ( x) có nghiệm thực phân biệt cịn phương trình f g ( x) vô nghiệm Chứng minh f (2021) x y z 1 1 2 2 2 x y z xyz 1 1 0 x y z b) Cho ba số x, y, z khác thoả mãn: 2019 z 2019 Tính giá trị biểu thức: P y z 2021 x 2021 x 2023 y 2023 c) Giải phương trình sau: x2 3x x 1 Câu (4,0 điểm) 1) Cho hình vuông ABCD, hai đường chéo cắt O Trên AB lấy điểm M khác A B, đường thẳng qua M song song với BD cắt AC N, DN CM cắt E a) Chứng minh OND BMC b) Tính số đo góc DEC 2) Cho ABC nhọn Xác định vị trí điểm M nằm ABC cho: AM.BC + BM.CA + CM.AB đạt giá trị nhỏ Câu (1,0 điểm) Cho a, b,c số thực dương khác thỏa mãn a b c abc Chứng minh rằng: P a3 b3 c3 2 6a 12 6b 12 6c 12 .Hết Họ tên thí sinh: .SBD: Cán coi thi không cần giải thích thêm PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC: 2021-2022 MƠN:TỐN (Hướng dẫn chấm có: 05 trang) A Một số ý chấm Đáp án dựa vào lời giải sơ lược cách giải Thí sinh giải cách khác mà tổ chấm cho điểm phần ứng với thang điểm hướng dẫn chấm B Đáp án thang điểm I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời cho 0,5 điểm B Câu Đ án D D A B C C B A 10 11 12 13 14 15 C D B A D B 16 A II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 5x4 y 4x2 y 85 5 P x 2020 y 2021 3z 2022 b) Cho x ; y ; z số nguyên S x y 3z 2021 Chứng minh P chia hết cho 30 S chia hết cho 30 Nội dung Điểm a) Phương trình cho tương đương với x4 85 y x Lập luận x 85 44 0,25 Mà x Z Suy x { 04 ;14 ; 24 ;34 } 0,25 x 04 y 85 ( loại) x 14 y 2 x 24 y 8 x 34 y 18 2 84 ( loại) 0,25 71 ( loại) y 18 y 20 4 y 18 2 y 16 x Khi x 3 Vậy phương trình có nghiệm ngun x; y là: (3 ; 20); (-3 ; 20); (3 ; 16); (-3 ; 16) b) Đặt a x 2020; b y 2021; c 3z 2022 với a, b, c Z 0,25 0,25 0,25 0,25 P a b5 c Ta có: S a b c Xét P S a5 a b5 b c5 c 0,5 HS chứng minh với số nguyên m m5 m chia hết cho 30 Do P S a5 a b5 b c5 c chia hết cho 30 với a; b; c số nguyên Vậy P 30 S 30 0,25 0,25 Câu (4,0 điểm) a) Cho hai đa thức với hệ số thực f ( x) x5 ax4 bx3 cx dx e g ( x) x x 2021 Biết phương trình f ( x) có nghiệm thực phân biệt cịn phương trình f g ( x) vô nghiệm Chứng minh f (2021) x y z 1 1 2 2 2 x y z xyz 1 1 0 x y z b) Cho ba số x, y, z khác thoả mãn: 2019 z 2019 Tính giá trị biểu thức: P y z 2021 x 2021 x 2023 y 2023 c) Giải phương trình sau: x2 3x x 1 Nội dung Điểm a) Giả sử pt f x có nghiệm thực xi (i 1,5) , ta có f ( x) 2( x x1 )( x x2 ) ( x x5 ) , suy f g ( x) x x 2021 x1 x x 2021 x5 Vì phương trình f g ( x) vơ nghiệm nên năm phương trình x x 2021 xi (i 1,5 ) vô nghiệm 0,25 0,25 1 Ta có x x 2021 xi x xi 2021 2 Để x2 x 2021 xi (i 1,5 ) vô nghiệm xi 2021 0,25 1 2021 xi 4 Ta có f 2021 2021 x1 (2021 x2 ) (2021 x5 ) f (2021) 1 512 0,25 b) Từ giả thiết suy ra: 4 1 1 1 2(x y z) 2 2 2 2 2 x y z xyz x y z xyz 1 1 1 1 2 x y z xy yz zx x y z Mà 0,25 1 1 1 suy (1) x y z x y z Mặt khác x y z 1 suy (2) xyz Từ (1) (2) suy 1 1 x y z xyz Biến đổi 0,5 (3) (3) x y y z z x x 2023 y 2023 x 2023 y 2023 x y x y z y y z y 2019 z 2019 y 2019 z 2019 z 2021 x 2021 z 2021 x 2021 x z z x 0,5 nên P = 0,25 c) ĐKXĐ: x 0,25 Pt (2) x2 x x x 0,25 (x 1)2 ( x 2)2 0,25 x 1 x 1 x 1 x 1 x x x x 0,25 x x x 1(x 1) x x 0(x 1) x (t/m) 2 x x x (x 3) x x 10 0(x 3) 0,25 Vậy phương trình (2) có tập nghiệm S 2 0,25 Câu (4,0 điểm) 1) Cho hình vng ABCD, hai đường chéo cắt O Trên AB lấy điểm M khác A B, đường thẳng qua M song song với BD cắt AC N, DN CM cắt E a) Chứng minh OND BMC b) Tính số đo DEC 2) Cho ABC nhọn Xác định vị trí điểm M nằm ABC cho AM.BC + BM.CA + CM.AB đạt giá trị nhỏ Nội dung Điểm 1) Hình vẽ T E M B A N O 1 C D a) Dễ thấy ANM vuông cân N Do MN // BO nên AN AM AN AM NO AN NO MB MB AM Ta lại có Tam giác OBC vng cân O nên Suy 0,25 OD OB BC BC NO OD MB BC 0,25 0,25 0,25 Xét OND BMC có NO OD MB BC OND b) Vì OND NOD MBC 900 BMC (c.g.c) BMC nên D1 C1 0,25 0,25 0,5 Giả sử CM cắt DA T T C1 T D1 0,5 Xét DET có T D2 DEC ( t/c góc ngồi tam giác) D1 D2 DEC mà D1 D2 ADB 450 DEC 450 (Chú ý: HS dùng tứ giác nội tiếp để cm) 0,5 2) A B1 M C B C1 + Kẻ BB1 CC1 tương ứng vng góc với đường thẳng AM 2 + Ta có SAMB + SAMC = AM BB1 AM CC1 2 = AM ( BB1 CC1 ) AM BC 0,25 (Dấu “=” xảy AM BC ) + Chứng minh tương tự: SBMC + SBMA BM AC (Dấu “=” xảy BM AC ) SCMA + SCMB CM AB (Dấu “=” xảy CM AB ) 0,25 + Cộng vế bất đẳng thức ta có: 0,25 2(SAMB + SBMC + SCMA) ( AM BC BM CA CM AB) AM BC BM CA CM AB 4S ABC Dấu “=” xảy AM BC; BM CA; CM AB M trực tâm ABC Vậy AM BC BM CA CM AB đạt giá trị nhỏ 4SABC M trực 0,25 tâm ABC Câu (1,0 điểm) Cho a, b,c số thực dương khác thỏa mãn 1 a3 b3 c3 Chứng minh rằng: P 2 a 1 b 1 c 1 6a 12 6b 12 6c 12 Nội dung Ta thấy : 6a 12 4a 2(a 4) 4a 8a (2a 2) 2 a a 1 1 6a 12 2a 2(a 1) a b3 b3 1 Chứng minh tương tự : ; 6b2 12 2b 2 b a3 2 Điểm 0,25 0,25 c3 6c 12 c3 1 2c 2 c Cộng vế với vế ta có : a3 b3 c3 1 1 a 1 b 1 c 1 6a 12 6b 12 6c 12 Dấu “=” xảy a b c P 0,25 0,25