SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH BẬC THCS Năm học : 2017-2018 Mơn thi : TỐN Thời gian: 150 phút Ngày thi : 17/4/2018 Câu (5,0 điểm) A x 8 x4 x x x x 8 x x a) Cho biểu thức Rút gọn biểu thức A Tìm số nguyên x để A số nguyên b) Cho ba số thực a, b, c cho a 2;1 b 2 ;1 c 2 a b c a c b 7 Chứng minh b c a c b a Câu (4,0 điểm) a) Cho phương trình x 2x 2m 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ;x có nghiệm bình phương nghiệm cịn lại b) Giải phương trình : x x 3 x Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh với số tự nhiên n 1 n n 1 n lập phương số tự nhiên 2 b) Cho số nguyên tố p (p 3) hai số nguyên dương a, b cho p a b Chứng minh a chia hết cho 12 2(p a 1) số phương Câu (3,5 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh cm E điểm nằm cạnh BC (E khác B C) Đường thẳng qua B, vng góc với đường thẳng DE H cắt đường thẳng CD F, Gọi K giao điểm AH BD a) Chứng minh tứ giác KDCE nội tiếp đường tròn ba điểm K, E, F thẳng hàng b) Khi E trung điểm cạnh BC, tính diện tích tứ giác BKEH Câu (3,5đ) Cho hai đường tròn C1 , C cắt hai điểm A, B Tiếp tuyến A C cắt C1 M (M khác A) Tiếp tuyến A C1 cắt C điểm N (N khác A) Đường thẳng MB cắt C P (P khác B) Đường thẳng NB cắt C1 Q (Q khác B) a) Chứng minh tam giác AMP , AQN đồng dạng 2 b) Chứng minh MB.NA NB.MA -Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẢNG NAM NĂM 2017-2018 Câu 1a) A x 8 x 2 x x 4 x 6 x 2 x x 4 x x 4 x x x x x 4 x x ước 3; có x x 3 có nghiệm x=1 thỏa mãn ĐK 2 2 2 1b) Khử mẫu ta a c ab bc a b ac b c 7abc Giả sử a b c b a b c 0 b ac ba bc 2 b a a c abc a b 2 b c ac abc bc a c ab ac b c 2abc a b bc a c ab2 bc2 a b ac2 b c 2abc 2a b 2bc 2 2 2 Chứng minh 2abc 2a b 2bc 7abc 2a b 2bc 5abc 2a 2c 5ac (2a c)(c 2a) 0 Câu 2a) ĐK có hai nghiệm phân biệt ' 2m m Khi m ta có x1 x 22 (1) x1x 3 2m (2) x x 2 (3) 2 Thế (1) vào (2) : x x 0 x 1;x )x 1 x 1 2m 1 m 1 (loại) )x x1 4 3 2m m 11 / (chọn) 2b) x x 3 x DK : x 1 x x x 0 4(x 1) (4 4x x ) x (2 x) x2 x x x2 1 x2 1 x2 x2 0 0 1 x2 0 x2 1 x 2 x Vì x 1 nên ngoặc dương Do phương trình có nghiệm x=0 Câu 3a A n 1 n n +) Khi n 1 A 54 không lập phương +) Khi n 2 A 120 không lập phương +)Khi n ta chứng minh A không lập phương A n 1 n n n 11n 26n 16 n 12n 48n 64 n A n 3 n 11n 26n 16 n 9n 27n 27 2n n 11 n 89 89 2,6 n n 2,1 4 3 Suy n > n 3 A n Vậy A lập phương 2 3b p b a b a b a b a b a ước p b a b a ước p p nguyên tố 2 Vì b – a < b+a nên b – a =1 b a p 2a p Cộng vào hai vế cho 2p+1 ta có: 2a 2p p 1 2(a p 1) p 1 Chứng minh a chia hết cho 12 +) Chứng minh a chia hết cho 2 Vì 2a p 2a p p nguyên tố >3 nên p chia dư 2a 3 a 3 +)Chứng minh a chia hết cho 2 Vì 2a p 2a p p nguyên tố >3 nên p chia dư dư *) p=4k+1 2a 16k 8k 8 a 4 *) p=4k+3 2a 16k 24k 88 a 4 Do a chia hết cho 12 Câu A B K H E D C F a) Chứng minh KDCE nội tiếp Ta có BHD BCD 90 BHCD tứ giác nội tiếp CHF BDC 450 ECFH nội tiếp 45 CHF CEF KDC KDCE nội tiếp Chứng minh K, E, F thẳng hàng BC; DH đường cao BDF FE BD Mà KDCE nội tiếp EKD ECD 90 EK BD K, E, F thẳng hàng 2 S 1 BE BKE BCD BKE S BKE 16 2 S BCD BD 8 b) S DE DCE BHE DCE 6 S BHE S DCE S BHE BE 5 14 S BKEH 2 5 Câu A Q C1 C2 M P B N 5a) Chứng minh tam giác AMP đồng dạng với tam giác AQN Ta có: AMP AQN (cùng chắn cung AB) APM ANQ (cùng chắn cung AB) Suy tam giác AMP đồng dạng với tam giác AQN (g-g) AB AM BM 5b) AMP AQN nên NB NA AB MB.NA AB.AM NB.MA AB.NA MB.NA NB.MA 2 MB.NA AB.AM NA NB.MA AB.NA.MA