087 đề hsg toán 9 quảng nam 2017 2018

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH BẬC THCS Năm học : 2017-2018 Mơn thi : TỐN Thời gian: 150 phút Ngày thi : 17/4/2018 Câu (5,0 điểm) a) Cho biểu thức A  x 8 x4 x   x x x 8 x  x  Rút gọn biểu thức A Tìm số nguyên x để A số nguyên b) Cho ba số thực a, b, c cho a 2;1 b 2 ;1 c 2 Chứng minh a b c a c b      7 b c a c b a Câu (4,0 điểm) a) Cho phương trình x2  2x   2m 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ;x có nghiệm bình phương nghiệm cịn lại b) Giải phương trình :  x   x 3  x Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh với số tự nhiên n 1  n    n  1  n  8 lập phương số tự nhiên b) Cho số nguyên tố p (p  3) hai số nguyên dương a, b cho p  a b Chứng minh a chia hết cho 12 2(p  a  1) số phương Câu (3,5 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh cm E điểm nằm cạnh BC (E khác B C) Đường thẳng qua B, vng góc với đường thẳng DE H cắt đường thẳng CD F, Gọi K giao điểm AH BD a) Chứng minh tứ giác KDCE nội tiếp đường tròn ba điểm K, E, F thẳng hàng b) Khi E trung điểm cạnh BC, tính diện tích tứ giác BKEH Câu (3,5đ) Cho hai đường tròn  C1  ,  C  cắt hai điểm A, B Tiếp tuyến A  C  cắt  C1  M (M khác A) Tiếp tuyến A  C1  cắt  C  điểm N (N khác A) Đường thẳng MB cắt  C  P (P khác B) Đường thẳng NB cắt  C1  Q (Q khác B) a) Chứng minh tam giác AMP , AQN đồng dạng b) Chứng minh MB.NA NB.MA -Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẢNG NAM NĂM 2017-2018 Câu 1a) A  x 8   x 2 x x 4 x 6   x 2 x  x 4     x x 4  x  x    x   x x 4  x  x  ước 3; có x  x  3 có nghiệm x=1 thỏa mãn ĐK 1b) Khử mẫu ta a c  ab2  bc  a b  ac  b2c 7abc Giả sử a b c   b  a   b  c  0  b  ac ba  bc 2 b a  a c abc  a b   2 b c  ac abc  bc  a c  ab  ac  b c 2abc  a b  bc  a c  ab2  bc  a b  ac  b c 2abc  2a b  2bc2 Chứng minh 2abc  2a b  2bc2 7abc  2a b  2bc 5abc  2a  2c2 5ac  (2a  c)(c  2a) 0 Câu 2a) ĐK có hai nghiệm phân biệt  '   2m    m  x1 x 22 (1)  Khi m  ta có x1x 3  2m (2) x  x 2 (3)  Thế (1) vào (2) : x 22  x2  0  x2 1;x  )x 1  x 1   2m 1  m 1 (loại) )x   x1 4   3  2m  m 11 / (chọn) 2b) x    x 3  x DK : x 1  x     x    x  0 4(x  1)  (4  4x  x )  x   0 x   (2  x)  x2   x2  x2   0 x     x  x2 1    1   x2    0  x2 1   x  12 x Vì x 1 nên ngoặc dương Do phương trình có nghiệm x=0 Câu 3a A  n  1  n    n   +) Khi n 1  A 54 không lập phương +) Khi n 2  A 120 không lập phương +)Khi n  ta chứng minh A không lập phương A  n  1  n    n   n  11n  26n  16  n  12n  48n  64  n   A   n  3  n  11n  26n  16  n  9n  27n  27  2n  n  11   n  89  89 2,6 n  n  2,1 4 3 Suy n >  n  3  A   n   Vậy A lập phương 2 3b p b  a  b  a   b  a   b  a b  a ước p  b  a b  a ước p p nguyên tố Vì b – a < b+a nên b – a =1  b  a p  2a  p 2 Cộng vào hai vế cho 2p+1 ta có: 2a  2p   p  1  2(a  p  1)  p  1 Chứng minh a chia hết cho 12 +) Chứng minh a chia hết cho Vì 2a  p  2a p  p nguyên tố >3 nên p chia dư  2a 3  a 3 +)Chứng minh a chia hết cho Vì 2a  p  2a p  p nguyên tố >3 nên p chia dư dư *) p=4k+1  2a 16k  8k 8  a 4 *) p=4k+3  2a 16k  24k  88  a 4 Do a chia hết cho 12 Câu A B K H E D C F a) Chứng minh KDCE nội tiếp   Ta có BHD BCD 900  BHCD tứ giác nội tiếp    CHF BDC 450    ECFH nội tiếp  450 CHF CEF KDC  KDCE nội tiếp Chứng minh K, E, F thẳng hàng BC; DH đường cao BDF  FE  BD   Mà KDCE nội tiếp  EKD ECD 900  EK  BD  K, E, F thẳng hàng 2 S  BE      S BKE  16 2 b) BKE BCD  BKE     S BCD  BD    8 S  DE  DCE BHE  DCE  6  S BHE  S DCE   S BHE  BE  5 14  S BKEH 2   5 Câu A Q C1 C2 P B M N 5a) Chứng minh tam giác AMP đồng dạng với tam giác AQN   Ta có: AMP (cùng chắn cung AB) AQN   APM ANQ (cùng chắn cung AB) Suy tam giác AMP đồng dạng với tam giác AQN (g-g) AB AM BM   5b) AMP AQN nên NB NA AB MB.NA AB.AM    NB.MA AB.NA  MB.NA NB.MA 2 MB.NA AB.AM NA   NB.MA AB.NA.MA