TRƯỜNG THCS LONG HỮU ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2012 - 2013 MƠN TỐN Thời gian 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề: x+ y x− y + : 1+ ÷ Câu 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức A = ÷ − xy − xy a) Rút gọn A b) Tính giá trị A x = x + y + xy ÷ − xy 2+ c) Tính giá trị lớn A Câu 2: (4,5 điểm) a) Giải phương trình: x − x − x − x + = 2 x + xy − y − x + y + = b) Giải hệ phương trình: 2 x + y + x + y − = Câu 3: (3 điểm) Cho phương trình x − 2mx + m − m − = Với giá trị m phương trình cho có nghiệm x1 x2 cho x1 x2 18 + = x2 x1 Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có AB = c; AC = b; BC = a, phân giác AD a) Chứng minh hệ thức AD2 = AB.AC – BD.DC b) Tính độ dài phân giác AD theo a,b,c Câu 5: (5 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) (O'; R') cắt hai điểm phân biệt A B Từ điểm C thay đổi tia đối tia AB Vẽ tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O (D; E tiếp điểm E nằm đường tròn tâm O') Hai đường thẳng AD AE cắt đường tròn tâm O' M N (M N khác với điểm A) Đường thẳng DE cắt MN I Chứng minh rằng: a) MI.BE = BI.AE b) Khi điểm C thay đổi đường thẳng DE ln qua điểm cố định Câu Câu (4,5 đ) Ý a) ĐÁP ÁN TOÁN Nội dung x+ y x − y x + y + xy A= + : 1+ ÷ ÷ − xy ÷ − xy − xy x + y + x y + y x + x − y x y + y x − xy + x + y + xy A= : ÷ ÷ ÷ − xy − xy Điểm 0,5 = x ( + xy ) − xy 0,5 − xy ( 1+ x) ( 1+ y ) Điều kiện xy ≠ ; y ≠ – ; x ≥ x = 1+ x Có : x= b) 2.(2 − 3) = = 2.(2 − 3) = − = (1 − 3) 2 −3 2+ Do : B = − 1+ − ( = 2.( − 1) 3−2 ( 1+ x) − x +1− x Có : A = x = 1+ x ( 1− x ) = 1− c) 1+ x 1+ x ≤1 Vì 0,5 ) 0,5 ( 1− x ) x≥0⇒ Do A max = x = x − x3 − x − x + = (1) Vì x = khơng nghiệm (1) Chia vế (1) cho x2 ta đươc: 1+ x 1 ) − x + ÷− = ( *) x x 1 2 Đặt : y = x + ⇒ x + = y − (*) trở thành x x ( x2 + Câu (4,5 đ) a) ( y2 – ) – 2y – = hay ; y2 – 2y – = ⇒ y1 = −1 ; y2 = ** Với y1 = – ta có x+ = −1 ⇔ x + x + = vô nghiệm x 0,5 ≥0 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 ** Với y2 =3 ta có = ⇔ x − 3x + = x ⇒ x1 = + ; x2 = − 2 x+ **** Vậy PT cho có nghiệm là: x1 = b) 3+ ; x2 = 3− 2 0,25 0,25 Hệ phơng trình: 0,5 2 x + xy − y − x + y + = 2 x + y + x + y − = 0,5 y − ( x + 1) y − x + x − = ⇔ 2 x + y + x + y − = ( y + x − 2)( y − x + 1) = ⇔ 2 x + y + x + y − = 0,5 y + x − = 2 x + y + x + y − = ⇔ y − 2x + = x + y + x + y − = x = y = ⇔ x = − x=1 va 13 y=1 y = − 0,5 0,5 13 Vậy hệ phơng trình có nghiệm: (1; 1); − ; - ÷ 5 Để phương trình x − 2mx + m − m − = có nghiệm thì: ∆ ' = m − ( m − m − ) = m + ≥ ⇔ m ≥ (1) Với điều kiện (1) ta có: 2 x1 x2 18 x1 + x2 ) − x1 x2 18 ( x + x 18 + = ⇔ = ⇔ = x1 x2 ≠ x2 x1 x1 x2 x1 x2 Câu (3 đ) a) 18 m2 + m + = ⇔ = m −m−6 ( m ≠ −2; m ≠ 3) m2 − m − ⇔ m − 8m − 48 = ⇔ m1 = −4; m2 = 12 (thỏa điều kiện (1) khác – khác 3) Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp ABC Câu (3 đ) 4m − ( m − m − ) Gäi E lµ giao ®iĨm cđa AD vµ (O) a) Ta cã : ∆ ABD ∆ CED (g– g) BD AD ⇒ ⇒ AD.ED = BD.CD = ED CD ⇒ AD(AE – AD) = BD.CD ⇒ AD2 = AD.AE – BD.CD (1) B L¹i cã: ∆ ABD ∆ AEC (g – g) AB AD ⇒ ⇒ AB.AC = AD.AE (2) = AE AC Tõ (1) vµ (2) suy ra: AD2 = AB.AC – BD.DC 0,5 0,5 0,5 0,5 A 0,5 C 0,25 D E 0,25 0,5 DB BA = DC CA V× AD phân giác b) 0,5 DB DC DB + DC a = = = c+b b+c c b ⇒ DB = 0,25 ac ab vµ DC = b+c b+c 0,25 a bc ⇒ AD = bc (b + c ) 0,5 Câu (5 đ) C M A D Q O E K O' H I B N · · Ta có: BDE (cùng chắn cung BE đường tròn tâm O) = BAE · · (cùng chắn cung BN đường tròn tâm O') BAE = BMN · · ⇒ BDE = BMN · · hay BDI ⇒ BDMI tứ giác nội tiếp = BMN · · ⇒ MDI (cùng chắn cung MI) = MBI a) mà · · (cùng chắn cung AE đường tròn tâm O) MDI = ABE · · ⇒ ABE = MBI · · mặt khác BMI (chứng minh trên) = BAE ⇒ ∆MBI ∆ ABE (g-g) MI BI ⇒ ⇔ MI.BE = BI.AE = AE BE b) Gọi Q giao điểm CO DE ⇒ OC ⊥ DE Q ⇒ ∆ OCD vuông D có DQ đường cao ⇒ OQ.OC = OD2 = R2 (1) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 Gọi K giao điểm hai đường thẳng OO' DE; H giao điểm AB OO' ⇒ OO' ⊥ AB H µ =H µ = 900 ;O µ chung Xét ∆KQO ∆CHO có Q ⇒ ∆KQO ∆CHO (g-g) ⇒ KO OQ = ⇒ OC.OQ = KO.OH (2) CO OH 0,5 0,5 0,5 R2 Từ (1) (2) ⇒ KO.OH = R ⇒ OK = OH Vì OH cố định R không đổi ⇒ OK không đổi ⇒ K cố định 0,5 ... 0,25 0,25 0,5 Gọi K giao điểm hai đường thẳng OO' DE; H giao điểm AB OO' ⇒ OO' ⊥ AB H µ =H µ = 90 0 ;O µ chung Xét ∆KQO ∆CHO có Q ⇒ ∆KQO ∆CHO (g-g) ⇒ KO OQ = ⇒ OC.OQ = KO.OH (2) CO OH 0,5 0,5