[r]
(1)1
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
SÓC TRĂNG Năm học 2008 – 2009
-oOo -
-/// -Đề thức
Mơn: Tốn - Lớp 12
(Thời gian 180 phút, không kể phát đề) _
Đề thi có trang Bài 1: (2điểm)
Cho a b hai số thực thỏa mãn điều kiện: a, b – a + b = Chứng minh rằng:
1
a b Bài 2: (4điểm)
Giải hệ phương trình:
3
2
65 20
x y
x y y x
Bài 3: (2điểm)
Tìm tất hàm số f thỏa mãn điều kiện: f(2– x) + xf(x) = x (x R\{1})
Bài 4: (4điểm)
Giải phương trình:
tanx + tan2x + tan3x + cotx + cot2x + cot3x = Bài 5: (4điểm)
Cho tam giác ABC có số đo góc A, B, C theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q = Chứng minh rằng:
1 1
sinA sinB sinC Bài 6: (4điểm)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng, chân đường cao trùng với tâm O đáy Từ trung điểm I đường cao SO hạ đoạn vng góc với cạnh bên SC vàđoạn vng góc với mặt bên SBC, haiđoạn vng góc cóđộ dài a b Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b
(2)-2
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
SÓC TRĂNG Năm học 2008 – 2009
-oOo -
-/// -Đề thức
Hướng dẫn chấmToán - Lớp 12
Bài 1: Áp dụng bấtđẳng thức Bunhiacopskiđối với cặp số (1 ; 1) ( a1; b1):
1 a 1 b 1 1 1 a b (1điểm) a 1 b 1 (vì a + b = 1) (0,5điểm) dấu “=” xảy a + = b + a = b =
2 (0,5điểm) Bài 2:
3
2
65 20
x y
x y y x
Điều kiện: x ≥ 0, y ≥ 0, hệ phương trình biếnđổi thành: (0,5điểm)
2
3 65
20
x y x y xy
xy x y
(1) (1điểm)
Đặt u = x y , v = xy (u, v≥ 0)(1) trở thành:
3 65 20
u u v
uv
2 60
65 20
u u u uv
(1điểm)
5 u v
5 x y xy
(0,5điểm)
Giải hệ nàyđược nghiệm: 16
1 x y
1 16 x y
(1điểm)
Bài 3: Từf(2– x) + xf(x) = x (1) Thay x – x tađược:
f(x) + (2– x)f(2– x) = (2– x) (2) (0,5điểm) Nhân (1) cho 2– x:
(3)3 f(x)(1– x(2 – x)) = x2– 3x +
f(x)(x2– x2 + 1) = x2– 3x + Với x ≠ thì:
2
3 2
( )
1
2
x x x
f x
x
x x
(0,5điểm)
Thử lại thấy hàm số ( )
x f x
x
thỏa mãnđiều kiện
Vậy hàm số cần tìm là: ( )
x f x
x
(0,5điểm)
Bài 4:Điều kiện: x ≠
k (0,5điểm)
tanx + tan2x + tan3x + cotx + cot2x + cot3x =
(tanx + cotx) + (tanx + cotx)2– + (tanx + cotx)3– 3(tanx + cotx) = (tanx + cotx)3 + (tanx + cotx)2– 2(tanx + cotx)– 2=
Đặt t = tanx + cotx (t≥ 2), tađược: t3 + t2 – 2t– 8= (1điểm) (t– 2)(t2 + 3t + 4) =
(t– 2) = (vì t2 + 3t + 4>0) t = (1điểm) Vậy:tanx + cotx =
tan
tan x
x
tan2
x– 2tanx + = tanx =
( )
4
x k kZ . (1điểm)
Thỏa mãnđiều kiện Vậy nghiệm phương trình là:
( )
4
x k kZ (0,5điểm)
Bài 5: Ta có: A B C
B A
C A
2
; ;
7 7
A B C
(1điểm)
Ta cần chứng minh: 12 14 sin sin sin
7 7
Ta có:
4
s in s in
1 7 7
2 4
sin sin sin sin
7 7
(4)4
S
K
H I
D C O
E
A B
3 2s in cos
7
2
sin sin
7
cos7
2sin cos
7
(vì sin3 sin4
7
)
sin
(đpcm) (3điểm)
Bài 6:
SE IH EO SI EO
IH SE
SI
2 2
2 2 2 2 2
2
16
16 16
2 4
y x x b y
b SE x y b y b y b x x
y b
Xét hai tam giácđồng dạng SKI SOC ta có: (1 điểm)
SI KI
SI OC KI SC
SC OC
2 2
2 2 2 2 2
2
2
8
2 2
y x x a y
a SC x y a y a y a x x
y a
(1điểm)
(1) & (2)
2 2
2 2 2
4
2 2
a b ab
y y
b a b a
2 2
2
8a b
x
a b
(1điểm)
Vậy V =
2 3
2 2 2 2 2 2 2
1 16
3 2 3 2
a b ab a b
a b b a a b b a (0,5điểm) - Hế
t -Kẻ IK SC
Kẻ IH SE IH (SBC) (0,5điểm) Gọi x, y cạnhđáy chiều cao khối chóp, ta có:
2
1
V x y