De HSG Toan 12 Soc Trang 2008 2009

[r]

1

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

SÓC TRĂNG Năm học 2008 – 2009

-oOo -

-/// -Đề thức

Mơn: Tốn - Lớp 12

(Thời gian 180 phút, không kể phát đề) _

Đề thi có trang Bài 1: (2điểm)

Cho a b hai số thực thỏa mãn điều kiện: a, b – a + b = Chứng minh rằng:

1

a  b  Bài 2: (4điểm)

Giải hệ phương trình:

3

2

65 20

x y

x y y x

  

 

 



Bài 3: (2điểm)

Tìm tất hàm số f thỏa mãn điều kiện: f(2– x) + xf(x) = x (x  R\{1})

Bài 4: (4điểm)

Giải phương trình:

tanx + tan2x + tan3x + cotx + cot2x + cot3x = Bài 5: (4điểm)

Cho tam giác ABC có số đo góc A, B, C theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q = Chứng minh rằng:

1 1

sinA sinB sinC Bài 6: (4điểm)

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng, chân đường cao trùng với tâm O đáy Từ trung điểm I đường cao SO hạ đoạn vng góc với cạnh bên SC vàđoạn vng góc với mặt bên SBC, haiđoạn vng góc cóđộ dài a b Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b

-2

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

SÓC TRĂNG Năm học 2008 – 2009

-oOo -

-/// -Đề thức

Hướng dẫn chấmToán - Lớp 12

Bài 1: Áp dụng bấtđẳng thức Bunhiacopskiđối với cặp số (1 ; 1) ( a1; b1):

  

1 a 1 b 1 1 1   a b (1điểm)  a 1 b 1 (vì a + b = 1) (0,5điểm) dấu “=” xảy a + = b +  a = b =

2 (0,5điểm) Bài 2:

3

2

65 20

x y

x y y x

  

 

 



Điều kiện: x ≥ 0, y ≥ 0, hệ phương trình biếnđổi thành: (0,5điểm)

   

 

2

3 65

20

x y x y xy

xy x y

     

  



  



(1) (1điểm)

Đặt u = x  y , v = xy (u, v≥ 0)(1) trở thành:

 

3 65 20

u u v

uv

  

 

 

2 60

65 20

u u u uv

    

  

 

   

(1điểm)

5 u v

   

 

5 x y xy

  

 



 (0,5điểm)

Giải hệ nàyđược nghiệm: 16

1 x y

   



1 16 x y

   

 (1điểm)

Bài 3: Từf(2– x) + xf(x) = x (1) Thay x – x tađược:

f(x) + (2– x)f(2– x) = (2– x) (2) (0,5điểm) Nhân (1) cho 2– x:

3 f(x)(1– x(2 – x)) = x2– 3x +

f(x)(x2– x2 + 1) = x2– 3x + Với x ≠ thì:

2

3 2

( )

1

2

x x x

f x

x

x x

  

 



  (0,5điểm)

Thử lại thấy hàm số ( )

x f x

x

 

 thỏa mãnđiều kiện

Vậy hàm số cần tìm là: ( )

x f x

x

 

 (0,5điểm)

Bài 4:Điều kiện: x ≠

k (0,5điểm)

tanx + tan2x + tan3x + cotx + cot2x + cot3x =

 (tanx + cotx) + (tanx + cotx)2– + (tanx + cotx)3– 3(tanx + cotx) =  (tanx + cotx)3 + (tanx + cotx)2– 2(tanx + cotx)– 2=

Đặt t = tanx + cotx (t≥ 2), tađược: t3 + t2 – 2t– 8= (1điểm)  (t– 2)(t2 + 3t + 4) =

 (t– 2) = (vì t2 + 3t + 4>0)  t = (1điểm) Vậy:tanx + cotx =

 tan

tan x

x

   tan2

x– 2tanx + =  tanx =

 ( )

4

x  k kZ . (1điểm)

Thỏa mãnđiều kiện Vậy nghiệm phương trình là:

( )

4

x  k kZ (0,5điểm)

Bài 5: Ta có: A B C

B A

C A



   

     

2

; ;

7 7

A  B  C 

   

(1điểm)

Ta cần chứng minh: 12 14 sin sin sin

7 7

     Ta có:

4

s in s in

1 7 7

2 4

sin sin sin sin

7 7

 

   



4

S

K

H I

D C O

E

A B

3 2s in cos

7

2

sin sin

7

 

 

 cos7

2sin cos

7



 

 (vì sin3 sin4

7

  

)

sin



 (đpcm) (3điểm)

Bài 6:

SE IH EO SI EO

IH SE

SI



 

 

2 2

2 2 2 2 2

2

16

16 16

2 4

y x x b y

b SE x y b y b y b x x

y b

 

        



 

Xét hai tam giácđồng dạng SKI SOC ta có: (1 điểm)

SI KI

SI OC KI SC

SC  OC  

 

2 2

2 2 2 2 2

2

2

8

2 2

y x x a y

a SC x y a y a y a x x

y a

 

        



 

(1điểm)

(1) & (2)

2 2

2 2 2

4

2 2

a b ab

y y

b a b a

  

  

2 2

2

8a b

x

a b



 (1điểm)

Vậy V =  

2 3

2 2 2 2 2 2 2

1 16

3 2 3 2

a b ab a b

a b b a  a b b a (0,5điểm) - Hế

t -Kẻ IK SC

Kẻ IH SE IH (SBC) (0,5điểm) Gọi x, y cạnhđáy chiều cao khối chóp, ta có:

2

1

V  x y