D01 gtln, gtnn của hàm số cho bởi công thức muc do 4

Câu [DS12.C1.3.E01.d] (HSG Toán 12 – Sở GD Bắc Giang năm 1617) Cho số thực x , y , z khơng âm đơi phân biệt tìm giá trị nhỏ biểu thức P ( x  y  z )[ 1   ] 2 ( x  y) ( y  z ) ( z  x) Lời giải + Khơng tính tổng qt , giả sử  x  y  z Đặt a  y  x ; b z  y a  , b   1  P  x  ( x  a )  ( x  a  b)     2  a b ( a  b)  (a  ab  b ) (2a  2ab  b ) 2 a b (a  b)2 (1) Đẳng thức xảy  x 0 (a  ab  b ) (2a  2ab  b ) 2  a b ( a  b) 2 2   a 2 a   a  a       1      1 b    b  b    b  a a      1 b b  + Ta có 2  a a (2t  1)(t  1) t    , t  P b b   t2 Đặt (2t  1)(t  1) 4t  f (t )  2t   , t   0;    t t + Xét hàm số 2(t  2t  1) 1 f (t )  ; f (t ) 0  t  t    11  5 11  5 f (t )  f    P 2   Lập bảng biến thiên Do a  1  1  t suy b + Đẳng thức xảy  x 0   y  1    Két hợp với (1) , P nhỏ  z  y 11  5 Vậy giá trị nhỏ P