Hệ thức lượng trong tam giác

Câu 9: (HSG ĐỀ 048) Tính góc tam giác ABC, biết 17 2sin A.cos B.sin C   cos A  cos B  cos C   Lời giải § k  cos B[cos(A  C )  cos(A  C )]  (cos A  sin B  cos C ) 17 /  cos B  cos(A  C ) cos(A  C )]  (cos A  sin B  cos C) 17 /  cos2 A  sin B  cos2 C  (cos A  sin B  cos C )  / 0 2         cos A    sin B    cos C  0          A C 30 , B 120 Câu 10: (HSG ĐỀ 049) Cho tam giác ABC thỏa mãn A B C A B C  2 sin  sin  sin   cot  cot  cot 12 Chứng minh tam giác ABC 2 2 2  Lời giải A B C A B C   sin  sin   cot  cot  cot 12 (1) 2 2 2  A B C 1  2 sin  sin  sin     15   (2) 2  sin2 A sin2 B sin2 B 2 Ta có: 2 sin Áp dung bắt đẳng thức Cosi ta có: A A A A A 12  sin  3 sin sin 12 16 sin   sin A 2 sin A 2 sin A 2 A  Dấu " " xẩy sin   A  2 sin A B C 1  16 sin  sin  sin     36 Tương tự B, C ta suy  (3) 2  sin A sin B sin B 2 *Mặt khác ta có sin A B C AB A B AB  sin  sin 2 sin cos  cos 2 4 2 2 sin AB AB AB 1    sin   2 sin    4 2  Do : sin Hết  A B C  sin  sin  (4) Dấu " " xẩy A B  2 2 Câu (HSG ĐỀ 052) Cho tam giác ABC Tìm giá trị lớn biểu thức T 4 cos A  5cos B  5cos C Lời giải A B C B C A A B C  T 4   2sin   10cos cos 4  8sin  10sin cos 2 2 2  A A B C  A B  C  25 B C  4   sin  sin cos  cos  4   sin  cos  2     4  25 B  C 57 cos  8 A B C  sin  cos  B C     A Đẳng thức xảy  B  C cos sin 8 1  57 Vậy max T  Câu (HSG ĐỀ 053) Tính góc A, B, C tam giác ABC biết góc thoả mãn hệ thức cos A  3(cos B  cos 2C )  0 Lời giải cos A  3(cos B  cos 2C )  0  2(2 cos A  1)  cos( B  C ).cos( B  C )  0  cos A  cos A.cos( B  C )  0  [2 cos A  cos( B  C )]2  3[1  cos ( B  C )] 0  2 cos A  cos( B  C ) 0 cos A  cos( B  C )   (*) 2 cos( B  C ) 1 1  cos ( B  C ) 0  Do A, B, C  (0;  ) nên B  C  (   ;  ) , suy cos( B  C )   cos A   Do từ (*) ta  cos( B  C ) 1     A   A   6   B C  B C  5  12  5 Vậy A  , B C  12 Câu 7: (ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2013) Cho ba cạnh a, b, c tam giác ABC theo thứ tự lập thành cấp số cộng Chứng minh  C A cơng sai cấp số d  r  tan  tan  , r bán kính đường trịn nội tiếp tam  2 giác ABC Lời giải A C B A C sin  tan tan  Ta có a  c 2b nên sin A  sin C 2sin B  cos 2 2 A C Mặt khác r ( p  a ) tan ( p  c ) tan 2  c a  C A  3r  r r  r  tan  tan       r ( p  c)( p  a)  2   p c p a d A C 3 tan tan d ( p  c)( p  a) 2 Vậy ta có điều phải chứng minh 3r Câu 8: (ĐỀ THI OLYMPIC   2ax   3ax  f ( x )  x2  2a   11 – nÕu x 0 BIM SON 2013) Cho hàm số Tìm a  để f  x  liên tục x 0 nÕu x 0 Lời giải  2ax   3ax lim   2ax  ( ax 1)  ax    3ax  Ta có lim f ( x) lim   x x x x2 x2 x2      2ax  (ax  1) (ax  1)3  (1  3ax) lim   x  2ax  ax  x  ( ax  1)2  (ax  1)  3ax  x       a2 a x  3a lim   x    2ax  ax  (ax  1)  (ax  1)  3ax   Hàm số liên tục x 0 lim f ( x)  f (0)  x       3ax        a 2  3ax    a2 2a   a  4a  0  a 2  10 Do a  nên a 2  10 Câu 9: (ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2013) Cho tam giác ABC , tìm giá trị lớn biểu thức T 4 cos A  5cos B  cos C Lời giải A B C B C A A B C  T    sin  10 cos cos 4 – 8sin  10sin cos 2 2 2  A A B C 25 B C 25 B C  A B C   4 –  sin  sin cos cos   cos   sin  c o s     2  8 2    4  25 A B C   B C sin 8 cos    A Dấu “=” xảy   cos B  C 1 sin    B C 25 57   Vậy TMax    A 8 sin 8 Câu 8: (ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2015) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn có bán kính R 2 Tìm giá trị lớn chu vi tam giác Lời giải Chu vi tam giác P a  b  c 2 R(sin A  sin B  sin C ) A B A B C  60 C  60 cos  8sin cos 2 4(sin A  sin B )  4(sin C  sin 60 )  8sin 2 2 A B C  60 8sin  8sin 2 2 A  B  C  60 A  B  C  60 cos  16sin 60  6 4 A B C  60 A  B  C  60 cos cos 1  A B C 60 Dấu “ = ”xảy cos 2 Vậy chu vi tam giác lớn ABC tam giác 16sin Câu (HSG THPT SẦM SƠN NĂM 2017-2018) Chứng minh tam giác ABC có cạnh lập thành cấp số nhân có hai góc có số đo khơng q 60o Lời giải - Giả sử tam giác ABC có ba cạnh a,b,c theo thứ tự  a b c chúng lập thành cấp số cộng.Khi b ac - Từ định lí co sin ta có cos B  a  c  b a  c  2ac a  c    2ac 2ac 2ac - Mà a  c 2ac nên cos B 1  1  2 - Vậy B 60o a b nên A B suy A 60o Câu (HSG ĐỀ 130) Cho sin x  cos x  Tính P tan x  cot x  cos  x  3      Lời giải   sin x  cos x  sin x.cos x  sin x.cos x  + Từ sin x  cos x  32  10 + Suy P  + P Câu (HSG ĐỀ 130) Cho tam giác ABC có AB=c, AC=b, BC=a Chứng minh rằng: cos A cos B cos C a2  b2  c2    b.cos C  c.cos B a.cos C  c.cos A a.cos B  b.cos A 2abc Lời giải + Theo cơng thức hình chiếu, ta có: a b.cos C  b.cos B  cos A cos A  b.cos C  c.cos B a Tương tự, ta có: VT  cos A cos B cos C   a b c b   bc cos A  ac cos B  ab cos C abc  c2  a2    a  c2  b2    b2  a  c  abc a2  b2  c  abc Câu 3: (HSG SGD&ĐT HÀ TĨNH NĂM 2006-2007) Tam giác ABC không tù, thỏa mãn A³ B³ C Tính góc tam giác đại lượng P = cosA + cosB+ cosC- 2sinA sinB đạt giá trị lớn Lời giải Ta có: P cosA  cosB cosC 2sinA.sinB cosA  cosB cos(A  B)  cos(A  B)  cos(A  B) cosA  cos B  cos( A  B)  (1) sin A  sin B sin A sin B cos( A  B)    2sin( A  B ) 2sin C 2sin C Từ giả thiết ta có: cosA  C B  A  sin A sin B  cos B sin C sin C sin A sin B 1, 1, cos A 0, cos B  sin C sin C Nên cos( A  B ) cos A  cos B  P 0 Từ (1) suy Dấu xảy sin A 1  cos A0  sin C  sin B 1 (2)  sin B 1 (3)  sin C  sin C (2) tương đương với  A 90 B C 45 (3) tương đương với sinA=sinB=sinC Vậy P lớn Câu 1:  A B C 60 A 90 , B C 45 A B C 60 (HSG ĐỀ 141) a) Tam giác ABC có độ dài cạnh a,b,c lập thành cấp số cộng theo thứ tự Chứng minh cot A B C ,cot ,cot lập thành cấp số cộng 2 b) Sau khai triển rút gọn biểu thức sau có số hạng: Lời giải a) Vì cạnh a,b,c lập thành cấp số cộng theo thứ tự nên ta có: a  b b  c Ta có p(p a)(p  b)(p  c) A r pr ( p  b )( p  c ) tan     AM p( p  a) p ( p  a) p( p  a) ( với M tiếp điểm đường tròn nội tiếp cạnh AB) A p( p  a )  cot  ( p  b)( p  c) Tương tự ta có: cot B p.( p  b) C p.( p  c)  , cot  ( p  a).( p  c) ( p  a).( p  b) Ta có: p ( p  b  p  a) p ( a  b) B A cot  cot   2 ( p  a).( p  b).( p  c) ( p  a).( p  b).( p  c) p ( p  c  p  b) p (b  c ) C B  cot   2 ( p  a).( p  b).( p  c) ( p  a).( p  b).( p  c) B A C B  cot  cot cot  cot 2 2 A B C Vậy cot , cot ,cot lập thành cấp số cộng 2 b) Ta có: 20 20 1 k ( x  ) 20  C20 x 20 k k ( 1) k  C20k x 20 k ( 1) k x x k 0 k 0 cot 10 10 10 i 3(10  i ) )  C10 x i (  1)i  C10i x 30  i (  1)i x x i 0 i 0 Khi 20  3k 30  4i ( x3  10  3k  i  (k ; i ) (2; 4);(k;i) (6;7);( k ; i) (10;10) ( k,i   ) Các khai triển có bậc x là: x14 , x , x  10 Vậy khai triển thu gọn biểu thức có : 21+11-3=29 ( số hạng) Câu 3: (HSG ĐỀ 141) Tam giác ABC co A,B góc nhọn thỏa mãn điều kiện:   0;2  cho sin A  sin B sin  C Hỏi tam giác ABC tam giác ? Lời giải  sin C 1  sin C sin C 1  sin C sin A  sin B 1   0;2  sin C sin A  sin B  R sin C 4 R sin A  R sin B  c a  b  cos C 0  C 900 sin A  sin B 1  sin A cos B  sin A cos B ( B nhọn )  sin A sin(90  B )  A 90  B  A  B 90  A  B  C 180 Mà A  B  C 180 Vậy đẳng thức xảy C 90 Khi ABC vuông C Câu 2: (HSG ĐỀ 142) Tam giác ABC tam giác gì, góc thoả mãn hệ A B C   tan  tan 2 tan sau:  cot A  cot B 2 cot C  2 Lời giải Đặt: x tan A B C ; y tan ; z tan ( x, y, z  ) ta có: 2  x  y 2 z   1 (A)  x  y z  1 4      z x y x  y 2z z Đẳng thức xảy x  y z hay ABC tam giác Theo bất đẳng thức A-G ta có Câu 1: (HSG ĐỀ 143) Cho tam giác ABC có 2cot góc B B A C Tìm giá trị lớn = cot + cot 2 Lời giải B A C Cho tam giác ABC có 2cot = cot + cot Tìm giá trị lớn 2 góc B B A C Ta có: 2cot = cot + cot 2 B AC cos sin   B A C sin sin sin 2    B   cos    0  sin B sin A sin C   2 2 B   0 B A C ( cos 0 với B  180 ) sin sin sin 2 2 AC A C B  cos  cos  sin 0 2 B A C  2sin cos 1 2 B Suy sin  hay B  60 2 Vậy giá trị lớn góc B 60 Câu 2: (HSG ĐỀ 144) Tam giác ABC có ba góc thỏa mãn hệ thức: 8cosA sin B sinC + 3(sin A + cosB + cosC ) - 17 = Hãy tính góc tam giác Lời giải Ta có: 8cosA sin B sinC + 3(sin A + cosB + cosC ) - 17 =  cos  B  C   cos  B  C   cos  B  C    3(sin A  cos B  cos C )  17 0   cos  B  C   cos  B  C  cos  B  C    3(sin A  cos B  cos C )  17 0  cos A   cos B  cos 2C   3(sin A  cos B  cos C )  17 0   4sin A  cos B  cos C  3(sin A  cos B  cos C )  17 0 2  3  3  3   sin A     cos B     cos C   0        sin A    A 120    cosB    B 30    C 30  cos C   Vậy tam giác có góc A 120 , B 30 , C 30 Cách biến đổi khác: b  c  a sin B  sin C  sin A  2bc 2sin B sinC  8cos A sin B sin C 4  sin B  sin C  sin A  4   cos B  cos C  sin A  cos A  (… phần sau tương tự) Câu 4: (HSG ĐỀ 145) Đường tròn nội tiếp tam giác cân ABC cắt đương cao AK H Giả sử BH vng góc với AC Tính Lời giải Đường tròn nội tiếp tam giác cân ABC cắt đương cao AK H Giả sử BH vuông góc với AC Tính  Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp VABC ÐBAC  Vì BH ^ AC nên ÐHBK = ÐCAK = Þ VBAK : VHBK (gg ) Þ BK = HK AK a2 a2 Hay (*) = 2r c 4  Mà r = SABC = p p(p - a)(p - b)(p - c) p (p - a)(p - b)(p - c) p a a a (c - ) 2 (do b = c) = a c+ = a a2 = c a + 2c  Thay r vào (*) ta được: a2 2a a2 = (c2 ) a + 2c 2a (4c2 - a2) 2c + a Û a = 2a(2c - a) Û a2 = Û a = 4c - 2a Û 3a = 4c Û cosBAC = 1- 2sin2 BAC = 1= 9  Đáp số: cosBAC = Cách (Bảo) Cân A nên b = c A a A +) r = (p - a) tan = (b - ) tan (1) 2 A a A = tan (2) 2 a 4b Từ (1) (2) suy 2b - a = Þ a = 16b2 2b2 2 b +c - a Do = cosA = = 2bc 2b +) 2r = HK = BK tan HBK = BK tan Câu 5: (HSG ĐỀ 146) Cho tam giác ABC có độ dài đường cao BB ' = 5;CC ' = 2và cosÐCBB ' = Tính diện tích tam giác ABC Lời giải Xét hai trường hợp: +) B C khơng tù Khi 2 cosÐCBB ' = Þ sinC = ,cosC = 5 BB ' BC = = cosÐCBB ' CC ' Suy sin B = = ,cosB = BC 5 A B’ C’ H C B Þ sin A = sin B cosC + sinC cosB = Þ AB = BB ' 5 = Þ S = AB CC ' = sin A 2 +) B C tù Do BB ' > CC ' nên B < C C tù Þ sinC = ,cosC = - 25 , AB = Còn sin B = ,cosB = (giống trường hợp 1) Þ sin A = Suy 5 5 25 S= Câu 4: (HSG ĐỀ 150) Cho tam giác ABC không cân A có AH; AM; AP lần lợt đờng cao, trung tuyến phân giác kẻ từ A (H, P, M BC ) Chøng minh r»ng: PH = PM  sin B.sin C sin A Lời giải +Đặt BC a, CA b, AB c Khơng tính tổng quát ta giả sử c  b Khi a ac PM BM  BP   b c A B C sin 2 A B C cos cos 2 A B C 2sin tan 2 a (b  c )   2(b  c ) R sin A sin +Lại có HP  AH tan HAP B C  AH tan B C 2 A sin B.sin C , đpcm +Do PM PH  sin Câu (HSG ĐỀ 152) Cho tam giác ABC có a< b < c, biết tam giác ABC đồng dạng với tam giác có độ dài cạnh độ dài đường trung tuyến tam giác ABC Chứng minh rằng: cotA + cotC = 2cotB Lời giải 2 R sin B sin C tan  Gọi ma ; mb ; mc trung tuyến ABC  Do a