HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG VÀ TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC

17 9 0
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG VÀ TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

CHƯƠNG I- HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG  A - Một số hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông BC = AB + AC AC = CH BC AB = BH BC AH = HB.HC AH.BC = AB.AC 1 = + 6) 2 AH AC AB 1) 2) 3) 4) 5) A c b h b' c' B H a C a2 = b2 + c2 b2 = a.b c2 = a.c h2 = b.c h.a = b.c 1 6) = + h b c 1) 2) 3) 4) 5) 1.1 Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Trong đoạn thẳng sau: AB, AC, BC, AH, BH, CH tính độ dài đoạn thẳng lại biết: a) AB = 15cm; BC = 25 cm b) BH = 18 cm; CH = 32 cm c) AB = cm; BH = 3,6 cm d) AC = 12 cm; AH = 7,2 cm e) AH = 7,2 cm; CH = 9,6 cm f) BC = 25cm; AH = 12cm (AB AC) có đường cao AH đường trung tuyến AM Chứng minh: a) tan MAH = cot B − cot C b) tan HAC HC = AH + AC 1.84 ChoABC cân A, đường cao AH Biết AB = 10cm, AH = 8cm a) Tính BC diện tích ABC b) Gọi I trung điểm AC Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng HI K Chứng minh: AKCH hình chữ nhật c) Đường thẳng BI cắt AH G cắt CK M Cmrằng : i BGH  BMC ii BG BC = BM BH 2 d) Chứng minh : BG + AH = AC + GH2 1.85 Cho hình thang ABCD ( A = D = 900 ) Gọi M trung điểm AD Kẻ MK ⊥ BC K Biết AB = 9cm, BC = 25cm, CD = 16cm a) Tính AD, MB, MC b) Chứng minh : MBC vuông M c) Tính MK diện tích MKC 1.86 Các đường cao ABC có ba góc nhọn cắt H Trên đoạn HB, HC lấy điểm M N cho AMC = ANB = 900 Chứng minh : AM = AN 1.87 Cho tam giác nhọn ABC Chứng minh: a) cot A.cot B + cot B.cot C + cot C.cot A = b) t anA + tan B + tan C = t anA.tan B.tan C c) S ABC = AB AC.sin A 1.88 Cho ABC đều, gọi O trung điểm cạnh BC, xOy = 600 có cạnh Ox, Oy cắt AB, AC M N Chứng minh : a) OBM NOC suy OB2 = BM CN b) OBM ONM suy MO, NO tia phân giác BMN CNM c) BM CN = BC2 1.89 Cho ABC cân A có H trung điểm BC Gọi I hình chiếu H lên cạnh AC O trung điểm HI Chứng minh : a) BIC AOH b) AO ⊥ BI 1.90 ChoABC cân A có đường cao AH, BK Chứng minh : 1 = + 2 BK BC AH F.HƯỚNG DẪN GIẢI PHẦN A: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO 1.1 A B H C a) Tính AC,CH,BH,AH? +) Áp dụng định lý pytago vào tam giác ABC vng A ta có : AC = BC − AB = 252 − 152 = 400 = 202  AC = 20(cm) +) Áp dụng hệ thức lượng ta có: *) AC2= BC.CH 202= 25 CH  CH = 400: 25 = 16(cm) *) BH = BC – CH = 25 – 16 = 9(cm) *) AH.BC = AB AC AH 25 = 15 20  AH = 300: 25 = 12(cm) b) Tính BC, AH, AB, AC? *)Ta có : BC = BH + CH = 18 + 32 = 50 (cm) *) AH2 = BH CH = 18.32 = 576  AH = 24 (cm) *)AB2 = BC BH = 50 18 = 900  AB = 30(cm) *)AC2 = BC CH = 50 32 = 1600  AC = 40(cm) c) Tính CH, BC, AC, AH? +) AB2 = BC BH 62 = BC 3,6  BC = 36 : 3,6 = 10(cm) +)CH = BC - BH = 10 – 3,6 = 6,4(cm) +) AH2 = BH CH = 3,6 6,4 = 4,8(cm) +) AC2 = BC CH = 10 6,4 = 64  AC = 8(cm) d) Tính AB, BC, BH, CH? HC = AC − AH = 122 − 7, 22 = 92,16 = 9, 62 +)  HC = 9, 6(cm) +) AH2 = BH CH 7,22 = BH.9,6  BH = 5,4(cm) +) BC = BH + HC = 5,4 + 9,6 = 15(cm) +) AB2 = BC BH = 15 5,4 = 81  AB = 9(cm) e) Tính AB, AC, BH, BC? +) AH2 = BH CH 7,22 = BH.9,6  BH = 5,4(cm) +) BC = BH + HC = 5,4 + 9,6 = 15(cm) +) AB2 = BC BH = 15 5,4 = 81  AB = 9(cm) +) AC2 = BC CH = 15 9,6 = 144  AC = 12(cm) f) Tính AB,AC,BH,CH? Đặt BH = x , CH = y ( ĐK : x < y AB< AC) +) BC = BH + CH  x + y = 25  x = 25 – y +)Áp dụng hệ thức lượng ta có: AH2 = BH CH  x y = 144  (25 – y).y = 144 y − 25 y + 144 =  x1 = 9; x2 = 16  y1 = 16; y2 = Vì x < y nên x = 9; y = 16 hay BH = 9(cm); CH = 16(cm) +) AB = BC BH = 25 = 225  AB = 15(cm) +) AC2 = BC CH = 25 16 = 400  AC = 20(cm) 1.2 A C D H B Ta có BC = BD + DC = 15 + 20 = 35(cm) Áp dụng tính chất đường phân giác tam giác ta có : AB BD 15 AB AC AB AC AB + AC BC 352 = = =  =  = = = = = 49 AC DC 20 4 16 + 16 25 25 ( Định lý pytago dãy tỉ số nhau) Do AB = 49  AB = 21 (cm) AC2 = 16.49  AC = 28(cm) *) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông A, đường cao AH ta có: +) AH.BC = AB AC 21.28 = 16,8 (cm) AH 35 = 21 28  AH = 35 +) AB2 = BC BH 212 = 35 BH  BH = 12,6(cm) Vì BH < BD nên H nằm B D  HD = BD – BH = 15- 12,6 = 2,4 (cm) +) Áp dụng định lý pytago vào tam giác AHD vng H ta có : AD = AH + HD = 16,82 + 2, 42 = 12 (cm) 1.3 A C B BC – AB = (1) AB +AC – BC = (2) Giả sử theo gt tam giác ABC vuông A có Từ (1)  BC = + AB thay vào (2) ta : AB + AC – – AB = Do AC = (cm) Mặt khác theo định lý py-ta-go ta có : BC − AB = AC = 25  ( BC − AB).( BC + AB) = 25 Thay BC – AB =  BC+ AB = 25 (3) Từ (1) (3) ta có : BC = 13 (cm) ; AB = 12 (cm) Vậy : BC = 13 (cm) ; AB = 12 (cm); AC = (cm) 1.4 A C B H Giả sử tam giác ABC vng A có đường cao AH vng góc với BC Theo GT ta có BH = 1; HC =  BC = BH + HC = + = Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông A, đường cao AH ta có: +) AB2 = BC BH = 3.1 =  AB = +) AC2 = BC CH = 2=  AC = Vậy AB = ; AC = ; BC = 1.5 A C B H Giải: Cách 1:Xét ∆ABC vng A có AB < AC ; AH = 2; BC = Đặt BH = x ( Điều kiện < x < 2,5 )  HC = - x Theo định lý 2: BH CH = AH2  x ( − x ) = 22  x − x =  x − x + =  x −1 =  x =1  ( x − 1)( x − ) =    x − = x = x = ( thỏa mãn); x = ( không thỏa mãn) Theo định lý ta có: AB = BC.BH = 5.1 =  AB = Cách Giả sử tam giác ABC vng A , đường cao AH có BC = 5cm, AH = cm Đặt AB = x ; AC = y ( ĐK: x >0; y > 0) *) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vng A, đường cao AH ta có: AH.BC = AB AC  x y = 10 (1) Áp dụng định lý pytago ta có x + y = 25  ( x + y ) − xy = 25  ( x + y ) − 2.10 = 25  ( x + y ) = 45  x + y =  x=3 5− y Thay x = − y vào (1) ta có : ( − y ).y = 10  y − y + 10 = y1 = 5; y2 = Từ x1 = 5; x2 = Vậy cạnh nhỏ tam giác vuông 1.6 Xét ∆ABC vuông A có AB:AC=3:4 BC = 125cm A AB AC = = k ( với k > 0) Ta có AB:AC=3:4   AB = 3k; AC= 4k ∆ABC vuông A Theo định lý Py ta go ta có: C H B AB2 + AC2 = BC2 (3k)2 + (4k)2 = 1252  9k + 16k = 15625  25k = 15625  k = 625  k = 25 ( k > 0) AB = 3.25 =75cm; AC = 4.25 =100cm Theo định lý 1: AB 752 = = 45cm BC 125 CH = BC - BH=125 - 45 = 80cm AB = BC.BH  BH = 1.7 A C B H AB AB AC =  = = k ( với k > 0) AC 6  AB = 5k; AC= 6k ∆ABC vuông A Theo định lý Py ta go ta có: AB2 + AC2 = BC2 (5k)2 + (6k)2 = BC2 Ta có  25k + 36k = BC  BC = 61k  BC = k 61 Theo định lý 3: AB.AC = BC.AH  5k.6k = k 61.30  k = 61 AB = 61 (cm); AC = 61 (cm) BC = 61 61 = 61 Theo định lý 1: ( 61 AB AB = BC.BH  BH = = BC 61 CH = BC - BH=61 - 25 = 36 cm ) = 25cm 1.8 A C H B AB AB AC =  = = k ( với k > 0) AC 7  AB = 3k; AC= 7k ∆ABC vuông A Theo định lý Py ta go ta có: AB2 + AC2 = BC2 (3k)2 + (7k)2 = BC2 Ta có  9k + 49k = BC  BC = 58k  BC = k 58 Theo định lý 3: AB.AC = BC.AH  3k.7k = k 58.42  k = 58 AB = 58 (cm); AC = 14 58 (cm) BC = 58 58 = 116 (cm) Theo định lý 1: AB ( 58 ) = BC.BH  BH = 116 CH = BC - BH=116 - 18 = 98 cm 1.9: Giải: A D B C = 18cm

Ngày đăng: 08/04/2022, 10:06

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan