Nghiệm mạnh của phương trình elliptic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG XA NGHIỆM MẠNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG XA NGHIỆM MẠNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục MỞ ĐẦU 1 KHƠNG GIAN SOBOLEV 1.1 Khơng gian Wk,p (Ω) ; W0k,p (Ω) 1.1.1 Không gian Wk,p (Ω): 1.1.2 Ví dụ 1.1.3 Không gian W0k,p (Ω) 1.2 Định lý nhúng 13 1.3 Đánh giá vị định lý nhúng 17 NGHIỆM MẠNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 2.1 2.2 24 Khái niệm nghiệm mạnh 24 2.1.1 Thế vị Newton 24 2.1.2 Khái niệm nghiệm mạnh 25 Độ trơn Lp nghiệm mạnh bên miền 27 2.2.1 Độ trơn L2 bên miền 27 2.2.2 Độ trơn Lp (Ω) bên miền 31 2.2.3 Độ trơn nghiệm phương trình elliptic phi tuyến 32 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 37 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp người ta đưa vào xét số loại nghiệm Nghiệm cổ điển hàm số khả vi hai lần liên tục thỏa mãn phương trình khắp nơi Nhưng nghiệm mạnh hàm số có đạo hàm đến cấp 2, bình phương khả tích thỏa mãn phương trình hầu khắp nơi Dựa vào tài liệu [1], [2], [3] luận văn trình bày khái niệm nghiệm mạnh phương trình elliptic tuyến tính cấp nghiên cứu tính chất trơn nghiệm mạnh Luận văn chia làm chương: Chương trình bày khơng gian Sobolev Wk,p (Ω) , W0k,p (Ω) định lý nhúng dựa tài liệu [1], [2] Chương đưa vào khái niệm nghiệm mạnh nghiên cứu độ trơn nghiệm mạnh bên miền dựa tài liệu [3] Luận văn độ trơn hệ số vế phải tăng lên độ trơn nghiệm manh tăng lên theo trở thành nghiệm cổ điển phương trình Do thời gian kiến thức hạn chế nên trình viết luận văn xử lý văn chắn khơng tránh khỏi sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn PGS-TS Hà Tiến Ngoạn tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Cơ trường Cao đẳng Cộng đồng Hải Phòng tập thể bạn bè đồng nghiệp gia đình quan tâm giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành tốt luận văn Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012 Người thực Nguyễn Thị Hồng Xa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương KHÔNG GIAN SOBOLEV Một tốn quan trọng phương trình đạo hàm riêng phương trình Poisson: ∆u = f (1.1) Nghiệm yếu u(x) phương trình (1.1) thỏa mãn đồng thức tích phân: Z DuDϕdx = − Ω Z f ϕdx, Ω đó: u (x) = u (x1 , ., xn ) ẩn hàm, f (x) = f (x1 , ., xn ) hàm n ∂ 2u P số cho trước, ∆u = , ϕ (x) = ϕ (x1 , ., xn ) ∈ C01 (Ω) i=1 ∂xi không  gian hàm sốkhả vi liên tục có giá compact, n ∂u ∂ϕ P ∂u ∂u , ., , DuDϕ = Du = ∂x1 ∂xn i=1 ∂xi ∂xi Đặt: Z (u, ϕ) = DuDϕdx (1.2) Ω Để nghiên cứu nghiệm phương trình Poisson ta xem xét cách tiếp cận khác phương trình R Dạng song tuyến tính (u, ϕ) = DuDϕdx tích khơng Ω gian C01 (Ω) bao đóng C01 (Ω) theo metric cảm sinh (1.2) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn khơng gian Hilbert mà người ta kí hiệu W01,2 (Ω) Hơn nữa, phiếm hàm tuyến tính F định nghĩa bởi: Z F (ϕ) = − f ϕdx Ω mở rộng đến phiếm hàm tuyến tính bị chặn khơng gian W01,2 (Ω) Theo định lý Riesz tồn phần tử u ∈ W01,2 (Ω) thỏa mãn (u, ϕ) = F (ϕ) , ∀ϕ ∈ C01 (Ω) Định lý Riesz: Với phiếm hàm tuyến tính bị chặn F khơng gian Hilbert H tồn phần tử xác định f ∈ H cho F (x) = (x, f ) với x ∈ H kF k = kf k Với (x, f ) = F (x) kf k2 F (f ) kF k = sup x6=0 kf k2 = |(x, f )| kxk (f, f ) = F (f ) Do tồn nghiệm suy rộng toán Diriclet: ( ∆u = f u = ∂Ω thực thiết lập Vấn đề tồn nghiệm cổ điển chuyển đổi tương ứng thành vấn đề tính quy nghiệm suy rộng theo điều kiện biên trơn thích hợp Định lý Lax-Milgram áp dụng phương trình elliptic tuyến tính theo dạng Div Tương tự việc áp dụng định lý Riesz lí luận khác dựa đồng thức tích phân, kết quy thiết lập Tuy nhiên trước thực cách cụ thể, ta khảo sát lớp không gian Sobolev, Wk,p (Ω) vàW0k,p (Ω) mà W01,2 (Ω) trường Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn hợp riêng 1.1 1.1.1 Không gian Wk,p (Ω) ; W0k,p (Ω) Không gian Wk,p (Ω): Cho Ω ⊂ Rn miền bị chặn x = (x1 , x2 , x3 , , xn ) ∈ Ω a Không gian Lp (Ω);(1 ≤ p < +∞) Lp (Ω) không gian Banach cổ điển gồm hàm đo Ω p-khả tích Tức Z |u (x)|p dx < +∞ Ω Chuẩn phần tử Lp (Ω) định nghĩa bởi: 1/p  kukLp (Ω) =  Z |u|p dx , Ω đó: |u (x)| trị tuyệt đối u(x) Khi p = +∞; L∞ (Ω) không gian Banach hàm bị chặn Ω với chuẩn: kuk∞,Ω = kukL∞ (Ω) = sup |u| (1.3) Ω Khi nhập nhằng, dùng kukp thay cho kukLp (Ω) : Bất đẳng thức Young: |a|p |b|q |ab| ≤ + , p q (1.4) 1 + = p q Khi p=q=2;(1.4) bất đẳng thức Cauchy Thay a ε1/p a, b p, q ∈ R; p > 0, q > thỏa mãn: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ε−1/p b, với ε > (1.4) trở thành bất đẳng thức nội suy: ε |a|p ε−q/p |b|q |ab| ≤ + ≤ ε |a|p + ε−q/p |b|q p q (1.5) Bất đẳng thức Holder: Z |uv| dx ≤ kukp kvkq (1.6) Ω 1 + = 1, p q (1.6) hệ bất đẳng thức Young, p = q = 2, bất đẳng thức với u ∈ Lp (Ω) , v ∈ Lq (Ω) Holder trở thành bất đẳng thức Schwarz Bất đẳng thức Holder sử dụng trường hợp tổng quát m hàm u1 , u2 , , um nằm không gian Lp1 , Lp2 , , Lpm sau: Z |u1 u2 um | dx ≤ ku1 kp1 ku2 kp2 kum kpm (1.7) Ω 1 + + + = p1 p2 pm Bất đẳng thức Holder sử dụng để nghiên cứu chuẩn Lp với coi hàm p: 1/p  φp (u) =  |Ω| Z |up | dx (1.8) Ω Với p > 0, φp (u) hàm không giảm theo p, với u cố định
Không gian Lp (Ω) khả li p < ∞, C Ω không gian trù mật Lp (Ω) Không gian đối ngẫu Lp (Ω) < p < ∞ đẳng cấu với Lq (Ω), 1 + = Vì Lq (Ω) < p < +∞ coi liên hợp p q p L (Ω) Do đó, Lp (Ω) phản xạ < p < ∞ Khi p = 2, L2 (Ω) không gian Hilbert với tích vơ hướng: Z (u, v) = u (x) v (x)dx Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (u, u) = kuk = Z |u (x)|2 dx Ω Định lý 1.1: (định lý nhúng Lp (Ω)) Giả sử Ω miền bị chặn ≤ p1 < p2 Khi đó, Lp2 (Ω) ⊂ Lp1 (Ω) ánh xạ nhúng j : Lp2 (Ω) 7→ Lp1 (Ω) liên tục Chứng minh: Giả sử u ∈ Lp2 (Ω) ta cần chứng minh u ∈ Lp1 (Ω) hay R |u|p1 dx < +∞ Ω p2 p2 ,q = , ta có: p1 p2 − p1 1/q 1/p   R q R R R p1 p p1 p1 dx |u| dx |u| dx = |u| 1dx ≤ Ω Ω Ω Ω 1/p  R |u|p2 dx = (mesΩ)1/q Áp dụng bất đẳng thức Holder với p = (1.9) Ω Vì Ω bị chặn u ∈ Lp2 (Ω) nên  1/p Z (mesΩ)1/q  |u|p2 dx < +∞ Ω Vậy u ∈ Lp1 (Ω) Từ (1.9) ta suy ra:  1/p1  1/pp1 R R p 1/qp1 p2 |u| dx ≤ (mesΩ) |u| dx Ω Ω  1/p2 R = (mesΩ)1/qp1 |u|p2 dx (1.10) Ω 1/qp1 ⇔ kukLp1 (Ω) ≤ (mesΩ) kukLp2 (Ω) (1.10) chứng tỏ ánh xạ j : Lp2 (Ω) 7→ Lp1 (Ω) liên tục kjk ≤ (mesΩ)1/qp1 = (mesΩ)1/p1 −1/p2 b Khơng gian Wk,p (Ω) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Dk u , (k − 1)!nωn (1.38) dùng Bổ đề 1.5 ta có mở rộng Định lý 1.7 Cụ thể là, tồn số c1 , c2 phụ thuộc vào n k , cho u ∈ W0k,p (Ω) với n = kp, Z Ω |u| exp c1 kDk ukn  p/(p−1) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên dx ≤ c2 |Ω| http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.39) 21 Trường hợp p > n định lý nhúng Sobolev xác hóa thơng qua bổ đề sau: Bổ đề 1.8: Cho Ω lồi u ∈ W1,1 (Ω) Khi đó: Z dn |u (x) − uS | ≤ |x − y|1−n |Du (y)| dy, hầu khắp nơi Ω(1.40) n |S| Ω đó: uS = |S| Z udx, d = diamΩ, S S tập đo Ω Chứng minh: Cho u ∈ C (Ω), x, y ∈ Ω: u (x) − u (y) = − |x−y| Z Dr u (x + rω) dr, ω = y−x |y − x| Tích phân theo y S , ta được: |S| (u (x) − uS ) = − |x−y| Z Z dy S Kí hiệu  V (x) = Dr u (x + rω) dr |Dr u (x)| , x ∈ Ω 0, x∈ /Ω Do đó, ta có: |u (x) − uS | ≤ |S| Z∞ Z dy |x−y| n, u ∈ C γ Ω , γ = − n/p Hơn nữa, với hình cầu B = BR , osc u ≤ CRγ kDukp , (1.41) Ω∩BR C = C (n, p), osc = sup |u (x) − u (y)| ω x,y∈ω Chứng minh: Kết hợp đánh giá (1.40) (1.33), cho S = Ω = B, q = ∞ µ = n−1 , ta có:
|u (x) − uB | ≤ C (n, p) Rγ kDukp hầu khắp nơi (Ω ∩ B) Từ suy kết vì: |u (x) − u (y)| ≤ |u (x) − uB | + |u (y) − uB |
≤ 2C (n, p) Rγ kDukp hầu khắp nơi (Ω ∩ B) Kết hợp Định lý 1.2 Định lý 1.9, với u ∈ W01,p (Ω) p > n ta có đánh giá: |u|0,γ ≤ C [1 + (diamΩ)γ ] kDukp (1.42) Hơn nữa, kết Định lý 1.2, 1.7, 1.9 tóm lược theo sơ đồ sau đây: % Lnp/(n−p) pn & C λ (Ω) , λ = − p , Lϕ (Ω) kí hiệu khơng gian Orlicz với hàm ϕ xác định Từ Bổ đề 1.4 1.6 ta có : Với u ∈ W01,p (Ω) , ≤ p < ∞  1/n kukp ≤ |Ω| kDukp ; ωn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.43) 23 Trong mà từ Bổ đề 1.4 1.8 ta có: với u ∈ W1,p (Ω) Ω lồi:  1−1/n ωn ku − uS kp ≤ dn kDukp , (1.44) |S| d = diamΩ đường kính miền Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 Chương NGHIỆM MẠNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 2.1 2.1.1 Khái niệm nghiệm mạnh Thế vị Newton Xét phương trình Laplace có dạng: ∆u = n X ∂ 2u j=1 ∂x2j (2.1) Cho Ω miền bị chặn Rn , f ∈ L2 (Ω) Thế vị Newton f định nghĩa hàm ω (x): Z ω (x) = Γ (x, y)f (y) dy, (2.2) Ω Γ (x, y) nghiệm phương trình Laplace cho cơng thức: |x − y|2−n , n > 2, n (2 − n) ωn Γ (x, y) =   log |x − y| , n = 2, 2π    (2.3) ωn thể tích hình cầu đơn vị Rn Ta có cơng thức:   R R ∂Γ ∂u u (y) = u (x, y) − Γ (x, y) dSx + Γ (x, y)∆udx (2.4) ∂γ ∂γ Ω ∂Ω với y ∈ Ω, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 25
γ = γ , γ , , γ n vectơ pháp tuyến đơn vị x ∈ ∂Ω
Khi ∂Ω đủ trơn coi hàm thuộc C Ω tổng hàm điều hòa vị Newton phương trình Laplace Chính việc nghiên cứu phương trình Poisson ∆u = f phần lớn thể thông qua nghiên cứu vị Newton 2.1.2 Khái niệm nghiệm mạnh Định nghĩa 2.1: Xét phương trình: ∆u = f Hàm số u ∈ W 2,2 (Ω) gọi nghiệm mạnh phương trình thỏa mãn phương trình hầu khắp nơi Ω Định lý 2.1: Cho f ∈ L2 (Ω) , Ω ∈ Rn , ω vị Newton f Khi ω (x) ∈ W 2,2 (Ω), ∆ω = f hầu khắp nơi Ω D ω n = kf k L (Ω) L (R ) (2.5) Chứng minh: Giả sử : f ∈ C0∞ (Ω), ω ∈ C ∞ (Rn ), Ω ⊂⊂ Ω0 , Ω0 : bị chặn với miền biên trơn Với x ∈ Ω ta có: ∂2 ω (x) = ∂xi ∂xj Z ∂2 Γ (x, y) (f (y) − f (x)) dy ∂xi ∂xj Ω0 R +f (x) ∂Ω0 ∂ Γ (x, y) γ j (y) , i ∂x
n (2.6) đó: γ = γ , γ , , γ : pháp tuyến đơn vị, do(y): độ đo cảm sinh ∂Ω0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 Trên hệ biểu thức: ∂2 ≤ const Γ (x, y) (f (y) − f (x)) |f (y) − f (x)| ∂xi ∂xj