Các tính chất của nghiệm phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯƠNG THANH HẢI CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI DẠNG BẢO TỒN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun, năm 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯƠNG THANH HẢI CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI DẠNG BẢO TỒN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Thái Nguyên, năm 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu nêu Luận văn hoàn toàn trung thực, chưa công bố công trình tác giả khác Thái Nguyên, tháng năm 2013 Tác giả Lương Thanh Hải Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc thầy PGS TS Hà Tiến Ngoạn, thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tơi suốt thời gian học tập nghiên cứu vừa qua Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên quý thầy giáo, cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Toán K19, bạn học viên tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ trình học tập nghiên cứu trường Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích động viên tơi suốt q trình học cao học viết Luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng Luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tơi mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn đọc để Luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2013 Tác giả Lương Thanh Hải Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục MỞ ĐẦU i 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm điều hòa 1.2 Hàm điều hòa 1.3 Định lý Liouville bất dẳng thức Harnack 1.4 Không gian W 1,2 (Ω) 1.5 Không gian C α (Ω) CÁC ĐÁNH GIÁ CỦA MOSER-HARNACK 2.1 Các định nghĩa, định lý bổ đề có liên quan 2.2 Đánh giá Morser nghiệm yếu nghiệm yếu 2.3 Các định lý kiểu Harnack 2.4 Các định lý kiểu Liouville 3 11 13 21 30 30 34 41 42 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐỘ TRƠN CỦA NGHIỆM 43 3.1 Tính liên tục Holder nghiệm 43 3.2 Tính liên tục Holder đạo hàm cấp nghiệm 46 Kết luận 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn Luận văn Đối với phương trình tuyến tính cấp hai dạng bảo tồn, nghiệm thường xét theo nghĩa yếu, tức thuộc không gian W 1,2 (Ω) mà có đạo hàm đến cấp hai bình phương khả tích thỏa mãn đẳng thức tích phân Tuy nhiên, người ta phát nghiệm yếu lại có độ trơn định, tức với đạo hàm cấp thuộc lớp liên tục Holder C α (Ω) Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp kết cổ điển hàm điều hòa trên, hàm điều hịa mở rộng kết cho nghiệm nghiệm yếu lớp phương trình dạng bảo tồn Mục đích Luận văn Mục đích Luận văn trình bày lý thuyết tính chất định tính độ trơn nghiệm yếu lớp phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo tồn, hệ số phương trình cần địi hỏi thỏa mãn điều kiện elliptic hàm đo bị chặn Nội dung Luận văn Luận văn bao gồm phần Mở đầu, ba chương nội dung chính, Kết luận tài liệu tham khảo Chương 1: Giới thiệu kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu kết Luận văn Trước hết ta định nghĩa hàm điều hịa, sau đưa số tính chất hàm điều hịa, trình bày kết cổ điển hàm điều hòa định lý trung bình, định lý Harnack, định lý Liouville đành giá theo chuẩn Holder nghiệm đạo hàm cấp một, cấp hai Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2: Trình bày đánh giá Morser nghiệm nghiệm phương trình dạng bảo tồn trình bày định lý kiểu Harnack Liouville Chương 3: Trình bày kết độ trơn nghiệm yếu phương trình dạng bảo tồn có đánh giá theo chuẩn Holder nghiệm đạo hàm cấp Nội dung Luận văn viết dựa theo Chương 1, Chương 10 Chương 11 tài liệu [1] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm điều hòa Định nghĩa 1.1.1 Một hàm u ∈ C (Ω) gọi hàm điều hòa (trong d Ω) ∆u = 0, ∆u = ∑ uxj xj , Ω ⊂ Rd j =1 Chú ý : Tập hợp hàm điều hòa Ω khơng gian vector Một số ví dụ hàm điều hòa: (1) Trong Rd , tất hàm hằng, hàm affin tuyến tính hàm điều hịa (2) Hàm đa thức bậc hai sau hàm điều hòa u(x) = (x1 )2 − (x2 )2 với x = (x1 , , xd ) ∈ Rd (3) Cho x, y ∈ Rd với x ≠ y, ta đặt ⎧ ⎪ ⎪ Γ(x, y ) ∶= Γ(∣x − y ∣) ∶= ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 2π log ∣x − y ∣ với d = 2−d với d > 2, d(2−d)ωd ∣x − y ∣ (1.1) ωd thể tích hình cầu đơn vị B (0, 1) ⊂ Rd Khi với y cố định y ≠ x, Γ(x, y ) hàm điều hòa theo x Thật vậy, ∂ Γ ( x, y ) = (xi − y i )∣x − y ∣−d , i ∂x dwd Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ta có ∂2 {∣x − y ∣2 δij − d(xi − y i )(xj − y j )}∣x − y ∣−d−2 Γ ( x, y ) = i j ∂x ∂x dwd Vì Γ hàm điều hòa Rd ∣{y } Định lý 1.1.2 (Công thức Poisson)([1]) Giả sử u(x) hàm điều hịa hình cầu B (x0 , r) = {x ∈ Rd ∶ ∣x − x0 ∣} ≤ r Khi ta có cơng thức Poisson sau u(y ) = R2 − ∣y − x0 ∣2 dωd r ∫ ∂B (x0 ,r) u(x) do(x), ∀y ∈ B (x0 , r), ∣x − y ∣d (1.2) do(x) phần tử diện tích mặt cầu ∂B (x0 , r) Định lý 1.1.3 (Công thức giá trị trung bình) Một hàm liên tục u ∶ Ω → R hàm điều hòa hình cầu B (x0 , r) ⊂ Ω, ta có cơng thức giá trị trung bình sau u(x0 ) = S (u, x0 , r) ∶= dωd rd−1 ∫ u(x)do(x), (1.3) u(x)dx (1.4) ∂B (x0 ,r) u(x0 ) = K (u, x0 , r) ∶= ωd r d ∫ B (x0 ,r) Chứng minh ′′ ⇒′′ Giả sử u hàm điều hịa, (1.3) suy từ công thức Poison (1.2) Thật vậy, (1.2) lấy y = x0 ta có u(x0 ) = r2 dωd r ∫ ∂B (x0 ,r) = dωd rd−1 u(x) do(x) rd ∫ u(x)do(x) ∂B (x0 ,r) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Cơng thức (1.3) cịn chứng minh cách khác sau Giả sử u ∈ C (B (y, r)), < % < r, ∂u ∫B (y,%) ∆u(x)dx = ∫∂B (y,%) ∂ν (x)do(x) ∂u =∫ (y + %ω )%d−1 dω ∂B (0,1) ∂% x−y tọa độ cực ω = % ∂ = %d−1 u(y + %ω )dω ∂% ∫ ∂B (0,1) = %d−1 ∂ 1−d (% ∫ ∂% u(x)do(x)) ∂B (y,%) = dωd %d−1 Nếu u hàm điều hịa ∂ S (u, y, %) ∂% ∂ ∂% S (u, y, %) (1.5) = S (u, y, %) số Vì u(y ) = lim S (u, y, %), %→0 (1.6) nên ta suy (1.3) Ta chứng minh (1.4) Thật vậy, từ định nghĩa S (u, x0 , %) K (u, x0 , r) dx = %d−1 d%do(x) ta có r d K (u, x0 , r) = d ∫ S (u, x0 , %)%d−1 d% = u(x0 ) r (1.7) ′′ ⇐′′ Giả sử (1.3) với x0 ∈ Ω r > cho B (x0 , r) ⊂ Ω Trước tiên ta chứng tỏ u trơn Ta đặt ⎧ ⎪ ⎪ cd exp ( t21−1 ) ≤ t < %(t) ∶= ⎨ ⎪ t ∉ [0, 1) ⎪ ⎩0 Ở số cd chọn cho ∫ %(∣x∣)dx = 1, Rd %(∣x∣) khả vi vô hạn theo x Cho f ∈ L1 (Ω), B (y, r) ⊂ Ω, ta xét fr (y ) ∶= ∣y − x ∣ % ( )f (x)dx ∫ rd r Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.8) 42 2.4 Các định lý kiểu Liouville Định lý 2.4.1 Giả sử u(x) nghiệm (yếu) bị chặn Lu = xác định tồn Rd , L có hệ số aij (x) đo được, bị chặn thỏa mãn λ∣ξ ∣ ≤ ∑ aij (x)ξi ξj , ∣aij (x) ≤ Λ, i,j =1 với số không đổi < λ < Λ < ∞ ∀x ∈ Rd , ξ ∈ Rd Khi u số Chứng minh Do u bị chặn, infd u sup u hữu hạn Vì vậy, cho µ < Rd R infd u, u − µ nghiệm dương phương trình Lu = Rd Do đó, từ R Định lý 2.3.1 ≤ sup u − µ ≤ c3 ( inf u − µ), B (0,R) B (0,R) với R > µ < infd u bất kỳ, lấy qua giới hạn, điều R µ = infd u R c3 khơng phụ thuộc vào R nên ta ≤ sup u − µ ≤ c3 (infd u − µ) = Rd R Do u ≡ const Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Chương CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐỘ TRƠN CỦA NGHIỆM 3.1 Tính liên tục Holder nghiệm Bổ đề 3.1.1 Giả sử u ∈ W 1,2 (Ω) nghiệm yếu L, tức d ∂ ∂ ij ( a ( x ) u(x)) ≥ 0, j i ∂x ∂x i,j =1 Lu = ∑ với L thỏa mãn điều kiện (2.2) u(x) thỏa mãn đẳng thức tích phân (2.3) Khi u bị chặn Ω0 ⊂⊂ Ω Do đó, u nghiệm yếu Lu = bị chặn bị chặn Ω0 Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.9, cho k > 0, v (x) ∶= max(u(x), k ) nghiệm nhận giá trị dương Tính bị chặn địa phương v suy từ định lý 2.2.3 định lý nhúng 2.1.1 việc sử dụng phương pháp chọn dãy hình cầu thích hợp chứng minh Định lý 2.3.2 ta suy tính bị chặn địa phương u Bổ đề chứng minh Định lý 3.1.2 (Tính liên tục Holder nghiệm) Giả sử u ∈ W 1,2 (Ω) nghiệm yếu d ∂ ∂ (aij (x) i u(x)) = j ∂x i,j =1 ∂x Lu = ∑ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.1) 44 Ở aij (x) hệ số đo bị chặn thỏa mãn điều kiện λ∣ξ ∣ ≤ ∑ aij (x)ξi ξj , ∣aij (x)∣ ≤ Λ, (3.2) với x ∈ Ω, ξ ∈ Rd , với số < λ < Λ < ∞ Khi u liên tục Holder Ω, tức với Ω0 ⊂⊂ Ω bất kỳ, tồn α ∈ (0; 1) số c : ∣u(x) − u(y )∣ ≤ c∣x − y ∣α , với x, y ∈ Ω0 α phụ thuộc vào d, vào đại lượng (sup u − inf u) λ Λ, (3.3) Ω0 , số c phụ thuộc Ω0 Ω0 Chứng minh Giả sử x ∈ Ω, cho R > B (x, R) ∈ Ω, ta đặt M (R) ∶= sup u, m(R) ∶= inf u B (x,R) B (x,R) (theo Bổ đề 3.1.1 −∞ < m(R) ≤ M (R) < ∞) Khi ω (R) ∶= M (R) − m(R) dao động u B (x, R), ta chứng minh bất đẳng thức r α R ω (r) ≤ c0 ( ) w(R), < r ≤ , R (3.4) với số α xác định Nghĩa u(x)− u(y ) ≤ sup u − inf u = w(r) ≤ c0 B (x,R) B (x,R) w(R) ∣x − y ∣α , ∀y, ∣x − y ∣ = r (3.5) Rα Ta chứng minh bất đẳng thức (3.4) M (R) − u; u − m(R) nghiệm dương Lu = B (x, R) Do đó, từ Định lý 2.3.1 ta có R M (R) − m( ) = sup (M (R) − u) ≤ c1 infR (M (R) − u) B (x, ) B (x, R ) R = c1 (M (R) − M ( )) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 Tương tự R M ( ) − m(R) = sup (u − m(R)) ≤ c1 infR (u − m(R)) B (x, ) B (x, R ) R = c1 (m( ) − m(R)) với c1 không phụ thuộc vào R Cộng hai bất đẳng thức ta R R c −1 M ( ) − m( ) ≤ (M (R) − m(R)) 4 c1 + Đặt ϑ ∶= c1 −1 c1 +1 (3.6) < 1, R w( ) ≤ ϑw(R) Lặp lại bất đẳng thức ta w( R ) ≤ ϑn w(R), n ∈ N n Giả sử R R ≤ r ≤ 4n+1 4n Ta chọn α > cho (3.8) n ϑ≤( ) Khi R ) ω đơn điệu tăng 4n ≤ ϑn ω (R) (từ (3.7)) α ≤ ( n ) ω (R) R α ≤ ( ) ω (R) ( từ (3.8)) 4R r α = 4−α ( ) ω (R) R ω (r) ≤ w( Suy (3.4) chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (3.7) http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 3.2 Tính liên tục Holder đạo hàm cấp nghiệm Bổ đề 3.2.1 Giả sử (Aij )i,j =1, ,d ma trận với d ∣Aij ∣ ≤ Λ, ∀i, j λ∣ξ ∣ ≤ ∑ Aij ξi ξj , ∀ξ ∈ Rd , λ > (3.9) i,j =1 Giả sử u ∈ W 1,2 (Ω) nghiệm yếu n ∑ Dj (Aij Di u) = Ω i,j =1 Khi với x0 ∈ Ω, < r < R < dist(x0 , ∂Ω), với µ ∈ R, ta có ∣Du∣2 ≤ ∫ B (x0 ,r) c2 (R − r)2 ∣u − µ ∣2 ∫ (3.10) B (x0 ,R)∖(x0 ,r) Chứng minh Chọn η ∈ W01,2 (B (x0 , R)) với ≤ η ≤ 1, η ≡ B (x0 , R), Dη ≡ B (x0 , R), ∣Dη ∣ ≤ R−r Xét hàm số ϕ = (u − µ)η Ta = ∫ ∑ Aij Di uDj ((u − µ)η ) i,j = ∫ ∑ Aij Di uDj uη + ∫ ∑ Aij Di u(u − µ)ηDj η i,j i,j Sử dụng điều kiện elliptic, ta suy λ ∫ B (x0 ,R) ∣Du∣2 η ≤ ∫ ij ∫ ∑ A Di uDj uη B (x0 ,R) ≤ εΛd ∫ B (x0 ,R) i,j λ ∣Du∣2 η + d ε Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ∫ ∣Dη ∣2 ∣u − µ∣2 , B (x0 ,R)∖B (x0 ,r) http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 Dη = B (x0 , r) Do đó, với ε = ∣Du∣2 ≤ ∫ ∫ B (x0 ,R) nên ta có ∣Du∣2 η ≤ ∫ λ Λd B (x0 ,R) ∣Du∣2 η B (x0 ,R) c2 (R − r)2 ∫ ∣u − µ∣2 B (x0 ,R) Bổ đề chứng minh Bổ đề 3.2.2 Với giả thiết Bổ đề 3.2.1, ta có ∫ B (x0 ,r) r d ∣u∣2 ≤ c3 ( ) ∫ R ∣u∣2 , (3.11) B (x0 ,R) r d+2 ∣u − uB (x0 ,r) ∣ ≤ c4 ( ) ∫ R ∣u − uB (x0 ,R) ∣2 ∫ B (x0 ,r) (3.12) B (x0 ,R) Chứng minh Khơng làm tính tổng qt, cho r < R2 Ta chọn k > d Từ Định lý nhúng Sobolev 2.1.1 W k,2 (B (x0 , R)) ⊂ C (B (x0 , R)) Suy u ∈ W k,2 (B (x0 , R2 )), với đánh giá tương tự từ Định lý 2.1.5 Do ∫ ∣u∣2 ≤ c5 rd sup ∣u∣2 ≤ c6 B (x0 ,R) B (x0 ,R) rd ≤ c3 d ∫ R rd ∥u∥W k,2 (B (x0 , R )) Rd−2k ∣u∣2 B (x0 ,R) Suy (3.11) chứng minh Cho r < R2 , ta ∣Du∣2 ≤ c7 ∫ B (x0 ,R) rd Rd ∫ ∣Du∣2 (3.13) B (x0 , R2 ) Từ bất đẳng thức Poincare ∫ ∣u − uB (x0 ,r) ∣2 ≤ c8 r2 ∫ B (x0 ,r) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ∣Du∣2 , B (x0 ,r) http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.14) 48 từ bất đẳng thức Caccioppoli ∣Du∣2 ≤ ∫ c9 R2 ∫ ∣u − uB (x0 ,r) ∣2 , (3.15) B (x0 ,R) B (x0 , R2 ) ta suy (3.12) Bổ đề chứng minh Định lý 3.2.3 (Tính liên tục Holder đạo hàm cấp nghiệm) Giả sử aij (x), i, j = 1, , d hàm thuộc lớp C α , < α < 1, Ω ⊂ Rd , thỏa mãn điều kiện elliptic d λ∣ξ ∣ ≤ ∑ aij (x)ξi ξj , ∀ξ ∈ Rd , x ∈ Ω, (3.16) ∣aij (x)∣ ≤ Λ, ∀x ∈ Ω, i, j = 1, , d (3.17) i,j =1 với số cố định < λ ≤ Λ < ∞ Khi với nghiệm yếu v phương trình d ∑ Dj (aij (x)Di v ) = (3.18) i,j =1 ′ thuộc lớp C 1,α , α′ bất kỳ, < α′ < α Chứng minh Cho x0 ∈ Ω, ta viết aij = aij (x0 ) + (aij (x) − aij (x0 )) Giả sử Aij ∶= aij (x0 ), (3.18) trở thành d d d ij ij ∑ Dj (A Di v ) = ∑ Dj ((a (x0 ) − a (x)Di v ) = ∑ Dj (f j (x)), i,j =1 ij i,j =1 với j =1 d j f (x) ∶= ∑((aij (x0 ) − aij (x)Dj v ) (3.19) i=1 Điều có nghĩa d d i,j =1 j =1 1,2 ij j ∫ ∑ A Di vDj ϕ = ∫ ∑ f Dj ϕ, ∀ϕ ∈ W0 (Ω) Ω Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.20) 49 Cho hình cầu B (x0 , R) ⊂ Ω, giả sử ω ∈ W 1,2 (B (x0 , R)) nghiệm yếu phương trình d ∑ Dj (Aij Di ω ) = B (x0 , R), ω = v ∂B (x0 , R) (3.21) i,j =1 Do ω nghiệm phương trình d 1,2 ∑ Aij Dj wDi ϕ = 0, ∀ϕ ∈ W0 (B (x0 , R)) ∫ (3.22) i,j =1 B (x0 ,R) Như tồn nghiệm ω toán (3.21) suy từ Định lý Lax-Milgram Ta tìm z = ω − v với B (ϕ, z ) ∶= ∫ ∑ Aij Di zDj ϕ = − ∫ ∑ Aij Di vDj ϕ =∶ F (ϕ), ∀ϕ ∈ W01,2 (B (x0 , R)) Do (3.21) phương trình tuyến tính với hệ số hằng, ω nghiệm Dk w nghiệm, k = 1, , d Áp dụng (3.11) từ Bổ đề 2.1.7 với u = Dk ω , ta r d 2 (3.23) ∫ ∣Dw∣ ≤ c10 ( R ) ∫ ∣Dw∣ B (x0 ,r) B (x0 ,R) (Ở Dω thay cho vec tơ (D1 w, , Dd w)) Do ω = υ ∂B (x0 , R), ϕ = υ − ω hàm tiêu chuẩn (3.22), ta d d ij ∫ B (x0 ,R) ∑ A Di wDj w = ∫ i,j =1 B (x0 ,R) ∑ Aij Di ωDj υ (3.24) i,j =1 Sử dụng (3.21), (3.17) bất đẳng thức Cauchy - Schwar, ta Λd 2 ∣ Dω ∣ ≤ ( ) ∫ ∣Dυ ∣2 (3.25) ∫ λ B (x0 ,R) B (x0 ,R) Từ (3.20) (3.22) ta d ∫ B (x0 ,R) d ∑ Aij Di (υ − ω )Dj ϕ = ∫ i,j =1 B (x0 ,R) 1,2 ∑ f j Dj ϕ, ∀ϕ ∈ W0 (B (x0 , R)) i,j =1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 Ta sử dụng thêm hàm tiêu chuẩn ϕ = υ − ω để d ∣D(υ − ω )∣ ≤ λ ∫ ∫ B (x0 ,R) ∑ Aij Di (υ − ω )Dj (υ − ω ) i,j =1 B (x0 ,R) λ ∫ = ∑ f j Dj (υ − ω ) j B (x0 ,R) ≤ ( ∫ λ 2 ∣D(υ − ω )∣ ) ( ∫ từ bất đẳng thức Cauchy - Schwar, tức ∫ ∣D(υ − ω )∣ ≤ λ2 ∫ B (x0 ,R) j ∑ ∣ f j ∣2 B (x0 ,R) ∑ ∣f ∣ ) , B (x0 ,R) B (x0 ,R) j (3.26) j Cho < r ≤ R, ta có ∫ ∣Dυ ∣2 ≤ ∫ B (x0 ,R) ∣Dω ∣2 + ∫ B (x0 ,R) ∣D(υ − ω )∣2 B (x0 ,R) r d ≤ c11 ( ) ∫ R ∣Dυ ∣2 + ∫ B (x0 ,r) ∣D(υ − ω )∣2 B (x0 ,r) ( (3.23) (3.25)) Bây ta có ∫ B (x0 ,R) ∣D(υ − ω )∣2 ≤ ∫ ∣D(υ − ω )∣2 , (do r ≤ R) B (x0 ,R) ≤ λ2 ∫ ∑ ∣f j ∣2 , (do (3.26)) j B (x0 ,R) ≤ λ2 sup i,j x∈B (x0 ,R) ∣aij (x0 ) − aij (x)∣2 ∫ ≤ c12 R2α ∫ ∣Dv ∣2 (3.27) B (x0 ,R) ∣Dv ∣2 , B (x0 ,R) aij thuộc lớp C α Nói chung ta ∫ B (x0 ,R) r d ∣Dυ ∣2 ≤ γ (( ) + R2α ) ∫ R ∣Dυ ∣2 với γ số B (x0 ,R) Để chứng minh định lý ta sử dụng bổ đề sau Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.28) 51 Bổ đề 3.2.4 Giả sử σ (r)) hàm đơn điệu tăng, không âm thỏa mãn r µ σ (r) ≤ γ (( ) + δ )σ (R) + κRν , R với < r ≤ R ≤ R0 , µ > ν δ ≤ δ0 (γ, µ, ν ) Nếu σ0 đủ nhỏ, < r ≤ R ≤ R0 , ta có r ν σ (r) ≤ γ1 ( ) σ (R) + κ1 rν , R với γ1 phụ thuộc vào γ, µ, ν κ1 phụ thuộc vào κ (κ1 = κ = 0) Chứng minh Giả sử < τ < 1, R < R0 Khi từ giả thiết σ (τ R) ≤ γτ µ (1 + δτ −µ )σ (R) + κRν Ta chọn < r < cho 2γτ µ = τ λ , với ν < λ < µ ( khơng làm tính tổng quát cho 2γ > 1), giả sử δ0 τ −µ ≤ Khi σ (τ R) ≤ τ λ σ (R) + κRν , lặp lại bước với k ∈ N , ta có σ (τ k+1 R) ≤ τ λ σ (τ k R) + κτ kν Rν k ≤ τ (k+1)λ σ (R) + κτ kν Rν ∑ τ j (λ−ν ) j =0 ≤ γ0 τ (k+1)ν (σ (R) + κRν ) Ta chọn k ∈ N cho τ k+2 R < r ≤ τ k+1 R, ta r ν σ (r) ≤ σ (τ k+1 R) ≤ γ1 ( ) σ (R) + κ1 rν R Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 Tiếp tục chứng minh Định lý 3.2.3, áp dụng Bổ đề 3.2.4 với (3.28), ta cần có < r ≤ R ≤ R0 với R02α ≤ δ0 , ta bất đẳng thức r d−ε ∣ Dυ ∣ ≤ c ( ) ∫ ∣Dυ ∣2 , 13 ∫B (x ,r) R B ( x ,r ) 0 (3.29) với ε > 0, c13 R0 phụ thuộc vào ε Áp dụng Bổ đề 3.2.2 , làm tương tự (3.13) ta r d+2 ) ∫ ∣Dω − (Dω )B (x0 ,R) ∣2 ∣ Dω − ( Dω ) ∣ ≤ c ( 14 B (x0 ,r) ∫B (x ,r) R B ( x ,R ) 0 (3.30) Ta có ∫B (x ,R) ∣Dω − (Dω )B (x0 ,R) ∣2 ≤ ∫ B (x0 ,R) ∣Dω − (Dv )B (x0 ,R) ∣2 , ta suy ∫ B (x ,r ) ∣g − gB (x0 ,R) ∣2 = inf ∫ κ∈R B (x0 ,R) ∣g − κ∣2 (3.31) ( Vì g ∈ L2 (Ω), F (κ) ∶= ∫Ω ∣g − κ∣2 lồi khả vi κ, F ′ (κ) = ∫ 2(κ − g ) Ω ; F ′ (κ) = với κ= g, ∣Ω∣ ∫Ω F lồi.) Tuy nhiên, từ (3.24) ta có ∫ ∣Dω − (Dυ )B (x0 ,R) ∣ B (x0 ,R) ≤ λ1 ∫ ∑ Aij (Di ω − (Di υ )B (x0 ,R) )(Dj ω − (Dj υ )B (x0 ,R) ) B (x0 ,R) i,j = λ ∫B (x0 ,R) ∑ Aij (Di ω − (Di υ )B (x0 ,R) )(Dj υ − (Dj υ )B (x0 ,R) ) i,j + λ ∫ ∑ Aij (Di υ )B (x0 ,R) )(Dj υ − Dj ω ) B (x0 ,R) i,j Tích phân cuối bị triệt tiêu Aij (Di υ )B (x0 ,R) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên số υ − ω ∈ http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 W01,2 (B (x0 , R)) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta ∫ B (x ,R) ∣Dω − (Dω )B (x0 ,R) ∣2 ≤ Λ2 d ∫ ∣Dυ − (Dυ )B (x0 ,R) ∣2 (3.32) λ B (x0 ,R) Cuối ta ∫ B (x ,R) ∣Dυ − (Dυ )B (x0 ,r) ∣2 ≤ ∫ + 3∫ + 3∫ B (x0 ,r) B (x0 ,r) B (x0 ,r) ∣Dω − (Dω )B (x0 ,R) ∣2 ∣Dυ − Dω ∣2 ((Dυ )B (x0 ,r) − (Dω )B (x0 ,r) )2 Theo bất đẳng thức Holder ta có ∫ B (x ,r ) ( (Dυ − Dω )2 ( Dυ − Dω )) ≤ 3∫ ∣B (x0 , r)∣ ∫B (x0 ,r) B (x0 ,r) Vì theo (3.27) ∫ B (x ,r ) ∣Dυ − (Dυ )B (x0 ,r) ∣2 ≤ 3∫ + 6∫ B (x0 ,r) B (x0 ,r) ≤ 3∫ B (x0 ,r) + c15 R2α ∫ ∣Dω − (Dω )B (x0 ,r) ∣2 ∣Dυ − Dω ∣2 ∣Dω − (Dω )B (x0 ,r) ∣2 B (x0 ,r) ∣Dυ ∣2 Từ (3.33), (3.30),(3.32) ta Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.33) 54 ∫ B (x ,r ) ∣Dυ − (Dυ )B (x0 ,r) ∣2 r d+2 ≤ c16 ( ) ∫ ∣Dυ − (Dυ )B (x0 ,R) ∣2 R B (x0 ,r) + c17 R2α ∫ ∣Dυ ∣2 B (x0 ,R) d+2 r ≤ c16 ( ) R ∫ B (x ,R) ∣Dυ − (Dυ )B (x0 ,R) ∣2 + c18 Rd−ε+2α (3.34) Áp dụng (3.29) cho < R ≤ R0 thay cho < r ≤ R từ Bổ đề 3.2.4 suy ∫ B (x ,r ) ∣Dυ − (Dυ )B (x0 ,r) ∣2 r d+2α−ε ≤ c19 ( ) ∣Dυ − (Dυ )B (x0 ,R) ∣2 ∫ R B (x0 ,R) + c20 Rd−ε+2α ′ Như tồn α′ , < α′ < α cho υ (x) ∈ C 1,α Định lý chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau đây: Các kết cổ điển hàm điều hịa như: cơng thức giá trị trung bình, định lý Harnack, Liouville, đánh giá theo chuẩn Holder hàm điều hòa đạo hàm đến cấp hai chúng Trình bày lý thuyết nghiệm yếu lớp phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn mà hệ số chúng hàm đo bị chặn Phát biểu chứng minh định lý kiểu Harnack Liouville đối cới nghiệm yếu Nghiên cứu độ trơn lớp Holder nghiệm yếu phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo tồn với hệ số hàm đo bị chặn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 Tài liệu tham khảo [1] J Jost, (2002), Partial Differential Equations, Spinger-Verlag New York [2] D Gilbarg, N S Trudinger, (1983), Elliptic partial differential equations of second order, Springer - Verlag Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn