Không gian sobolev nghiệm yếu của phương trình elliptic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG KIM CHI KHƠNG GIAN SOBOLEV NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HỒNG KIM CHI KHƠNG GIAN SOBOLEV NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU KHÔNG GIAN SOBOLEV 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian Wk,p (Ω) ; W0k,p (Ω) Không gian Wk,p (Ω) 1.2.1 1.2.2 Ví dụ 13 1.2.3 Không gian W0k,p (Ω) 14 1.3 Định lý nhúng 20 1.4 Đánh giá vị định lý nhúng 24 NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 2.1 2.2 31 Khái niệm nghiệm yếu 31 2.1.1 Cơng thức tích phân phần 31 2.1.2 Định nghĩa 31 2.1.3 Sự tồn nghiệm yếu 33 Độ trơn nghiệm yếu 36 2.2.1 Độ trơn bên miền 36 2.2.2 Độ trơn toàn miền 40 2.2.3 Nghiệm yếu phương trình elliptic tổng quát 42 KẾT LUẬN Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 http://www.lrc-tnu.edu.vn i TÀI LIỆU THAM KHẢO Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình bảo nghiêm khắc PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo Tôi xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến đến thầy giáo, cô giáo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thầy cô giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2010-2012, người đem hết tâm huyết nhiệt tình để giảng dạy trang bị cho chúng tơi nhiều kiến thức sở Tôi xin cảm ơn tập thể giáo viên trường Đại học Hàng Hải nơi công tác giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt khóa học q trình làm luận văn Cuối xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè thân thiết người ln động viên chia sẻ, giúp tơi suốt q trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, tháng 07 năm 2012 Tác giả Hồng Kim Chi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bảng kí hiệu N: tập số tự nhiên Rn : không gian n chiều H: không gian Hilbert L: tốn tử tuyến tính I : ánh xạ đồng Dα : đạo hàm bậc α Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Một số phương trình elliptic cấp hai thường suy từ định luật bảo toàn Do đó, nghiệm phương trình mở rộng, không thiết thuộc lớp C , mà cần thuộc lớp W 1,2 thỏa mãn đẳng thức tích phân với hàm thử v thuộc lớp W01,2 Dựa tài liệu [1], [2], luận văn trình bày cách hệ thống lý thuyết lớp nghiệm suy rộng cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo tồn Luận văn gồm hai chương I II Trong chương I, luận văn trình bày không gian Sobolev W k,p (Ω) W0k,p (Ω) định lý nhúng Chương II nội dung luận văn, trình bày khái niệm nghiệm yếu phương trình, nghiệm yếu toán Dirichlet định lý tồn nghiệm yếu Luận văn trình bày độ trơn nghiệm yếu khẳng định: hệ số vế phải phương trình cho trước biên thuộc lớp C ∞ (∂Ω) nghiệm yếu u(x) khả vi vơ hạn Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương KHÔNG GIAN SOBOLEV 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong phần ta liệt kê số định lý định nghĩa cần thiết: Định lý 1.1 (Định lý Riesz) Với phiếm hàm tuyến tính bị chặn F khơng gian Hilbert H ln tồn phần tử xác định f ∈ H cho F (x) = (x, f ) với x ∈ H kF k = kf k đồng thời ta có: (x, f ) = F (x) kf k2 F (f ) kF k = sup x6=0 kf k2 = |(x, f )| kxk (f, f ) = F (f ) Định lý 1.2 Giả sử T ánh xạ tuyến tính compact khơng gian tuyến tính định chuẩn V vào Khi hoặc: i) phương trình x−T x = có nghiệm khơng tầm thường x ∈ V hoặc: ii) với y ∈ V phương trình x − T x = y có nghiệm xác định x ∈ V Hơn nữa, trường hợp ii) toán tử (I − T )−1 mà tồn khẳng định bị chặn Định lý 1.3 (Định lý Lax-Milgram) Giả sử B dạng song tuyến tính Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn bức, bị chặn không gian Hilbert, tức i)∃M > : |B (x, y)| ≤ M kxk kyk , ∀x, y ∈ H ii)∃λ > : B (x, x) ≥ λx2 , ∀x ∈ H Khi đó, với phiếm hàm tuyến tính bị chặn F ∈ H∗ , tồn phần tử f ∈ H cho: B (x, f ) = F (x) với x ∈ H Định lý 1.4 Giả sử H không gian Hilbert T ánh xạ compact từ H vào Khi đó, tồn tập đếm Λ ⊂ R khơng có điểm giới hạn trừ λ = cho: λ 6= 0, λ ∈ / Λ phương trình λx − T x = y, λx − T ∗ x = y (1.1) có nghiệm xác định x ∈ H với y ∈ H ánh xạ ngược (λI − T )−1 , (λI − T ∗ )−1 bị chặn Nếu λ ∈ Λ, không gian không ánh xạ λI − T, λI − T ∗ có số chiều dương hữu hạn, cịn phương trình (1.1) giải y trực giao với không gian không λI − T ∗ trường hợp thứ λI − T trường hợp lại Định lý 1.5 Một dãy bị chặn không gian Hilbert chứa dãy hội tụ yếu Định nghĩa 1.1 Toán tử vi phân đạo hàm riêng cấp hai dạng khơng bảo tồn có dạng: Lu = aij (x) Dij u + bi (x) Di u + c (x) u; aij = aji x = (x1 , , xn ) nằm miền Ω Rn , n ≥   L elliptic điểm x ∈ Ω thỏa mãn ma trận aij (x) xác định dương Vậy λ (x) , ∆ (x) giá trị cực tiểu cực đại   giá trị riêng aij (x) đó: < λ (x) |ξ|2 ≤ aij (x) ξi ξj ≤ ∆ (x) |ξ|2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn với ξ = ξ1 , , ξn ∈ Rn \ {0} Nếu λ > Ω, L elliptic Ω elliptic ngặt λ ≥ λ0 > với số λ0 > Định lý 1.6 Cho L elliptic ngặt miền Ω bị chặn, với c ≤ 0, f
hệ số L thuộc vào C α Ω Giả sử Ω miền C 2,α
ϕ ∈ C 2,α Ω Khi đó, tốn Dirichlet Lu = f Ω, u = ϕ ∂Ω
có nghiệm nằm C 2,α Ω
Định lý 1.7 Cho Ω miền C k+2,α (k ≥ 0) ϕ ∈ C k+2,α Ω Giả
sử u hàm thuộc C Ω ∩ C (Ω) thỏa mãn Lu = f Ω u = ϕ
∂Ω, f hệ số toán tử elliptic ngặt thuộc C k,α Ω
Khi u ∈ C k+2,α Ω 1.2 Không gian Wk,p (Ω) ; W0k,p (Ω) Một tốn quan trọng phương trình đạo hàm riêng phương trình Poisson: ∆u = f (1.2) Nghiệm phương trình (1.2) thỏa mãn đồng thức tích phân: Z Z DuDϕdx = − f ϕdx Ω Ω u = u (x1 , , xn ) ẩn hàm, f = f (x1 , , xn ) hàm số cho trước, ϕ = ϕ (x1 , , xn ) ∈ C01 (Ω) không gian hàm khả vi liên tục có giá compact, n ∂ 2u P ∆u = 2, i=1 ∂xi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Vk/n Dk u , (k − 1)!nωn (1.39) dùng Bổ đề 1.16 ta có mở rộng Định lý 1.18 Cụ thể là, tồn số c1 , c2 phụ thuộc vào n k , cho u ∈ W0k,p (Ω) với n = kp, Z Ω |u| exp c1 kDk ukn  p/(p−1) dx ≤ c2 |Ω| (1.40) Trường hợp p > n Định lý nhúng Sobolev xác hóa thông qua bổ đề sau: Bổ đề 1.19 Cho Ω lồi u ∈ W1,1 (Ω) Khi đó: Z dn |u (x) − uS | ≤ |x − y|1−n |Du (y)| dy, n |S| Ω hầu khắp nơi Ω, đó: uS = |S| Z udx, d = diamΩ đường kính miền Ω S Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.41) 28 S tập đo Ω Chứng minh: Cho u ∈ C (Ω), x, y ∈ Ω: u (x) − u (y) = − |x−y| Z Dr u (x + rω) dr, ω = y−x |y − x| Tích phân theo y S , ta được: |S| (u (x) − uS ) = − |x−y| Z Z dy S Kí hiệu  V (x) = Dr u (x + rω) dr |Dr u (x)| , x ∈ Ω 0, x∈ /Ω Do đó, ta có: |S| |u (x) − uS | ≤ Z∞ Z dy |x−y| n, u ∈ C γ Ω , γ = − n/p Hơn nữa, với hình cầu B = BR - hình cầu bán kính R, osc u ≤ CRγ kDukp , (1.42) Ω∩BR Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 C = C (n, p), osc u = sup |u (x) − u (y)| ω x,y∈ω Chứng minh: Kết hợp đánh giá (1.41) (1.34), cho S = Ω = B, q = ∞ µ = n−1 , ta có:
|u (x) − uB | ≤ C (n, p) Rγ kDukp hầu khắp nơi (Ω ∩ B) Từ suy kết vì: |u (x) − u (y)| ≤ |u (x) − uB | + |u (y) − uB | ≤ 2C (n, p) Rγ kDukp
hầu khắp nơi (Ω ∩ B) Kết hợp Định lý 1.13 Định lý 1.20, với u ∈ W01,p (Ω) p > n ta có đánh giá: |u|0,γ ≤ C [1 + (diamΩ)γ ] kDukp (1.43) Hơn nữa, kết Định lý 1.13, 1.18, 1.20 tóm lược theo sơ đồ sau đây: % Lnp/(n−p) pn & C λ (Ω) , λ = − np , Lϕ (Ω) kí hiệu khơng gian Orlicz với hàm ϕ xác định Tử Bổ đề 1.15 1.17 ta có : Với u ∈ W01,p (Ω) , ≤ p < ∞  1/n kukp ≤ |Ω| kDukp ; ωn (1.44) Trong mà từ Bổ đề 1.15 1.19 ta có: với u ∈ W1,p (Ω) Ω lồi:  1−1/n ωn ku − uS kp ≤ dn kDukp , (1.45) |S| d = diamΩ đường kính miền Ω Định lý 1.21 Các không gian W01,p (Ω) nhúng compact i) vào không gian Lq (Ω) với q < np/(n − p) p < n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30
ii) vào C Ω p > n Bổ đề 1.22 Giả sử u ∈ W1,p (Ω) Khi ∆h u ∈ Lp (Ω0 ) với Ω0 ⊂⊂ Ω thỏa mãn h < dist (Ω0 , ∂Ω) ta có: h ∆ u p ≤ kDi uk p L (Ω) L (Ω ) Bổ đề 1.23 Cho u ∈ Lp (Ω), < p < ∞ giả sử tồn số K cho ∆h u ∈ Lp (Ω0 ) ∆h u Lp (Ω0 ) ≤ K với h > Ω0 ⊂⊂ Ω thỏa mãn h < dist (Ω0 , ∂Ω) Khi đạo hàm yếu Di u tồn thỏa mãn kDi ukLp (Ω) ≤ K Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 Chương NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 2.1 2.1.1 Khái niệm nghiệm yếu Cơng thức tích phân phần a Hàm biến Zb a Zb b f (x) g (x) dx = f (x) g (x) a − f (x) g (x) dx (2.1) a b Hàm nhiều biến Cho x ∈ ∂Ω; νx = (ν1 , ν2 , , νn ) vectơ pháp tuyến đơn vị Khi đó: Z Z Z Dxj f (x) g (x) dx = f (x) g (x) νj (x) dS− f (x) Dxj g (x) dx (2.2) Ω 2.1.2 ∂Ω Ω Định nghĩa Chương ta xem xét toán tử tuyến tính elliptic có phần dạng bảo tồn, hệ số với giả thiết trơn, yếu tương đối Xét toán tử L dạng:
Lu = Di aij (x) Dj u + bi (x) u + ci (x) Di u + d (x) u (2.3) đó: aij , bi , ci , d (i, j = 1, , n) hàm đo miền Ω ⊂ Rn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Giả sử, hàm u khả vi yếu, hàm aij Dj u + bi u, ci Di u, i = 1, , n khả tích địa phương, với nghĩa yếu suy rộng hàm u gọi thỏa mãn Lu = miền Ω đẳng thức tích phân sau thỏa mãn: L (u, v) = Z 

aij Dj u + bi u Di v − ci Di u + du v dx = (2.4) Ω với hàm v ∈ C01 (Ω) a Nghiệm yếu phương trình Cho f i , g, i = 1, , n hàm khả tích địa phương Ω Hàm u ∈ W 1,2 (Ω) gọi nghiệm yếu hay nghiệm suy rộng phương trình khơng Lu = g + Di f i (2.5) Ω đẳng thức tích phân sau thảo mãn: Z
L (u, v) = f i Di v − gv dx ∀v ∈ C01 (Ω) (2.6) Ω Nghiệm cổ điển (2.5) nghiệm suy rộng nghiệm suy rộng C (Ω) nghiệm cổ điển hệ số L đủ trơn b Nghiệm yếu tốn Xét tốn Dirichlet cho phương trình (2.5), giả sử L elliptic ngặt Ω, tức tồn số dương λ cho: aij (x) ξi ξj ≥ λ|ξ|2 , ∀x ∈ Ω, ξ ∈ Rn (2.7) Ta giả sử L có hệ số giới nội, tức là: số Λ, ν ≥ đó, ∀x ∈ Ω thì: X X