Phương pháp sai phân với phương trình elliptic có bước nhảy gián đoạn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC QUẢN THỊ TỐ QUYÊN PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CÓ BƯỚC NHẢY GIÁN ĐOẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC QUẢN THỊ TỐ QUYÊN PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CĨ BƯỚC NHẢY GIÁN ĐOẠN Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS.VŨ VINH QUANG Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Mở đầu Nội dung 3 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 1.2 Các khái niệm phương trình đạo hàm riêng 1.1.1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng 1.1.2 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai Phương pháp lưới giải phương trình đạo hàm riêng 1.2.1 Bài toán vi phân 1.2.2 Hàm lưới 1.2.3 Đạo hàm lưới 1.2.4 Bài toán sai phân 1.2.5 Lưới sai phân 1.2.6 Bài toán biên elliptic 10 1.2.7 Giới thiệu thư viện RC2009 11 PHƯƠNG PHÁP CIM (Coupling Interface Method) 17 2.1 Giới thiệu toán biên với mặt phân cách gián đoạn 17 2.2 Phương pháp CIM không gian chiều 18 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i 2.3 2.4 2.5 2.2.1 Phương pháp CIM1 không gian chiều 19 2.2.2 Phương pháp CIM2 không gian chiều 22 Phương pháp CIM không gian hai chiều 27 2.3.1 Phương pháp CIM1 không gian chiều 28 2.3.2 Phương pháp CIM2 không gian chiều 30 Phương pháp CIM không gian d chiều 34 2.4.1 Phương pháp CIM1 không gian d chiều 34 2.4.2 Phương pháp CIM2 không gian d chiều 36 Một số số liệu thực nghiệm 39 MƠ HÌNH TÍNH TOÁN SONG SONG ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN GIÁN ĐOẠN QUA MẶT PHÂN CÁCH 3.1 43 Phương pháp chia miền toán gián đoạn qua mặt phân cách 43 3.2 Mô hình tính tốn song song 45 3.3 Các kết thử nghiệm 48 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 60 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Những năm gần có khơng cơng trình nghiên cứu lĩnh vực tìm nghiệm lớp toán biên mà chủ yếu phương trình elliptic cấp hai, mục đích phương pháp đưa toán vi phân toán rời rạc điểm lưới Nếu miền hình học miền phức tạp, hệ số phương trình gián đoạn việc áp dụng phương pháp số cho miền trở nên khó khăn Chính vậy, cơng trình nghiên cứu tập trung đưa hướng nghiên cứu chủ yếu đưa phương pháp sai phân, đặc biệt xung quanh lân cận kỳ dị biên phân chia để đưa toán xét hệ phương trình sai phân việc tìm nghiệm số tốn chuyển việc giải hệ phương trình đại số phương pháp gần Hướng thứ hai sử dụng phương pháp chia miền chuyển toán miền xét hai tốn khơng chứa điểm kỳ dị, sau xuất phát từ lời giải toán hai miền ta thu nghiệm toán gốc Luận văn gồm chương: Chương 1: Các khái niệm Trình bày kiến thức phương trình đạo hàm riêng, sở phương pháp lưới giới thiệu thư viện chương trình giải phương trình elliptic với hệ số số miền chữ nhật Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2: Phương pháp CIM (Coupling Interface Method) Trình bày sở phương pháp CIM bao gồm: phương pháp CIM1, CIM2 không gian chiều,hai chiều d chiều, thuật toán phương pháp tương ứng, kết thực nghiệm tốn cụ thể Chương 3: Mơ hình tính toán song song toán biên gián đoạn qua mặt phân cách Trình bày sở phương pháp chia miền toán biên gián đoạn qua mặt phân cách, mơ hình tính tốn song song trường hợp tồn nhiều biên phân chia miền, xây dựng sơ đồ lặp giải toán biên elliptic tồn mặt gián đoạn theo hướng hiệu chỉnh giá trị hàm biên, xây dựng chương trình thực nghiệm Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy giáo hướng dẫn TS Vũ Vinh Quang tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy, Cơ giáo Viện Tốn,Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên tham gia giảng dạy, giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 10 năm 2011 Tác giả Quản Thị Tố Quyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong Chương luận văn trình bày kiến thức bao gồm: khái niệm phương trình đạo hàm riêng, phương pháp lưới giải phương trình đạo hàm riêng giới thiệu thư viện RC2009 giải số toán biên elliptic với hệ số số Các kiến thức tham khảo tài liệu [1,2,3,4] 1.1 1.1.1 Các khái niệm phương trình đạo hàm riêng Khái niệm phương trình đạo hàm riêng Hàm số biến y = y (x) ta có khái niệm đạo hàm y (x) y(x + ∆x) − y(x) ∆x ∆x→0 y (x) = lim Khái niệm phương trình vi phân y (x) = f (x, y) khái niệm tốn Cauchy: Tìm hàm số y = y (x) xác định x ∈ [x0 , X] thỏa mãn: y (x) = f (x, y), x0 < x ≤ X, y(x0 ) = η Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn đó: f (x, y), x0 , x, X, η hàm số cho trước Xét toán hai biến số u = u(x, y) ta có đạo hàm riêng cấp biến x: ∂u y(x + ∆x) − y(x) = lim ∂x ∆x→0 ∆x đạo hàm riêng cấp biến y: y(x + ∆x) − y(x) ∂u = lim ∂y ∆y→0 ∆y đạo hàm riêng cấp 2: ∂ 2u ∂ = ∂x2 ∂x  ∂ 2u ∂ = ∂x∂y ∂y    ∂u ∂ u ∂ ∂u , = , ∂x ∂y ∂y ∂y     ∂u ∂ ∂u ∂ 2u = , ∂x ∂y∂x ∂x ∂y ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u hàm liên tục = Nếu ∂x∂y ∂y∂x ∂x∂y ∂y∂x Phương trình: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u A(x, y) + B(x, y) + C(x, y) + D(x, y) + E(x, y) + ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y F (x, y)u = f (x, y) phương trình đạo hàm riêng cấp 1.1.2 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai Giả sử u = u(p, q) hàm số hai biến độc lập p, q kí hiệu: ∂u , ∂p ∂ 2u = 2, ∂p up = upp upq = uqp ∂u , ∂q ∂ 2u = ∂q uq = uqq ∂ 2u = ∂q∂p Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Xét phương trình đạo hàm riêng cấp tuyến tính: (1.1) Aupp + 2Buqp + Cuqq = F với A, B, C, F hàm số phụ thuộc p, q, up , uq Giả sử phương trình (1.1) có nghiệm u = u(p, q) đủ trơn Xét Γ đường cong mặt phẳng Opq nằm miền xác định hàm u = u(p, q) có phương trình q = q (p) , hay ϕ(p, q) = Ta có: d(up ) = upp dp + upq dq ; d(uq ) = uqq dq + uqp dp Ta có hệ:   Aupp + 2Buqp + Cuqq = F (p, q, u, up , uq ) u d + uqp dq = d(up )  pp p uqq dq + uqp dp = d(uq ) hay dạng ma trận:      F A 2B C upp  dp dq   uqp  =  d (up )  uqq d (uq ) dq dp Do giả sử phương trình (1.1) có nghiệm u = u(p, q) đủ trơn nên hệ ln có nghiệm ma trận hệ:   A 2B C M =  dp dq  dq dp Nếu Det(M ) 6= Γ hệ có nghiệm Γ , nghĩa Γ đạo hàm cấp hai u xác định cách theo vế phải Nếu Det(M ) = Γ hệ có nghiệm Γ ta xuất phát từ giả thiết phương trình (1.1) có nghiệm u , nghiệm khơng nhất, nghĩa Γ đạo hàm cấp hai u Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn xác định cách không theo vế phải Trong trường hợp ta gọi “đường đặc trưng” phương trình đạo hàm riêng (1.1) Như đường đặc trưng xác định điều kiện Det(M ) = , điều kiện viết sau: Det(M ) = A (dq )2 + 2B(dq dp ) + C (dp )2 (1.2) hay:  A dq dp 2 + 2B( dq ) + C = 0, dp (1.3) dq hệ số góc tiếp tuyến đường đặc trưng, người dp dq phương đặc trưng điểm (p, q) Vậy phương trình (1.3) xác dp định phương đặc trưng, phương trình vi phân đường đặc trưng dq Phương trình (1.3) phương trình bậc hai dp Xét ∆ = B − AC ta gọi • Nếu B − AC > (p, q) ∈ miền Ω phương trình (1.3) có hai nghiệm thực khác (p, q) ∈ Ω : √ dq −B ± B − AC = dp A Khi (p, q) ∈ Ω có hai phương trình đặc trưng thực khác nhau, ta nói phương trình (1.1) thuộc loại hypebol Ω • Nếu B − AC = (p, q) ∈ miền Ω phương trình (1.3) có hai nghiệm thực trùng (p, q) ∈ Ω : dq B = dp A Khi (p, q) ∈ Ω có hai phương trình đặc trưng trùng nhau, ta nói phương trình (1.1) thuộc loại parabol Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ∂ui , (i = 1, 2, , n) gi = εi ∂n Γ i Khi việc xác định nghiệm toán tổng quát thực thuật toán song song sau: Thuật toán song song (0) Bước 0: Xuất phát gi = với ∀i = 1, 2, , n Bước 1: Với ∀k = 0, 1, 2, , n tiến hành giải song song (n + 1) toán sau đây:    (k)   −∇ ε (x) ∇u1 = f, x ∈ Ω1    (k) u1 = ϕ, x ∈ ∂Ω1 \Γ1  (k)  ∂u  (k)   ε = g1 , x ∈ Γ1 ∂n1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (3.9) http://www.lrc-tnu.edu.vn 47    (k)  −∇ ε (x) ∇ui = f, x ∈ Ωi     (k)   = ϕ, x ∈ ∂Ωi \ {Γi−1 , Γi }   ui (k) ∂ui (k) ε = gi−1 − σ2i−1 , x ∈ Γi−1 (i = 2, 3, , n)   ∂ni−1    (k)   ∂ui (k)  ε = gi , x ∈ Γi (i = 2, 3, , n) ∂ni    (k)   −∇ ε (x) ∇un+1 = f, x ∈ Ωn+1    (k) un+1 = ϕ, x ∈ ∂Ωn+1 \Γn (k)   ∂un+1  (k)  ε = gn − σ2n , x ∈ Γn ∂nn Bước 2: Hiệu chỉnh giá trị   (k+1) (k) (k) (k) gi = gi − τ ui − ui+1 − σ1i , i = 1, 2, , n (3.10) (3.11) (3.12) Nhận xét: + Trong sơ đồ lặp trên, bước tiến hành giải độc lập (n + 1) tốn (n + 1) miền Do tính chất độc lập nên (n + 1) tốn tiến hành giải đồng thời lúc (n + 1) xử lý khác Đây thuật toán song song + Sự hội tụ phương pháp phụ thuộc vào hội tụ n sơ đồ lặp (3.12) Đây n sơ đồ lặp lớp tương tự sơ đồ (3.6) + Việc kiểm tra hội tụ kiểm tra chương trình thử nghiệm thơng qua ví dụ cụ thể Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 3.3 Các kết thử nghiệm Để kiểm tra hội tụ phương pháp: Chúng ta xét trường hợp miền Ω miền hình chữ nhật: Ω = [0, 2a] × [0, b] Đường phân chia: Γ = {x1 = a, ≤ x2 ≤ b} Hình 3.2 Bài tốn biên có dạng:       − ∂ ε (x) ∂u − ∂ ε (x) ∂u = f, x ∈ Ω ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2  u = ϕ, x ∈ ∂Ω  [u] = u1 −   u2 = σ1 ,x ∈ Γ ∂u ∂u1 ∂u2 = ε11 (x) − ε12 (x) = σ2 (x)  ε (x) ∂x ∂x1 ∂x1 Khi sơ đồ lặp có dạng: Bước 0: g (0) = Bước 1: giải song song toán: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 Bài toán :   ∂    −    ∂x1 (k) ∂u ε11 (x) ∂x1 ! − ∂ ∂x2 (k) ∂u ε2 (x) ∂x2 ! = f, x ∈ Ω1 (k) u1 = ϕ, x ∈ ∂Ω1 \Γ    (k)  ∂u1   = g (k) , x ∈ Γ  ε11 (x) ∂x1 Bài toán :   ∂    −    ∂x1 ε11 (x) (k) ∂u2 ! − ∂x1 ∂ ∂x2 ε2 (x) (k) ∂u2 ! = f, x ∈ Ω2 ∂x2 (k) u2 = ϕ, x ∈ ∂Ω2 \Γ    (k)  ∂u   = g (k) − σ2 (x) , x ∈ Γ  ε12 (x) ∂x1 Bước 2: Hiệu chỉnh g (k+1) =g (k) −τ  (k) u1 (k) − u2  − σ1 (x) , x ∈ Γ Chúng sử dụng phương pháp lưới M × N = 64 × 64, với bước lưới b a , h2 = Chuyển toán vi phân toán h1 = 64 64 toán sai phân tương ứng Sau sử dụng thuật tốn thu gọn khối lượng tính tốn Samarskij - Nicolaev tìm nghiệm số tốn sai phân Trong tính tốn luôn sử dụng hàm thư viện RC2009 Trong trường hợp biết trước nghiệm ud (x1 , x2 ) điều kiện dừng lặp điều kiện: (k) M ax ud (i, j) − u (i, j) < ε (i,j) Trong trường hợp khơng biết nghiệm điều kiện dừng lặp điều kiện: