TIÊU CHUẨN ĐỦ CHO LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN CAUCHY TIỂU LUẬN KẾT THÚC HỌC PHẦN PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN Nhóm : Lê Thị Sơn, Lê Thiện Trung, Nguyễn Phương Thảo, Nguyễn Ngọc Mỹ, Nguyễn Hạ Thi Giang Lớp : Cao Học Toán K25 TIÊU CHUẨN ĐỦ CHO LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN CAUCHY TIỂU LUẬN KẾT THÚC HỌC PHẦN PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN Ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp Người hướng dẫn: TS Lê Hải Trung Đà Nẵng - 2012 LỜI GIỚI THIỆU "Phương Pháp Sai Phân" lĩnh vực nghiên cứu quan trọng Giải Tích Tốn Học Đây phân mơn chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi Toán kỳ thi cấp thành phố, quốc gia quốc tế Đồng thời học phần quan trọng lớp "Cao học ngành phương pháp Toán sơ cấp" Phương pháp sai phân bao gồm nhiều vấn đề rộng lớn : Xác định nghiệm Phương trình sai phân, xây dựng lược đồ để giải phương trình tốn lý Tuy nhiên, tài liệu "Phương pháp Sai Phân" tiếng Việt cịn thiếu, có số sách thầy Lê Đình Thịnh cộng biên soạn Về mặt phương pháp giải, Phương trình sai phân đa dạng phong phú thuật toán, kỹ thuật biến đổi mà không hướng dẫn kỹ càng, học viên dễ mắc sai lầm lạc hướng đường tìm kết tốn Được dạy bảo, hướng dẫn tận tình thầy Lê Hải Trung, chúng em cố gắng đúc kết tham khảo thêm tài liệu khác để viết nên "Tiểu luận" Tiểu luận gồm có phần : Chương : Các kiến thức tổng quát lược đồ sai phân Chương : Tiêu chuẩn đủ ổn định lược đồ sai phân giải toán Cauchy Chương : Ứng dụng : Giải phương trình Cauchy lược đồ sai phân Dù nhiều hạn chế định nhiều lý nhóm em hi vọng Tiểu luận mang đến cho bạn kiến thức tốt lược đồ sai phân Xin chân thành cảm ơn thầy có buổi dạy nhiệt tình để chúng em có kiến thức định môn học mẻ ! Học viên K25 Nhóm Chương Các kiến thức liên quan 1.1 Lược đồ sai phân phương trình vi phân thường Ngồi cách giải phương trình vi phân bình thường, ta cịn xấp xỉ nghiệm số phương trình vi phân phương pháp sai phân hội tụ Sau số khái niệm lược đồ sai phân : 1.1.1 Khái niệm lược đồ Xét phương trình vi phân : du + Au = 0, ≤ x ≤ 1, u(0) = b dx (1.1) Ta xây dựng lược đồ sau : • Ta chia đoạn [0, 1] thành N đoạn nhỏ điểm : = x0 < x1 < < xN = • Khi ta có xi+1 − xi = hi gọi bước lưới thứ i • Tập hợp điểm xi , i = 0, , N gọi lưới • Các điểm xi điểm lưới trong, x0 , xN điểm lưới biên Trong phương trình 1.1 ta thay vi phân sai phân sau : u(x + h) − u(x) + Au(x) = h (1.2) • Khi đó, phương trình 1.2 tập hợp điểm x phương trình gọi lược đồ sai phân • Như vậy, ta sử dụng điểm x x + h nên lược đồ sai phân điểm • Nếu hi = h = const, ∀i lưới gọi lưới đều, ký hiệu : { } ωh = ih, i = 0, , N • Vậy giá trị hàm số u(xi ) gọi hàm lưới, ký hiệu : ui , i = 0, , N Thường để đơn giản người ta hay xét đến lưới 1.1.2 Cấp xác lược đồ Giải phương trình 1.1 vi phân ta có nghiệm : u(x) = b.e−Ax ⇒ u(xn ) = b.e−Axn { } Viết lại phương trình 1.2 lưới ωh = ih, h = , i = 0, 1, , N N sau : un+1 − un + Aun = ⇔ un+1 = (1 − Ah)un , u0 = b (1.3) h Giải phương trình sai phân này, ta có : un = (1 − Ah) xn h b Khi ta thu gọn sai số sau : δ(xn ) = hb A2 xn −Axn e + o(h2 ) = o(h) Vậy δ(xn ) có cấp Ta nói : lược đồ sai phân 1.3 có độ xác cấp Ví dụ 1.1.1 Cho lược đồ : u(x + h) − u(x − h) + Au(x) = 0, u0 = u(0) = b 2h (1.4) Đây lược đồ sai phân điểm có độ xác cấp 1.1.3 Tốc độ hội tụ nghiệm sai phân • Nếu giá trị ban đầu u1 cho với độ xác cấp h2 nghiệm sai phân có sai số cấp h2 , tức lược đồ sai phân có độ xác cấp • Nếu giá trị ban đầu u1 cho với độ xác cấp h nghiệm sai phân có sai số cấp h Vậy ta thấy cấp xác nghiệm sai phân khơng thay đổi 3 1.1.4 Cấp xấp xỉ Ta xét phương trình 1.2 1.4, ta thấy lược đồ 1.4 xác lược du u(x + h) − u(x) đồ 1.2 Vậy ta nhận khác chỗ xấp xỉ dx h u(x + h) − u(x − h) 2h Thật vậy, khai triển Taylor Ta có : u(x + h) − u(x) h = u′ (x) + u′′ (x) + o(h2 ) có xấp xỉ cấp h u(x + h) − u(x − h) h2 = u′ (x) + u′′′ (x) + o(h4 ) có xấp xỉ cấp 2h Ta nhầm lẫn : cấp hội tụ nghiệm làm cho cấp xấp xỉ đạo hàm Điều khơng lược đồ sai phân dùng phải có ổn định Một lược đồ gọi không ổn định nghiệm sai phân un không hội tụ nghiệm u(xn ) phương trình vi phân 1.2 1.2.1 Sự ổn định lược đồ sai phân Khơng gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.2.1 Cho khơng gian tuyến tính Y , phần tử (mỗi vector) f ∈ Y đặt tương ứng với số không âm ∥f ∥ cho : • ∥f ∥ ≥ 0, ∀f ∈ Y ; ∥f ∥ = ⇔ f = • ∥λf ∥ = |λ|.∥f ∥, f ∈ Y, λ tùy ý • ∥f + g∥ ≤ ∥f ∥ + ∥g∥, f, g ∈ Y Khi đó, ∥f ∥ gọi chuẩn f Y gọi không gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.2.2 Xét ánh xạ T : Y → Y T gọi tốn tử tuyến tính Khi : ∥T ∥ = sup x∈Y ∥T x∥ hay ∥T ∥ = sup ∥T x∥ ∥x∥ ∥x∥=1,x∈Y Tính chất 1.2.1 Ta có tính chất sau : • ∥T x∥ ≤ ∥T ∥.∥x∥ • ∥λT ∥ = |λ|∥T ∥, λ ∈ R • ∥T m ∥ ≤ ∥T ∥m Ví dụ 1.2.1 Giả sử cho không gian hàm lưới Uh xác định lưới ωh , ta có chuẩn sau: ∥uh ∥Uh = sup |uh (xn )| (1.5) Đây chuẩn mà ta thường hay sử dụng lược đồ sai phân 1.2.2 Sự hội tụ lược đồ sai phân Cho toán : Lu = f (1.6) gọi toán bờ vi phân Và : Lh uh = fh (1.7) gọi toán bờ sai phân, đồng thời lược đồ sai phân Định nghĩa 1.2.3 Ta nói nghiệm uh phương trình 1.7 hội tụ nghiệm phương trình 1.6 h → : ∥[u]h − uh ∥Uh → h → Định nghĩa 1.2.4 Nếu ta có : ∥[u]h − uh ∥Uh ≤ C.hα với C > 0, α > không phụ thuộc h ta nói lược đồ sai phân hội tụ cấp hα hay có độ xác cấp hα 1.2.3 Định nghĩa ổn định lược đồ sai phân Định nghĩa 1.2.5 Giả sử toán bờ sai phân Lh uh = fh xấp xỉ toán bờ vi phân Lu = f Khi : δfh = Lh [u]h − fh δfh gọi độ lệch 5 Định nghĩa 1.2.6 Ta nói lược đồ sai phân Lh uh = fh xấp xỉ tốn Lu = f nghiệm u nó, : ∥δfh ∥ → h → Nếu : ∥δfh ∥Fh ≤ chα c > 0, α > số đó, ta nói ta có xấp xỉ cấp hα hay cấp α theo h Định nghĩa 1.2.7 Lược đồ sai phân gọi ổn định : ∃h0 > số δ > cho ∀h ∈ (0, h0 ), ∀ϵh ∈ Fh với ∥ϵh ∥Fh < δ tốn bờ sai phân : Lh Zh = fh + ϵh có nghiệm Zh , đồng thời ∥Zh − uh ∥Uh ≤ C∥ϵh ∥Fh Với C số không phụ thuộc h Bây giờ, ta giả sử tốn tử tuyến tính Lh ánh xạ Uh vào Fh Khi định nghĩa tương đương với : Định nghĩa 1.2.8 Lược đồ sai phân 1.7 với Lh toán tử tuyến tính, ổn định ∀fh ∈ Fh phương trình 1.7 có nghiệm uh ∈ Uh , đồng thời ∥uh ∥Uh ≤ C∥fh ∥Fh Trong đó, C số không phụ thuộc h Chương Tiêu chuẩn đủ ổn định lược đồ sai phân giải toán Cauchy 2.1 Phương pháp tổng quát khảo sát ổn định lược đồ sai phân Trong phương trình vi phân, biết Bài tốn Cauchy gồm có dạng sau :   du + Au = ϕ(x), 0≤x≤1 (2.1) dx u(0) = a  dv   + Av + Bw = p(x), ≤ x ≤   dx dv + Cv + Dw = q(x), ≤ x ≤     dx v(0) = a, w(0) = b    d u + A du + Bu = ϕ(x), ≤ x ≤ dx2 dx  u(0) = a, du(0) = b dx (2.2) (2.3) Để kiểm tra tính ổn định lược đồ sai phân giải toán ta thực bước sau: • Bước : Chuyển tốn lược đồ sai phân • Bước : Định nghĩa khơng gian tuyến tính định chuẩn Uh Fh không gian hàm [uh ] ∈ Uh fh ∈ Fh Hay nói cách khác định nghĩa chuẩn ∥uh ∥Uh ∥fh ∥Fh • Bước : Chứng minh ổn định lược đồ theo định nghĩa 1.2.7 Ví dụ 2.1.1 kiểm tra tính ổn định lược đồ giải tốn 2.1 • Xét lược đồ sai phân Lh uh = fh sau :   un+1 − un + Au = ϕ n n h n = 0, 1, , N − 1; h = , N ∈ Z+ u = a N Khi : { un+1 = (1 − Ah)un + hϕn u0 = a n = 0, 1, , N − (2.4) (2.5) Từ suy :   u1 = (1 − Ah)u0 + hϕ0 ,      u2 = (1 − Ah)u1 + hϕ1 = (1 − Ah) u0 + h(1 − Ah)ϕ0 + ϕ1 , u3 = (1 − Ah)3 u0 + h(1 − Ah)2 ϕ0 + (1 − Ah)ϕ1 + ϕ2 ,       u = (1 − Ah)n u + h(1 − Ah)n−1 ϕ + (1 − Ah)n−2 ϕ + + ϕ n 0 n−1 (2.6) • Ta xây dựng chuẩn không gian Uh Fh sau : ∥uh ∥Uh = max |un |, 0≤n≤N ∥fh ∥Fh = ϕm a (2.7) { } = max |a|, max |ϕm | (2.8) A N ) | ≤ e|A| = C1 , ∀n ≤ N = N h (2.9) 0≤m≤N • Ta có : |(1 − Ah)n | ≤ |(1 − Từ 2.6 2.9 suy : |un | ≤ C1 |u0 | + hN C1 max |ϕm | = C1 |a| + C1 max |ϕm | ≤ 2C1 ∥fh ∥Fh (2.10) Vậy : ∥uh ∥Uh ≤ C.∥fh ∥Fh Với C = 2.C1 = 2.e|A| Ta chứng minh lược đồ ổn định (2.11) 2.2 Dạng tắc lược đồ sai phân Lược đồ sai phân chứa biểu thức phức tạp nên tốn trên, ta đưa phương trình 2.5 dạng thu gọn tập trung chứng minh ổn định lược đồ thơng qua tính bị chặn dãy số |Rhn | Đặt : un = yn , (1 − Ah) = Rh , ϕn = ρn Khi đó, 2.5 viết lại sau : yn+1 = Rh yn + hρn , y0 = const Đây gọi dạng tắc lược đồ sai phân 2.4 Khi đó, 2.6 viết lại sau:   y1 = Rh y0 + hρ0 ,      y2 = Rh y0 + h(Rh ρ0 + ρ1 ), y3 = Rh3 y0 + h(Rh2 ρ0 + Rh ρ1 + ρ2 ),       y = Rn y + h(Rn−1 ρ + Rn−2 ρ + + ρ ) n n−1 h h h (2.12) (2.13) Từ đây, ta có nhận xét : max |yn | ≤ max |Rhn |.(|y0 | + hN max |ρn |) 0≤n≤N (2.14) Vậy ta xây dựng chuẩn ∥uh ∥Uh ∥fh ∥Fh không gian Uh , Fh : ∥uh ∥Uh = max |yn |, { } ∥fh ∥Fh = max |y0 |, max |ρn | (2.15) (2.16) Khi đó, 2.14 trở thành : ∥uh ∥Uh = max |Rhn |.2.∥fh ∥Fh (vì hN = 1) 0≤n≤N (2.17) Vậy ta cần chứng minh ổn định thông qua dãy số ∥Rhn ∥ bị chặn theo h, tức : |Rhn | ≤ C, n = 1, 2, , N Thật vậy, ta có : Rhn ≤ (1 − Ah)n ≤ (1 − Ah)N ≤ e|A| = C, ∀n = 1, 2, , N Suy đpcm Vậy qua đây, ta thấy : Tất lược đồ sai phân đưa dạng tắc để cơng việc chứng minh ổn định trở lên gọn gàng nhiều Tuy nhiên, theo trường hợp cụ thể yn , Rh , ρn viết lại biểu thức khác 9 2.3 Điều kiện đủ ổn định Qua mục 2.2, ta rút : việc xây dựng chuẩn cho khơng gian tuyến tính Uh , Fh thông qua việc xây dựng ∥Rhn ∥, ∥yn ∥, ∥ρn ∥ khơng gian tuyến tính Y quan trọng để chứng minh tính bị chặn ∥Rhn ∥ (Hay ước lượng nó) Một cách tổng qt, giả sử khơng gian tuyến tính Y tồn chuẩn ∥.∥ từ hệ ??, theo định nghĩa 1.2.2 ta có : ( ) ∥yn ∥Y ≤ ∥Rhn ∥Y ∥y0 ∥Y + h ∥Rhn−1 ∥Y ∥ρ0 ∥Y + + ∥ρn−1 ∥Y (2.18) Suy : ) ( max ∥yn ∥Y ≤ max 0≤n≤N 0≤n≤N ∥Rhn ∥Y ∥y0 ∥Y + N h max ∥ρn ∥Y 0≤n≤N Từ đây, ta xây dựng chuẩn Uh , Fh thoả mãn điều kiện :   ∥uh ∥Uh ≤ C2 max0≤n≤N ∥yn ∥Y       ∥y0 ∥Y ≤ C2 ∥fh ∥Fh       ∥ρ ∥ ≤ C ∥f ∥ n Y (2.19) (2.20) h Fh Vậy để lược đồ 2.12 ổn định : ∥uh ∥Uh ≤ C.∥fh ∥Fh ⇐ ∥Rhn ∥Y ≤ C3 , n = 1, 2, , N (2.21) Định lý 2.3.1 Lược đồ 2.12 ổn định điều kiện đủ ∥Rhn ∥Y ≤ C3 , n = 1, 2, , N với C = 2C22 C3 tức : chuẩn lũy thừa toán tử Rh phải bị chặn theo h Chứng minh : Theo 2.19 2.20, ta có : ∥uh ∥Uh ≤ C2 max ∥yn ∥Y 0≤n≤N ≤ C2 max ∥Rhn ∥ (C2 + C2 ) ∥fh ∥Fh 0≤n≤N ≤ C2 C3 2C2 ∥fh ∥Fh ≤ 2C22 C3 ∥fh ∥Fh Vậy : ∥uh ∥Uh ≤ C.∥fh ∥Fh , với C = 2C22 C3 (2.22) 10 2.4 Phương pháp sử dụng tốn tử Rh ví dụ 2.4.1 Phương pháp • Bước : Chuyển lược đồ dạng tắc 2.12 • Bước : Định nghĩa chuẩn ∥uh ∥Uh , ∥fh ∥Fh , ∥Rh ∥Y , ∥ρn ∥Y , ∥, ∥y0 ∥Y • Bước : Chứng minh ∥Rhn ∥Y ≤ C, n = 1, 2, , N − 2.4.2 Ví dụ Ví dụ 2.4.1 Khảo sát ổn định lược đồ giải toán 2.2 Ta xây dựng lược đồ sai phân sau :  vn+1 −   + Avn + Bwn = pn   h      wn+1 − wn + Cvn + Dwn = qn , n = 0, 1, , N −   h       v = a, w = b 0 Ta viết lại dạng hệ thức truy toán sau : ] [ ] [  v v n+1 n   ( )[ ] [ ] −    wn+1 wn A B v p  n n   + =  h C D wn qn    [ ] [ ]    v a   =   w b (2.23) n = 0, 1, , N − ( ) A B đó, ma trận vuông cấp Quy đồng hệ số h ta : C D ] [ ] )[ ] ( [  p − Ah − Bh v v n n n+1   +h =   qn wn −Ch − Dh   wn+1 ] [ ] [    a v0    =  w0 b Vậy ta đưa dạng tắc 2.12 cách đặt : ] ] ( ) [ [ − Ah − Bh pn , Rh = , ρn = yn = qn wn −Ch − Dh 11 hệ trở thành : yn+1 = Rh yn + hρn , y0 = const Bây giờ, ta định nghĩa chuẩn sau : [ ] { } ∥uh ∥Uh = = max max |vn |, max |wn | , wn   pn  qn  { }  = max |a|, |b|, max |pn |, max |qn | , ∥fh ∥Fh =   a  b [ ] (1) { } yn ∥yn ∥Y = = max |yn(1) |, |yn(2) | (2) yn Ở đây, Y không gian vector Vậy ta xét toán tử tuyến tính ( Y sau : T = có chuẩn : t11 t21 t12 t22 ) { } ∥T ∥ = max |t11 | + |t12 |, |t21 | + |t22 | Vậy: [ max ∥T x∥Y = ∥T ∥Y ⇔ x = ∥x∥=1 1 ] [ x = (2.24) −1 ] Áp dụng 2.24 cho chuẩn ∥Rh ∥Y , ta : ( ∥Rh ∥Y = − Ah − Bh −Ch − Dh ) { } ≤ max |1−Ah|+|Bh|, |1−Dh|+|Ch| Y = + C ′h Khi đó, ′ ∥Rhn ∥Y ≤ ∥Rh ∥nY ≤ (1 + C ′ h)N ≤ eC = M, n = 1, 2, , N (đpcm) Ví dụ 2.4.2 Xét lược đồ sai phân xấp xỉ toán 2.1 cấp h2 :   un+1 − un−1 + Au = φ n n 2h n = 1, 2, , N − u = α, u = β với α = a, β = (1 − Ah)a + hφ0 (2.25) 12 Ta viết lại 2.25 sau :    un+1 = un−1 − 2Ahun + 2hφn u1 = β   u0 = α Nếu ta có : [ y0 = u1 u0 ] [ = β α ] [ = (1 − Ah)a + hφ0 a ] Thì ta đặt : [ yn+1 = un+1 un ] [ = un−1 − 2Ahun + 2hφn un ] ( [ )[ ] ] −2Ah un 2φn = +h un−1 ) [ ] [ ] ( 2φn (1 − Ah)a + hφ0 −2Ah , ρn = , y0 = Rh = 0 a Khi đó, 2.25 có dạng tắc Ta tiếp tục xây dựng chuẩn sau : ∥uh ∥Uh = max |un | ∥ρn ∥Y = max |2φn |   φn { } ∥fh ∥Fh =  α  = max |α|, |β|, max |φn | 0≤n≤N −1 β [ ] (1) { } yn ∥yn ∥Y = = max |yn(1) |, |yn(2) | (2) yn Các chuẩn thỏa mãn 2.20 nên ta xét : ( ) n −2Ah n n ≤ (1+2|A|h)n ≤ e2|A| , ∥Rh ∥Y ≤ ∥Rh ∥Y = Y n = 1, 2, , N −1 Vậy lược đồ ổn định Ví dụ 2.4.3 Khảo sát ổn định lược đồ sai phân sau xấp xỉ toán 2.3 :  un+1 − un−1 un+1 − 2un + un−1   +A + Bun = φn   h 2h (2.26)   u − u   u0 = a, = b, n = 1, 2, , N − h 13 Trước tiên, ta quy đồng 2.26 :  − Ah 2h2 2(2 − Bh2 )   u = u − u + φn  n n−1 n+1  + Ah + Ah + Ah     (2.27) un = un         u0 = a, u1 = a + bh Khi đó, ta hệ thức truy toán sau :     2h − 2Bh2 − Ah  [ ] [ ]  φ    + Ah   + Ah n  un+1 u + Ah n    = + h    u   u  n n−1      [ ] ] [    u a + bh   =   u a Dựa vào ta đặt : [ yn = (1) yn (2) yn ] [ = un un−1  − 2Bh2  + Ah Rh =   ]  − Ah + Ah     2h φn   ρn =  + Ah   Vậy ta đưa 2.26 dạng tắc Ta tiếp tục đặt chuẩn : ∥uh ∥Uh = max |un |  ∥fh ∥Fh =  φn  a  b { } = max |a|, |b|, max |φn |     14 Tương tự 2.24, ta có : { ∥Rh ∥Y = max } { } Bh2 Bh2 , ≈ max + | |, 1− + Ah + Ah { ≈ max =1+| } − 2Bh2 Ah − + ,1 + Ah + Ah Bh2 |>1 + Ah Vậy : ∥Rhn ∥Y ≈ ∥Rh ∥nY → ∞ Khi lược đồ sai phân khơng ổn định Rõ ràng, ta nhận thấy : Việc chọn chuẩn cho Rhn , ρn , yn không gian Y ảnh hưởng trực tiếp đến kết ổn định lược đồ Để khắc phục điều này, ta chọn chuẩn thông qua phép biến đổi tuyến tính Giả sử ta có phép biến đổi tuyến tính T : T.yn+1 = T.Rhn yn + T.hρn = T.Rhn T −1 T.yn + h.T.ρn Vậy : { ′ ′ ′ ′ yn+1 = Rh yn + h.ρn y0′ = const với ′ ′ ′ yn = T.yn , Rh = T.Rhn T −1 , ρn = T.ρn Việc chọn phép biến đổi tuyến tính T, ta dựa vào giả thiết sau : [ Giả sử ta có y0 = u1 u0 ] không thỏa mãn Định lý 2.3.1 Khi đó, ta xét ′ [ y0 = Suy : a b ( T = [ ] = h u0 u1 − u0 h 1 − h ] [ =T ) ( ,T −1 = u1 u0 1 ] = T y0 h ) 15 Vậy   ′ Rh = T Rh T −1 =   −2Bh + Ah  ′  ρn =   h   − Ah − 2Bh  + Ah    φn + Ah Vẫn xét chuẩn khơng gian Y 2.24 thỏa mãn Định Lý 2.3.1 Khi : ∥Rhn ∥ ≤ ∥Rh ∥nY ≤ |1 + Ch|N ≤ eC với : { 1+Ch ≥ max 1+h, { 2Bh 2(|B| + |B|h) } − Ah − 2Bh2 } + = max 1+h, 1+ h + Ah + Ah + |A|h Chương Ứng dụng tập Cho lược đồ sai phân giải toán vi phân : { u′ + Au = φx u0 = a Chứng minh ổn định tìm số C định nghĩa ổn định : ∥uh ∥Uh ≤ C∥fh ∥ lược đồ sau : Lược đồ 3.1   un+1 − un + A(nh)u = φ , n n h u = a, n = 0, 1, , N − Với |A(x)| ≤ M = cons { } Các chuẩn ∥uh ∥Uh = max |un |, ∥fh ∥F h = max |a|, max |φn | Lược đồ 3.2  un+1 − un   + Aun+1 = φn  h u0 = a   A = const Ba điều kiện 2.20 thỏa mãn với C2 = Lược đồ 3.3 [ ]   un+1 − un + A un+1 + un = φ (n + )h h 2  u0 = a, n = 1, 2, , N − 16 (3.1) 17 Chứng minh : 3.1 Ta có : { un+1 = (1 − A(nh)h) un + hφn u0 = a Đặt : n = 0, 1, , N − (3.2)    y n = un Rh = − A(nh)   ρn = φ n Khi đó, 3.2 có dạng tắc Ta xây dựng chuẩn khơng gian Uh , Y Fh sau : ∥uh ∥Uh = max |un |, 0≤n≤N ∥fh ∥Fh = { } = max |a|, max |φn | φn a 0≤n≤N ∥yn ∥Y = max |un | ∥ρn ∥Y = max |φn | Vậy chuẩn thỏa mãn điều kiện 2.20, : ∥Rhn ∥Y = |(1 − A(nh).h)n | ≤ |1 − A(nh).h|n ≤ 1− A(nh) N N ≤ e|A(nh)| ≤ eM = C3 Suy : lược đồ ổn định với C = 2C22 C3 = 2.12 eM = 2eM 3.2 Ta có :  u n+1 = u = a Đặt : φn un + h + Ah + Ah (3.3)   y n = un         Rh = + Ah        φn  ρ n = + Ah Khi : 3.3 có dạng tắc Ta định nghĩa chuẩn khơng gian Uh , Fh , Y sau : 18 ∥uh ∥Uh = max |un |, 0≤n≤N ∥fh ∥Fh = φn a { } = max |a|, max |φn | 0≤n≤N ∥yn ∥Y = max |un | φn max |φn | = ∥ρn ∥Y = max + Ah |1 + Ah| Theo giả thiết, ta có chuẩn thỏa mãn 2.20 với C2 = nên : • Nếu |a| ≤ max |φn | : ∥fh ∥Fh = max φn ≥ max |φn | |1 + Ah| Vậy : |1 + Ah| ≥ ⇔ ∥Rhn ∥Y = 1 ≤ ≤1 |1 + Ah|n |1 + Ah| • Nếu |a| ≥ max |φn | : ∥fh ∥Fh = a Khi : max φn a = ≤ a ⇔ |1 + Ah| ≥ ⇔ ∥Rhn ∥Y ≤ |1 + Ah| |1 + Ah| Kết luận : lược đồ ổn định với C = 2.12 = 3.3 Ta có : Đặt : yn = ) ] [( ( ) h φ n+ − Ah un n+1 = +h 2 + Ah 2 + Ah    u0 = a    u un , Rh = − Ah , + Ah [( ) ] φ n+ h ρn = + Ah Khi : 3.4 có dạng tắc Bây ta đặt chuẩn sau : ∥uh ∥Uh = max |un |, 0≤n≤N [( ) ] φ n+ h ∥fh ∥Fh = a [( ) ] } = max |a|, max φ n + h { ∥yn ∥Y = max |un | [( [( ) ] ) ] 1 φ n+ max φ n + h h 2 = ∥ρn ∥Y = max + Ah |2 + Ah| (3.4) 19 Các chuẩn thỏa mãn điều kiện 2.20 với C2 = Khi : n N − Ah 2A 2|A| ≤ 1− h ≤ (1 + h)N + Ah + Ah |2 + Ah| 2|A| ≤ e |2 + Ah| ≤ e2|A| ( C2 = nên |2 + Ah| ≥ 1) |Rhn | ≤ Vậy lược đồ ổn định : C = 2e2|A| LỜI CẢM ƠN Vì khn khổ tiểu luận có hạn, thời gian thực ngắn, nên tiểu luận trình bày vấn đề lược đồ sai phân Rút phương pháp để giải toán Cauchy lược đồ sai phân Dù cố gắng có lẽ khơng tránh số sai sót định Chúng em mong thầy bạn có sửa đổi, đóng góp để Tiểu luận trở nên đắn xác Xin chân thành cảm ơn thầy Lê Hải Trung tận tình giảng dạy ngày qua, tác giả sách Sai Phân mang đến cho chúng em nhiều kiến thức hữu ích để hoàn thành tiểu luận Học viên K25 Nhóm Tài liệu tham khảo [1] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp Phương trình sai phân số ứng dụng, NXBGD, 21 Mục lục Lời giới thiệu i Các kiến thức liên quan 1.1 1.2 Lược đồ sai phân phương trình vi phân thường 1.1.1 Khái niệm lược đồ 1.1.2 Cấp xác lược đồ 1.1.3 Tốc độ hội tụ nghiệm sai phân 1.1.4 Cấp xấp xỉ Sự ổn định lược đồ sai phân 1.2.1 Khơng gian tuyến tính định chuẩn 1.2.2 Sự hội tụ lược đồ sai phân 1.2.3 Định nghĩa ổn định lược đồ sai phân Tiêu chuẩn đủ ổn định lược đồ sai phân giải toán Cauchy 2.1 Phương pháp tổng quát khảo sát ổn định lược đồ sai phân 2.2 Dạng tắc lược đồ sai phân 2.3 Điều kiện đủ ổn định 2.4 Phương pháp sử dụng tốn tử Rh ví dụ 10 2.4.1 Phương pháp 10 2.4.2 Ví dụ 10 Ứng dụng tập 16 Lời cảm ơn 20 Tài liệu tham khảo 21 22