Luận văn tốt nghiệp phương pháp sai phân giải gần đúng phương trình vi phân tuyến tính

Mục lục Lời nói đầu Chơng Khái niệm mở đầu phơng pháp sai phân 1.1 Mở đầu 1.2 Khái niệm toán biên 1.3 Bài toán vi phân 1.4 Lới sai phân 1.5 Hàm lới . 1.6 Đạo hàm lới 1.7 Qui íc viÕt v« cïng bÐ ……………………………………………… 1.8 C«ng thức Taylor 1.9 Liên hệ đạo hàm đạo hàm lới 1.10 Phơng pháp sai phân 1.11 Giải toán sai phân phơng pháp truy đuổi 1.11.1 Phơng pháp truy đuổi từ phải 10 1.11.2 Phơng pháp truy đuổi từ trái 11 1.12 Sự ổn định toán sai phân 12 1.13 Sự xấp xỉ …………………………………………………………… 12 1.14 Sù héi tô …………………………………………………………… 13 1.15 Trêng hợp điều kiện biên loại ba 14 Chơng Phơng pháp sai phân giải gần phơng trình vi phân cấp bốn 18 2.1 Bài toán vi phân 18 2.2 Lới sai phân 19 2.3 Hàm lới 19 2.4 Đạo hàm lới 19 2.5 Phơng pháp sai phân 20 2.6 Cách giải toán sai phân 27 2.6.1 Phơng pháp lặp Seidel co dÃn 27 2.6.2 Phơng pháp truy đuổi 28 2.6.2.1 Phơng pháp truy đuổi từ phải 28 2.6.2.2 Phơng pháp truy đuổi từ trái 31 2.6.2.3 Sự ổn định 34 2.7 Sự xấp xỉ 37 2.8 Sự ổn định toán sai phân 37 2.9 Bài toán sai phân sai số 49 2.10 Sự héi tơ vµ sai sè ………………………………………………… 50 Phơ lơc ……………………………………………………………… 58 Tài liệu tham khảo 84 Lời nói đầu Trong lĩnh vực toán ứng dụng thờng gặp nhiều toán có liên quan tới phơng trình vi phân thờng Việc nghiên cứu phơng trình vi phân thờng đóng vai trò quan trọng lý thuyết toán học Nhiều tợng khoa học kỹ thuật dẫn đến toán biên phơng trình vật lý toán Giải toán đến đáp số số yêu cầu quan trọng cđa thùc tiƠn Trong mét sè Ýt trêng hỵp, thËt đơn giản việc làm đợc nhờ vào nghiệm tờng minh toán dới dạng công thức sơ cấp, tích phân chuỗi hàm Còn đại đa số trờng hợp khác, đặc biệt toán có hệ số biến thiên, toán phi tuyến, toán miền nghiệm tờng minh toán có nhng phức tạp Chính phải nhờ tới phơng pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần Do nhu cầu thực tiễn phát triển lý thuyết toán học, nhà toán học đà tìm nhiều phơng pháp để giải gần phơng trình vi phân thờng (các phơng pháp giải tích nh phơng pháp chuỗi Taylo, phơng pháp xấp xỉ liên tiếp Pica, phơng pháp số nh phơng pháp bớc, phơng pháp Ađam, phơng pháp Runghe-Kuta,) Đề tài: "Phơng pháp sai phân giải gần phơng trình vi phân tuyến tính" Trong phạm vi đồ án mình, em xin trình bày phơng pháp gần để giải phơng trình vi phân cấp bốn tổng quát phơng pháp sai phân Đây hai lớp phơng pháp gần quan trọng đợc nghiên cứu nhiều phơng pháp sai phân phơng pháp phần tử hữu hạn Cả hai phơng pháp tìm cách đa toán đà cho toán đại số, thờng hay nhiều hệ đại số tuyến tính Trong phơng pháp miền ta tìm nghiệm phơng trình thờng đợc phủ lới gồm số hữu hạn điểm (nút), đạo hàm phơng trình đợc thay sai phân tơng ứng giá trị hàm nút lới Em xin cám ơn thầy Lê Trọng Vinh đà tận tình hớng dẫn em thời gian làm đồ án vừa qua Hà nội Sinh viên thực Nguyễn Đức Dũng Chơng Khái niệm mở đầu phơng pháp sai phân 1.1 Mở đầu Trong chơng để trình bày khái niệm phơng pháp sai phân ta xét toán biên phơng trình vi phân cấp hai 1.2 Khái niệm toán biên Bài toán biên có phơng trình vi phân cấp lớn hai điều kiện bổ sung đợc cho nhiều điểm Chẳng hạn toán biên phơng trình vi phân tuyến tÝnh cÊp hai cã d¹ng:  p( x) y ( x)   q( x) y ( x)  f ( x) y (a )  ; y (b)  a xb Bài toán đợc gọi toán biên loại Nếu điều kiện biên y (a) ; y (b) đợc thay điều kiện biên: p (a ) y ( a)   y (a )  ; p (b) y (b)   y (b)   ta có toán biên loại ba 0;  0;     Cßn nÕu   0 ta có toán biên loại hai Trong thực tế ta gặp toán mà x a x b có điều kiện biên khác (chẳng hạn x a ta có điều kiện biên loại x b ta có điều kiện biên loại hai ba) ta có toán biên hỗn hợp Sau ta xem xét khái niệm phơng pháp sai phân thông qua toán biên loại 1.3 Bài toán vi phân Cho hai sè tháa m·n: a vµ b víi a< b Tìm hàm y= y( x ) xác định t¹i a< x không phụ thuộc h cho: |(h)|Mh ta viÕt: ρ(h )=Ο(h α ) ViÕt nh trªn cã nghĩa là: h nhỏ (h) đại lợng nhỏ (h) tiến đến số không chậm Mh h0 1.8 Công thức Taylor Ta nhắc lại công thức Taylor công thức quan trọng đợc sử dụng để xấp xỉ toán vi phân toán sai phân Giả sử F( x) hàm số xác định có đạo hàm đến cấp m+1 khoảng ( , ) chứa x x+ xx , xx dơng hay âm Khi theo công thøc Taylor ta cã: m m +1 ( Δxx ) ' ' ( Δxx ) ( m) ( Δxx) F( x +Δxx )=F ( x )+Δxx F ( x )+ F ( x )+ + F (x )+ F( m+1) (c ) (1 ) 2! m! (m+1)! ' c điểm khoảng từ x đến x+ xx c=x +xx với 00 xx0 Tức tồn số không phụ thuộc vµo Δxx cho: (m+1) ( Δxx ) (m+1) (m+1) | F (c)|≤K ( Δxx) (m+1)! C«ng thøc Taylor ë viết gọn nh sau: ( xx )2 ' ' ( Δxx )m ( m) F( x +Δxx )=F ( x )+Δxx F ( x )+ F ( x )+ + F (x )+ Ο(( Δxx )( m+1) ) 2! m! ' 1.9 (1 ) Liên hệ đạo hàm đạo hàm lới Giả sử hàm y( x) đủ trơn Theo công thức Taylor (1.4) ta cã: y ( x i+1 )= y ( x i +h )= y ( x i )+h y ' ( x i )+Ο(h ) Ta suy y xi = y ( x i + )− y ( xi ) ' = y ( xi )+Ο ( h )( ) h y ( x i−1 )= y ( xi −h )= y ( x i )−h y ' (x i )+Ο(h2 ) y x i= y ( x i )− y ( xi − ) = y ' ( x i )+Ο ( h )( ) h Ngoµi víi qui íc: x i+ =xi + h , y i+ = y ( xi +1 ) 2 Ta cßn cã h h ' h '' y( x i+1 )= y( x i+1 + )= y ( x i+1 )+ y ( x i+1 )+ y ( x i+1 )+Ο(h ) 2! 2 2 2 h h h '' y( x i )= y (x i+ − )= y ( xi +1 )− y ' (x i+ )+ y ( x i+1 )+Ο(h3 ) 2! 2 2 2 () () Ta suy y ( x i+1 )− y ( x i )=h y ' ( x i + )+Ο(h ) Do ®ã y xi= y ¯x i +1 = y ( xi + )− y ( x i ) = y ' ( x )+Ο ( h2 )( ) i+ h §ång thêi y ( x i + )+ y ( x i ) = y ( xi + )+Ο ( h )( ) 2 1.10 Phơng pháp sai phân Ta tìm cách tính gần giá trị nghiệm y( x i ) nút x i h Gọi giá trị gần v i Muèn cã v i ta thay bµi toán vi phân (1.1)(1.2) toán sai phân: Lh v ≡−( av ¯ x )xi +q i v i =f i ( ) v =α , v N = β ( 10 ) ®ã: = p( x i− h ) , qi= q( x i ) , f i= f ( x i ) 1.11 Giải toán sai phân (1.9) (1.10) ph (1.10) phơng pháp truy đuổi Viết cụ thể toán (1.9)(1.10) ta có: v i−1−(ai +ai+1 +h2 q i )vi + ai+1 v i+1=−h2 f i , i=1,2, , N −1(1 11) v =α , v N =β (1 12) §ã hệ đại số tuyến tính dạng ba đờng chéo giải phơng pháp truy đuổi Xét hệ ba đờng chéo tổng quát: A i y i1 −Ci y i + Bi y i +1=− F i , i=1,2, , N −1( 13) y =m y +n1 , y N =m y N −1 +n ( 14 ) ®ã: A i >0 , Bi > , D i=C i− A i− Bi ≥0 ( 15 ) 0≤m1 ≤1 , 0≤ m2 ≤1 , m1 + m 0 ⇒0< α 2= B1 ≤1 C 1− A Một cách tơng tự, giả sử 0< α i ≤1, i=2, , k Ta chứng minh với i=k +1 Điều rõ ràng 0< k +1 = Bk C k − Ak α k = Bk ( C k− A k −B k ) + B k + ( 1−α k ) A k ≤1 Ta suy ra: Ci − Ai α i≥ A i + Bi− A i α i =Bi + ( 1−α i ) A i > Bi >0 , i Giả thiết định (1.15)(1 16 ) điều kiện đảm bảo cho công thức truy đuổi ổn Với điều kiện (1.19) (1.18) cho: y i= Bi A β +F y i+1 + i i i C i− A i α i C i− A i α i