Cđ13 2 các đường đồng quy trong tam giác

BÀI 3: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC A Kiến thức cần nhớ A Định nghĩa: Đường trung trực tam giác đường trung trực cạnh tam giác  với tam giác có ba đường trung trực O - Nếu tam giác tam giác cân: Đường trung trực cạnh đáy đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đường phân giác C B A đỉnh Tính chất - Trong tam giác đường trung trực đồng quy điểm O - Giao điểm O ba đường trung trực ABC cách ba B đỉnh A , B , C : OA OB OC C - Điểm O gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác B Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh A AB lấy điểm E , cạnh AC lấy điểm F cho BE CF E F a Chứng minh tam giác AEF tam giác cân K H b Tại trung điểm H BE trung O điểm K CF vẽ đường trung trực B đoạn thẳng BE CF , chúng cắt O Chứng minh rằng: AOH AOK c Chứng minh AO đường phân giác góc BAC , đường trung trực đoạn thẳng EF , BC Lời giải C a Theo giả thiết AB  AC , BE CF  AB  BE  AC  CF  AE  AF  AEF cân A b Từ BE CF  EH FK  AE  EH  AF  FK  AH  AK  AOH AOK  OH OK (*) ˆ c Hệ thức (*) chứng tỏ O thuộc phân giác góc A hay AO phân giác BAC - Chứng minh : AOE AOF  OE OF  O thuộc đường trung trực EF - AOB AOC  OB OC  O thuộc đường trung trực BC AB  AC   A AE  AF  Lại có : thuộc đường trung trực BC EF Suy AO đường trung trực EF BC Bài 2: Cho tam giác ABC (AC > AB) Qua trung A điểm D cạnh BC vẽ đường thẳng vng góc với đường phân giác góc A, cắt đường thẳng AB E, cắt F AC F Qua B vẽ Bx song song với AC, Bx cắt EF M B H a Chứng minh tam giác AEF BEM cân D M b Chứng minh : BE = CF E c Đường trng trực BC cắt tia phân giác O góc A O Chứng minh: OCF OBE Lời giải a Gọi H giao điểm đường phân giác góc A với EF - Chứng minh AHE AHF ( gcg )  AEF ˆ ˆ Cân A AEF  AFE (1) ˆ ˆ ˆ ˆ mặt khác BM // AC  BME  AFE (2)  BEM BME  BEM cân B  BE BM (*) b Chứng minh được: BDM CDF ( gcg )  BM CF (**) c Ta chứng minh AH đường trung trực EF O điểm thuộc đường trung trực EF, : OE OF (3) C O điểm thuộc đường trung trực BC, : OB OC (4) Ta lại có: BE = CF (5) Từ (3)(4)(5)  OCF OBE (ccc) Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A Cˆ 30 B Vẽ đường trung trực đoạn AC cắt AC H BC D nối AD D a Chứng minh tam giác ABD E K b Kẻ phân giác góc B cắt AD K cắt A DH kéo dài I Chứng minh I tâm H C đường tròn qua đỉnh tam giác ADC F c Vẽ IE  DC; IF  AB kéo dài Chứng I minh : IE IF IK Lời giải 0 a Tam giác ABC vng A, có Cˆ 30  Bˆ 60 mặt khác D thuộc đường trung trực AC nên DA = DC - Vì tam giác ABC vng A nên: DA = DB  BDA cân Bˆ 60  ABD b Ta có ID thuộc đường trung trực AC nên IA = IC (1) Lại có tam giác ABD nên phân giác BI đường trung trực AD  IA ID(2) Từ (1)(2)  IA IB IC  I tâm đường tròn qua ba đỉnh tam giác ACD c Tam giác ACD cân, có DI đường trung trực nên đường phân giác góc ADC nên IE = IK, mặt khác I thuộc phân giác góc ABD nên IE = IF  IE IF IK Bài 4: Cho góc nhọn xOy điểm P nằm góc Từ P kẻ đường vng góc PA, PB x A xuống Ox, Oy Gọi I giao điểm P ba đường trung trực PAB Chứng minh I trung điểm đoạn OP I' O B y Lời giải Gọi I’ trung điểm OP - Trong tam giác vuông OAP  I ' A I ' P I ' O - Trong tam giác vuông OBP  I ' B I ' P I ' O  I ' A  I ' B I ' P  I I '  I trung điểm OP Bài 5: Cho ABC vuông A Vẽ AH  BC H , A ˆ ˆ tia phân giác góc HAB, HAC cắt BC M, N Chứng minh giao điểm ba đường trung trực AMN cách I ba cạnh tam giác B M H N C Lời giải ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Ta có: N1  A1  C  A3  A4  A2  BAH BAN  ABN cân B  phân giác Bˆ đường trung trực AN Tương tự: Phân giác Cˆ đường trung trực AM Bài 6: Cho góc nhọn xOy Hai điểm A, B di động y thuộc Ox, Oy cho tổng OA + OB = H m không đổi Chứng minh đường z B trung trực AB qua điểm cố I định O K A x Lời giải - Xét trường hợp OA OB ˆ Gọi I giao điểm đường trung trực d AB với tia phân giác Oz xOy Kẻ OH  Oy; OK  Ox  IBH IAK  BH  AK Giả sử B nằm H O nên K nằm O A  OK  OH OK  OB  BH OA  OB m m  OH OK  (khong doi )  K , H điểm cố định  I cố định - Xét trường hợp OA OB  d Oz qua I BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho ABC , hai đường cao BD CE Gọi A M trung điểm BC Em chọn câu D sai: E A BM MC B ME MD B C DM MB M C D M không thuộc đường trung trực DE Lời giải Vì M trung điểm BC (gt) suy BM MC (tính chất trung điểm), loại đáp án A Xét BCE có M trung điểm BC (gt) suy EM trung tuyến  EM  BC  1 (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng cới cạnh huyền nửa cạnh ấy) Xét BCD có M trung điểm BC (gt) suy DM trung tuyến  DM MB  BC  2 (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng cới cạnh huyền nửa cạnh ấy) nên loại đáp án C Từ  1    EM DM  M thuộc đường trung trực DE Loại đáp án B, chọn đáp án D Chọn đáp án D Bài 2: Cho ABC có AC  AB Trên cạnh AC lấy A điểm E cho CE  AB Các đường trung trực BE AC cắt O Chứng E minh: AOB COE B C O Lời giải Xét tam giác AOB COE có OA OC (vì O thuộc đường trung trực AC ) OB OE (vì O thuộc đường trung trực BE ) AB=CE (giả thiết) Do AOB = COE  c  c  c  Bài 3:  Cho ABC A 100 Các đường A trung trực AB AC cắt cạnh BC theo  thứ tự E F Tính EAF B Lời giải     Ta có EA EB nên A1 B , FA FB nên A3 C        Do A1  A3 B  C 180  100 80     Suy A2 100  80 20   Vậy EAF 20 Bài 4: E F C Cho ABC vuông A , kẻ đường cao AH B Trên cạnh AC lấy điểm cho AK=AH H Kẻ KD  AC ( D  BC ) Chứng minh rằng: D a) AHD  AKD b) AD tia phân giác góc HAK A c) AD đường trung trực đoạn thẳng C K HK Lời giải a) Xét tam giác vuông AHD tam giác vng AKD có: AH  AK (gt) AD chung suy AHD AKD (ch-cgv)   b) Từ ta có HD  DK ; HAD DAK suy AD tia phân giác góc HAK c) Ta có AH  AK  gt  HA DK  cmt  suy AD đường trung trực đoạn thẳng HK Bài 5: Cho tam giác ABC có đường phân giác AK B góc A Biết giao điểm đường phân giác tam giác ABK trùng với giao K điểm ba đường trung trực tam giác O ABC Tìm số đo góc tam giác ABC A C Lời giải Gọi O giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC Theo đề bài, O giao điểm ba đường trung trực tam giác ABC Vậy OA OB OC tam giác AOB, AOC , BOC tam giác đỉnh O    Đặt AOB a  ABC 2a KAB 2a   Vì AK đường phân giác góc BAC nên KAB 2a BAC 4a Ta có: AOB COB  AB CB   Vậy tam giác ABC cân đỉnh B  BAC BCA Khi ta có 2a  4a  4a 180  10a 180  a 18    Vậy số đo cách góc tam giác ABC A C 72 , B 36 Bài 6: Trên ba cạnh AB, BC CA tam giác B ABC , lấy điểm theo thứ tự M , N , P P cho AM BN CP Gọi O giao điểm M ba đường trung trực tam giác ABC O Chứng minh O giao điểm ba A N C đường trung trực tam giác MNP Lời giải Theo giả thiết O giao điểm ba đường trung trực tam giác ABC nên ta có: OA OB OC ⇒ Các tam giác AOM , BON , COP có AM BN CP (gt) ABC tam giác nên đường trung trực đường phân giác 1 1 1 A B C 2 OA OB OC Do đó: AOM BON COP (c-g-c)  OM ON OP (các cạnh tương ứng) Hay O giao điểm ba đường trung trực tam giác MNP Bài 7: Nếu tam giác có đường trung tuyến A đồng thời đường trung trực ứng với cạnh tam giác tam giác B cân H Lời giải Xét tam giác ABC với AH đường trung tuyến đồng thời đường trung trực C nên AH  BC HB HC Xét hai tam giác vuông HAB HAC , có HB HC (gt) AH cạnh chung nên HAB HAC (c-g-c)  AB  AC (hai cạnh tương ứng) Vậy ABC cân A Bài 8: Cho hình 51: Chứng minh ba điểm B, C , D B thẳng hàng    Gợi ý: Chứng minh ADB  ADC 180 D I A Lời giải Từ hình vẽ ta có: DK đường trung trực AC  DA  DC DI đường trung trực AB  DA  DB Ta có: DI // AC (vì  AB )   Mà DK  AC  DK  DI  IDK 90 Xét ADK CDK có: AD DC (chứng minh trên) AK CK  gt  DK chung   ADK CDK (c-c-c)  ADK CDK (hai góc tương ứng)    ADC  ADK  KDC 2 ADK (1) Xét ADI BDI có: AD BD (chứng minh trên) AI BI  gt  DI chung 10 K C  MN MF  FN  MN 13(cm) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: 19 Cho tam giác ABC không vuông Gọi H A trực tâm a) Hãy đường cao tam giác HBC Từ trực tâm tam F giác D H b) Tương tự, trực tâm tam giác HAB HAC B H C Lời giải Gọi D, E , F chân đường vng góc kẻ từ A, B, C ABC  AD  BC , BE  AC , CF  AB a) BHC có:  AD  BC nên AD đường cao từ H đến BC BA  HC F nên BA đường cao từ B đến HC CA  BH E nên CA đường cao từ C đến HB AD, BA, CA cắt A nên A trực tâm BHC b) Tương tự: + Trực tâm AHB C ( C giao điểm ba đường cao CF , AC , BC ) + Trực tâm AHC B ( B giao điểm ba đường cao BE , AB, CB ) Bài 2: 20