Chương 3hh quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác các đường đồng quy của tam giác hdg

Chương III §1 QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC CÁC BÀI TẬP MỞ ĐẦU Bài a) △ ABC có: AB  4cm; BC  6cm; CA  5cm  BC  CA  AB    C   BAC  CBA  ACB hay A  B (Định lý 1) b) △ ABC có: AB  9cm; AC  72cm 8,5cm; BC  8cm  AB  AC  BC   B   A  ACB  ABC  BAC hay C (Định lý 1) c) △ ABC có: Độ dài cạnh AB, BC , CA tỉ lệ nghịch với 2,3,  AB.2 BC.3 CA.4  AB BC CA   1  AB  BC  AC    A  B   ACB  BAC  ABC hay C (Định lý 1) d) Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác △ ABC vng B 2 Ta có: BA  BC  AC  19   BC 62 19  BC 36 BC 36  19 BC 17  BC  17 (cm) 4,13 (cm) △ ABC có: AB  19cm 4,35cm; BC  17cm 4,13cm; AC  6cm  AC  AB  BC   C   A  ABC  ACB  BAC hay B (Định lý 1) e) △ DEF có: DE DF  △ ABC cân D  F   E (t/c tam giác cân)  F  D  DE DF  EF  E (định lý 1)  E  F  1800 D (tổng góc tam giác)    2E  1800  D   2E   3E  1800  3E   D   E  3 600  E   D Mà   E  D  E   0 600  E    600  E   1 D   600     2E  1800  D  1800  E   1800  2.600 600   D D (Vì 60  E )   Từ (1) (2) suy ra: D  60  E (đpcm) f) △ GHI có: IG IH  △ GHI cân I  G   H (t/c tam giác cân)  G   I IG IH  GH  H (định lý 1)  H  1800 I  G (tổng góc tam giác)     1800  H   I 1800  3I  H   I 3 600  I  I  H Mà    I H   I  0 600  I   600  I  1 H 0   1800  H  180  I  180  60 600 I  H   600     H 2 (Vì 60  I ) 0   180  I  180 900  3 H  2 Mặt khác: (Vì I  ) 0   Từ (1), (2) (3) suy ra: 90  H  60  I (đpcm) Bài 2: a)   △ ABC có: A 45 ; B 55    Mà A  B  C 180 (tổng góc tam giác)  1800  C  1800   450  550  800  450  550  C 0  B   A C (Vì 80  55  45 )  AB  AC  BC (Định lý 2) b) 0 0  Vì góc ngồi đỉnh A 120  A 180  120 60   △ ABC có: A 60 ; B 54    Mà A  B  C 180 (tổng góc tam giác)  1800  C  1800   600  540  660  600  540  C 0   A  B  C (Vì 66  60  54 )  AB  BC  AC (Định lý 2) c) △ ABC cân A  C   B (t/c tam giác cân) A  B  C  1800 (tổng góc tam giác)  1800  A 1800  B   A  B 0 0     Mà A  60  180  B  60  120  B  B  60  C   A     B (Vì B C  60  A )  C   A △ ABC có B  AC  AB  BC (Định lý 2) d)    Vì A : B : C 2 : :  A B   C   A B   C A  B  C 1800     200 34 Theo tính chất dãy tỉ số nhau: (tổng góc tam giác)  A 2.200 400  3.200 600 B  4.200 800 C 0  B   A △ ABC có: C (Vì 80  60  40 )  AB  AC  BC (Định lý 2) e)  C  1800 △ ABC có: A  B (Tổng số đo góc tam giác = 1800)  C  1800  1100  B  C  700 B  1 ; Vì số đo góc B, C tỉ lệ nghịch với    C   B C  B 4    C  B C B 700    100 Theo tính chất dãy tỉ số nhau:   3.100 300  B  4.100 400 C 0  B  △ ABC có: A  C (Vì 110  40  30 )  BC  AB  AC (Định lý 2)  f) A 40 số đo góc B, C tỉ lệ với 3;  C  1800 △ ABC có: A  B (tổng góc tam giác)  C  1800  400  B  C  1400 B  Vì số đo góc B, C tỉ lệ với 3;4    B C     C  1400 B C B    200 Theo tính chất dãy tỉ số nhau:   3.200 600  B  4.200 800 C 0  B   A △ ABC có: C (Vì 80  60  40 )  AB  AC  BC (Định lý 2) Bài 3: Trong tam giác đối diện cạnh nhỏ góc nhọn Vì: Xét tam giác ABC    Khơng làm tính tổng qt, giả sử BC  AC  AB hay A  B  C  Khi đối diện cạnh nhỏ AB góc C ( C góc nhỏ nhất) 0       Ta có: A  B  C 180  C  C  C 180  1800  3C C 600   C góc nhọn Vậy đối diện cạnh nhỏ góc nhọn Bài 4: 0    Gt: △ ABC có B  45 ; 45  C  A  90 AD  BC D CE  AB E CE cắt AD H Kl: a) BD  DC b) So sánh HA HC Giải a)   △ ABC có: B  45 ; C  45 (gt)   450 △ ADC vng D có: C (gt)   CAD  450   CAD   C  AD>CD (1) (định lý 2)   450 △ ADB vng D có: B (gt)   DAB  450    DAB B  BD>AD (2) (định lý 2) Từ (1) (2)  BD  DC b) △ AEC vng E (Vì CH đường cao tam giác △ ABC )   ACE  CAE 900   ACE 900  CAE 900  A △ ADC vuông D (Vì AD đường cao tam giác △ ABC )   ACD  CAD 900    CAD 900  ACD 900  C   Mà C  A ( gt )    A  C   900  A  900  C   CAD  ACE   ACE △ ACH có CAD  CH  AH (định lý 2) Bài 5: Gt: △ ABC có góc A tù Trên cạnh AB lấy điểm D Trên cạnh AC lấy điểm E Kl: So sánh: a) CA, CD CB b) DE BC Giải a)   △ ADC có DAC góc tù nên CD>CA (1) ADC góc nhọn   Mà ADC BDC góc kề bù   BDC góc tù  △ BDC có BAC góc tù nên BC>DC (2) Từ (1) (2) suy CB>CD>CA b)   △ ADE có DAE góc tù nên AED góc nhọn   Mà AED DEC góc kề bù   DEC góc tù  △ DEC có DEC góc tù nên DC>DE Mặt khác: BC>DC (cmt)  BC  DE Bài 6: gt: △ ABC có AB  AC  BC Tia phân giác góc A cắt cạnh BC D tia phân giác góc B cắt cạnh AC E Tia phân giác góc A cắt cắt Tia phân giác góc B cắt I kl: So sánh: a) IA IB   b) AEB CEB c) DB DC Giải a) △ ABC có AB  AC  BC  B   A C (định lý 1)   A  B  1 1 B A 2   ABI  BAI  △ ABI có ABI  BAI  AI  BI (định lý 2) b)    △ ABC có BAC góc lớn (Do BC lớn nhất) nên ABC ; ACB góc nhọn    △ ABE có BAE góc lớn nên AEB góc nhọn   Mà AEB CEB góc kề bù   CEB góc tù    CEB > AEB c) Trên AC lấy điểm B ' cho A AB ' = AB Xét △ AB ' D △ ABD , có:  AB  AB '    BAD B ' AD  AD chung   △ ABD = △ AB ' D (c.g.c)  ' B   BD B ' D B     Ta có: B  C (gt)  B '  C   Xét △ B ' DC có B '  C  DC  B ' D  DC  BD (Vì BD B ' D ) Bài 7: Gt: △ ABC có M trung điểm BC; N trung điểm AC, AM cắt BN G;  MA tia phân giác góc BMx Mx cắt AC I Kl: chứng minh     a) Nếu C  B BAM  CAM     b) Nếu BAM  CAM C  B c) Nếu AM  BN BC  AC d) BM  MI Giải a) △ AMC có △ AMB có     A  M  C  1800  C  1800  A  M  1 A  M  B  1800  B  1800  A  M  2          1800  A1  M    180  A2  M Mà C  B M M   A  M   A2  M 1  A2  A1    BAM  CAM (đpcm) b)   ta có: BAM  CAM  A2  A1   A  M     A2  M 1 (Vì M M )        1800  A1  M  180  A2  M   B  C (đpcm) c) AM  BN G 0      △ AGN vng G, có A1  N 90  N 90  A1  △ GBM vuông G   GMB góc nhọn     GMC góc tù (Vì GMB GMC ) △ AMC có AMC góc tù   AMC  MAC  AC  MC (Định lý 2)  AC  BC (Vì M trung điểm BC)  2AC  BC (đpcm) d)    Ta có: M 180  ( A2  B )   1800  ( A  B  ) 1800  A  A  B  C    C   M    Mà: MIC  A1  M (Góc ngồi tam giác)  C     A1  M (Vì M M )  △ MIC có: I  C (cmt)  MC  MI (định lý 2) (đpcm) Bài 8: Gt: △ ABC có AB=AC; BD=DE=EC     Kl: Trong góc BAD, DAE , EAC góc DAE góc lớn Giải Trên tia đối tia EA, lấy F cho EA=FE △ ABC có AB=AC  △ ABC cân A Xét △ ABD △ ACE , ta có: AB=AC(gt)  C  △ ABC B ( tam giác cân A) BD=CE (gt)  △ ABD = △ ACE (c.g.c) cmtt △ DAE = △ ECF (c.g.c)      AD=AE=EF=CF (cặp cạnh tương ứng); EAC BAD (1); DAE EFC  △ ADE cân A  AED góc nhọn  AEC góc tù (Vì AEC góc ngồi đỉnh E △ ADE ) △ AEC có ACE < AEC  AE