Hsg t7 cđ17 các đường đồng quy của tam giác

CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC HH7 CHUYÊN ĐỀ 17- CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT * Phương pháp chứng minh đường thẳng tam giác đồng quy - Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta thường sử dụng phương pháp sau: Phương pháp 1: Chứng minh giao hai đường thẳng nằm đường thẳng thứ ba Cho a cắt b O Chứng minh O thuộc c Suy a, b, c đồng quy O - Phương pháp 2: Sử dụng tính chất đường đồng quy tam giác a) Ba đường trung tuyến tam giác đồng quy điểm.Điểm gọi trọng tâm tam giác Trọng tâm cách đỉnh khoảng độ dài trung tuyến qua đỉnh b) Ba đường phân giác tam giác đồng quy điểm Điểm cách ba cạnh tam giác c) Trong tam giác đường thẳng chứa tia phân giác góc ngồi tia phân giác góc không kề qua điểm.Điểm cách ba đường thẳng chứa ba cạnh tam giác d) Ba đường trung trục tam giác đồng quy điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác e) Ba đường cao tam giác đồng quy điểm Điểm gọi trực tâm tam giác Ba đường trung tuyến tam giác 1.1 Đường trung tuyến tam giác A B M C  Đoạn thẳng AM nối đỉnh A ABC với trung điểm M cạnh BC gọi đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A ứng với cạnh BC ) ABC  Đường thẳng AM gọi đường trung tuyến ABC  Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến 1.2 Tính chất đồng quy ba đường trung tuyến Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm gặp ba đường trung tuyến gọi trọng tâm tam giác TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC 1.3 Vị trí trọng tâm: Trọng tâm tam giác cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh AG BG CG    ấy: AD BE CF Tính chất ba đường phân giác tam giác: 2.1 Tia phân giác góc + Định nghĩa tia phân giác góc: Tia phân giác góc tia nằm hai cạnh góc tạo với hai cạnh hai góc + Tập hợp điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc tia phân giác góc x A z M O B y 2.2 Đường phân giác tam giác - Đoạn thẳng AM gọi đường phân giác xuất phát từ đỉnh A ABC - Mỗi tam giác có ba đường phân giác * Tính chất: Trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đối diện với đáy đồng thời đường trung tuyến ứng với cạnh đáy A B D C 2.3 Tính chất ba đường phân giác tam giác: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC * Định lí: Ba đường phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác A K E L F I B C H Chú ý: Theo kết tập 32 SGK, ta chứng minh được: Hai đường phân giác hai góc ngồi tam giác đường phân giác góc khơng kề chúng qua điểm (điểm cách ba đường thẳng chứa cạnh tam giác Ba đường trung trực tam giác 3.1 Đường trung trực đoạn thẳng * Định nghĩa: Đường trung trực đoạn thẳng đường thẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm A B I d - ĐL1: Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng M A B I d - ĐL2: Điểm cách hai mút đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng M A A M B B I d Nhận xét: Tập hợp điểm cách hai mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng 3.2 Tính chất ba đường trung trực tam giác TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC * Đường trung trực tam giác A a B C a đường trung trực ứng với cạnh BC ABC * Tính chất ba trung trực tam giác B O a C A b Ba đường trung trực tam giác qua điểm, điểm cách ba đỉnh tam giác Chú ý: A \ /// \ B /// O // // C O giao điểm đường trung trực ABC Ta có OA OB OC Điểm O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Ba đường cao tam giác 4.1 Đường cao tam giác: A B H TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC C Trang CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC Định nghĩa: Trong tam giác, đoạn vng góc kẻ từ đỉnh đến cạnh đối diện gọi đường cao tam giác - AI đường cao ABC xuất phát từ đỉnh A ứng với cạnh BC - Mỗi tam giác có ba đường cao 4.2 Tính chất ba đường cao tam giác A H B K L I H B I K L C H=A A C B I C * Định lí: Ba đường cao tam giác qua điểm Điểm giao ba đường cao gọi trực tâm tam giác *Chú ý: + Tam giác nhọn: trực tâm tam giác + Tam giác vuông: trực tâm trùng đỉnh góc vng + Tam giác tù: trực tâm ngồi tam giác A B D C Các đường đồng quy tam giác cân, tam giác + Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh + Trong tam giác, hai bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đường trung trực ứng với cạnh đối diện đỉnh này) trùng tam giác tam giác cân TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC + Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách ba đỉnh, điểm nằm tam giác cách ba cạnh bốn điểm trùng - Nếu tam giác có hai đường cao tam giác cân - Nếu tam giác có ba đường cao tam giác tam giác PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC I Phương pháp giải Đường thẳng trung tuyến tam giác A B C M - Đoạn thẳng AM nối đỉnh A tam giác ABC với trung điểm M cạnh BC gọi đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A ứng với cạnh BC ) tam giác ABC Đôi khi, đường thẳng AM gọi đường trung tuyến tam giác ABC - Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến - Đường trung tuyến tam giác đoạn thẳng nối đỉnh trung điểm cạnh đối diện Tính chất ba đường trung tuyến tam giác - Định lý 1: Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm gặp ba đường trung tuyến gọi trọng tâm tam giác - Định lý 2: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm tam giác cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh 2 AG  AD BG  BE CG  CF 3 Ví dụ: Với G trọng tâm ABC ta có: ; ; A E F G B D C II Bài toán Bài 1: Chọn câu sai: A Trong tam giác có ba đường trung tuyến TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC B Các đường trung tuyến tam giác cắt điểm C Giao ba đường trung tuyến tam giác gọi trọng tâm tam giác D Một tam giác có hai trọng tâm Lời giải Một tam giác có trọng tâm nên D sai Chọn đáp án D Bài 2: Điền số thích hợp vào chỗ trống: “Trọng tâm tam giác cách đỉnh khoảng … độ dài đường trung tuyến qua đỉnh ấy” A 3 B C D Lời giải Chọn đáp án A Theo tính chất trọng tâm tam giác cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh Số cần điền Bài 3: Cho hình vẽ sau, điền số thích hợp vào chỗ chấm: BG  BE A E F G B A B C D C D Lời giải Chọn đáp án D Ta có AD, BE , CF ba đường trung tuyến tam giác ABC chúng cắt G nên G trọng tâm tam giác ABC BG 2   BG  BE Theo tính chất ba đường trung tuyến tam giác ta có BE Vậy số thích hợp điền vào chỗ chấm Bài 4: Cho hình vẽ sau, điền số thích hợp vào chỗ chấm: AG  GD TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC A E F G B A D C B C D Lời giải Chọn đáp án A Ta có AD, BE , CF ba đường trung tuyến tam giác ABC chúng cắt G nên G trọng tâm tam giác ABC Theo tính chất ba đường trung tuyến tam giác ta có: AG AG   2  AG 2GD AD GD Vậy số thích hợp điền vào chỗ chấm Bài 5: Tam giác ABC có trung tuyến AM 9 cm trọng tâm G Độ dài đoạn AG A 4,5cm B 3cm C cm D cm Lời giải Chọn đáp án C A G B M C AG  AM Vì G trọng tâm tam giác ABC AM đường trung tuyến, nên (Tính chất ba AG  6 cm đường trung tuyến tam giác), đó: Bài 6: Cho hai đường thẳng xx ' yy ' cắt O Trên tia Ox lấy hai điểm A, B cho A nằm O B, AB 2OA Trên yy ' lấy hai điểm L M cho O trung điểm LM Nối B với L, B với M gọi P trung điểm đoạn MB, Q trung điểm đoạn LB Chứng minh đoạn thẳng LP MQ qua A Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC x' B Q P A L M O y y' x' BLM  1 Ta có O trung điểm đoạn LM Suy BO đường trung tuyến Mặt khác BO BA  AO A nằm O B hay OB 2OA  OA 3OA Suy Từ BA   1 ,   BO   suy A trọng tâm BLM (tính chất trọng tâm) Mà LP MQ đường trung tuyến BLM P trung điểm MB O trung điểm đoạn LM Suy đoạn thẳng LP MQ qua A (theo tính chất ba đường trung tuyến) Bài 7: Cho ABC , BC  a, CA  b, AB  c Kẻ trung tuyến AM Đặt AM  ma b c  a bc  ma  2 Chứng minh Lời giải A b c ma B a C M Với AMB ta có: AM  MB  AB (1) Với AMC ta có: AM  MC  AC (2)   ta được:  ma  Hay 2ma  a  b  c b c  a Cộng vế  1 Chứng minh tương tự ta có ma  2AM   MB  MC   AB  AC bc TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC b c  a bc  ma  2 Khi ta có: Bài 8: Cho tam giác ABC cân A , trung tuyến AM a) Chứng minh AM vng góc với BC b) Biết AB  AC 17cm, BC 16cm, tính độ dài đường trung tuyến AM Lời giải A B M C ABM ACM (c  c  c )  AMB  AMC (Hai góc tương ứng)       Mà AMB  AMC 180 nên AMB  AMC 90 hay AM  BC Vì ABM ACM (c  c  c )  BM CM (hai cạnh tương ứng) Do BM CM  BC 16  8cm 2 2 Áp dụng định lý Pytago vào ABM vuông M , ta có AM  AB  BM 17  82 289  64 225  AM  225 15cm Bài 9: Cho ABC có đường trung tuyến BD CE Chứng minh ABC tam giác cân Lời giải A E D G B C 2  BG  BD ; CG  CE 3 Gọi G giao điểm BD CE Do BD CE nên BG CCG ; GD GE  BGE CGD(c  g  c)  BE CD 1 BE  AB ; CD  CA 2 Ta lại có: TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10