Cđ13 các đường đồng quy trong tam giác

Chuyên đề: CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT * Phương pháp chứng minh đường thẳng tam giác đồng quy - Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta thường sử dụng phương pháp sau: Phương pháp 1: Chứng minh giao hai đường thẳng nằm đường thẳng thứ ba Cho a cắt b O Chứng minh O thuộc c Suy a, b, c đồng quy O - Phương pháp 2: Sử dụng tính chất đường đồng quy tam giác a) Ba đường trung tuyến tam giác đồng quy điểm.Điểm gọi trọng tâm tam giác Trọng tâm cách đỉnh khoảng độ dài trung tuyến qua đỉnh b) Ba đường phân giác tam giác đồng quy điểm Điểm cách ba cạnh tam giác c) Trong tam giác đường thẳng chứa tia phân giác góc ngồi tia phân giác góc không kề qua điểm.Điểm cách ba đường thẳng chứa ba cạnh tam giác d) Ba đường trung trục tam giác đồng quy điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác e) Ba đường cao tam giác đồng quy điểm Điểm gọi trực tâm tam giác Ba đường trung tuyến tam giác 1.1 Đường trung tuyến tam giác A B M C  Đoạn thẳng AM nối đỉnh A ABC với trung điểm M cạnh BC gọi đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A ứng với cạnh BC ) ABC  Đường thẳng AM gọi đường trung tuyến ABC  Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến 1.2 Tính chất đồng quy ba đường trung tuyến Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm gặp ba đường trung tuyến gọi trọng tâm tam giác 1.3 Vị trí trọng tâm: Trọng tâm tam giác cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến AG BG CG    qua đỉnh ấy: AD BE CF Tính chất ba đường phân giác tam giác: 2.1 Tia phân giác góc + Định nghĩa tia phân giác góc: Tia phân giác góc tia nằm hai cạnh góc tạo với hai cạnh hai góc + Tập hợp điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc tia phân giác góc x A z M O B 2.2 Đường phân giác tam giác y - Đoạn thẳng AM gọi đường phân giác xuất phát từ đỉnh A ABC - Mỗi tam giác có ba đường phân giác * Tính chất: Trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đối diện với đáy đồng thời đường trung tuyến ứng với cạnh đáy A B D C 2.3 Tính chất ba đường phân giác tam giác: * Định lí: Ba đường phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác A K E L F I B C H Chú ý: Theo kết tập 32 SGK, ta chứng minh được: Hai đường phân giác hai góc ngồi tam giác đường phân giác góc khơng kề chúng qua điểm (điểm cách ba đường thẳng chứa cạnh tam giác Ba đường trung trực tam giác 3.1 Đường trung trực đoạn thẳng * Định nghĩa: Đường trung trực đoạn thẳng đường thẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm A B I d - ĐL1: Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng M A B I d - ĐL2: Điểm cách hai mút đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng M A A M B I d B Nhận xét: Tập hợp điểm cách hai mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng 3.2 Tính chất ba đường trung trực tam giác * Đường trung trực tam giác A a B C a đường trung trực ứng với cạnh BC ABC * Tính chất ba trung trực tam giác B O a A C b Ba đường trung trực tam giác qua điểm, điểm cách ba đỉnh tam giác Chú ý: A \ /// \ B /// O // // C O giao điểm đường trung trực ABC Ta có OA OB OC Điểm O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Ba đường cao tam giác 4.1 Đường cao tam giác: A B H C Định nghĩa: Trong tam giác, đoạn vng góc kẻ từ đỉnh đến cạnh đối diện gọi đường cao tam giác - AI đường cao ABC xuất phát từ đỉnh A ứng với cạnh BC - Mỗi tam giác có ba đường cao 4.2 Tính chất ba đường cao tam giác A K L I K L I H B H B A C B C H=A I C * Định lí: Ba đường cao tam giác qua điểm Điểm giao ba đường cao gọi trực tâm tam giác *Chú ý: + Tam giác nhọn: trực tâm tam giác + Tam giác vng: trực tâm trùng đỉnh góc vng + Tam giác tù: trực tâm tam giác A B D C Các đường đồng quy tam giác cân, tam giác + Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh + Trong tam giác, hai bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đường trung trực ứng với cạnh đối diện đỉnh này) trùng tam giác tam giác cân + Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách ba đỉnh, điểm nằm tam giác cách ba cạnh bốn điểm trùng - Nếu tam giác có hai đường cao tam giác cân - Nếu tam giác có ba đường cao tam giác tam giác BÀI 1: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC A Phương pháp giải Đường thẳng trung tuyến tam giác A B M C - Đoạn thẳng AM nối đỉnh A tam giác ABC với trung điểm M cạnh BC gọi đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A ứng với cạnh BC ) tam giác ABC Đôi khi, đường thẳng AM gọi đường trung tuyến tam giác ABC - Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến - Đường trung tuyến tam giác đoạn thẳng nối đỉnh trung điểm cạnh đối diện Tính chất ba đường trung tuyến tam giác - Định lý 1: Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm gặp ba đường trung tuyến gọi trọng tâm tam giác - Định lý 2: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm tam giác cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh 2 AG  AD BG  BE CG  CF 3 Ví dụ: Với G trọng tâm ABC ta có: ; ; A E F G B C D B Bài tập áp dụng Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao D AH Trên tia đối tia AH , lấy điểm D cho AD  AH Gọi E trung điểm đoạn HC F giao điểm DE AC M A a Chứng minh điểm H , F F trung điểm M đoạn AC ba điểm thẳng hàng B HF  DC b Chứng minh: H E C Lời giải a A trung điểm HD nên CA đường trung tuyến tam giác HDC - E trung điểm HC nên DE đường trung tuyến tam giác HDC - CA DE cắt F Vậy F trọng tâm tam giác HDC , suy HF nằm trung tuyến thứ ba tam giác HDC Vậy HF phải qua trung điểm M cạnh CD HF  HM (1) b F trọng tâm tam giác HDC nên:  Tam giác HDC vuông H , HM trung tuyến thuộc cạnh huyền vậy: 1 HM  DC (2)  HF  DC  HF  DC 3 Bài 2: Cho tam giác ABC vng A có B AB 8cm , AC 6cm Trên tia đối tia M CA lấy điểm D cho CD CA Gọi M E trung điểm AB , E giao điểm A C D BC DM Tính BC , BE Lời giải - ABC vng A  BC 10cm - ABD có BC DM hai đường trung tuyến cắt E Nên E trọng tâm tam giác ABD Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A Gọi A, B A , C  trung điểm cạnh BC , CA , AB Gọi G trọng tâm tam giác B' C' ABC a Chứng minh: A ' A  A ' B; A ' C '// AC B b Chứng minh tam giác AAC cân A C A' AA '  BC D c Cho AB 6cm , AC 8cm , tính độ dài đoạn BC , AA , BB , CC  d Từ kết tính độ dài đoạn thẳng AG , BG , CG Lời giải a Trên tia đối tia AA ' , lấy điểm D cho A ' A  A ' D    Chứng minh được: AA ' B DA ' C (cgc)  AB CD; A ' AB  A ' DC (1)  DC / / AB  ACD 90     Chứng minh được: BAC DCA(cgc)  ABC CDA '  ABA;  A ' DC (2)   Từ (1)(2)  ABA '  A ' AB (3)  A ' A  A ' B (*)    - AC ' A ' BC ' A '(ccc)  A ' C ' A 90 ; AA ' C BA ' C (4) Ta có: CA  BA; A ' C '  BA  A ' C '// AC       b Ta có: A ' CA BA ' C '   ; A ' AC  AA ' C           A ' CA  A ' AC  A ' AC cân A   - Tam giác A ' AC cân A ' nên A ' AC  A ' CA (**) AA '  A ' B  A ' C  A ' A  BC Từ (*)(**) ta có: c Áp dụng định lý pytago vào tam giác ABC vuông A , ta có: BC 10(cm)  A ' A 5(cm) - Áp dụng định lý pytago vào tam giác ABB ' vng A , ta có: BB '  52(cm) - Áp dụng định lý pytago vào tam giác ACC ' vng A , ta có: CC '  73(cm) 10 2 2 AG  A ' A  ; BG  BB '  52; CG  CC '  73(cm) 3 3 3 d Bài 4: Cho tam giác ABC Các trung tuyến A AA ', BB ', CC ' cắt G Lấy F điểm D , E , F cho A ' trung E O C' điểm GD , B ' trung điểm GE , B' G C’ trung điểm GF B a Chứng minh: DC BG  AF ; AF / / DC C A' D b Chứng minh: OGF AGC với O giao điểm AG FE c Chứng minh G trọng tâm tam giác DEF Lời giải 1 AG  AG; BG  BG; C G  CG  AG GD; BG GE ; GC GF 2 Vì G trọng tâm nên: a BAG CAG (cgc)  BG CD(1); AGF DGC (cgc)  AF CD(2)  DC BG  AF   - Từ AGF DGC  A ' FG DCG  AF / / DC 10