Cđ13 1 tứ giác

TỨ GIÁC A Kiến thức Tam giác ˆ +B ˆ + Cˆ = 1800 ( Tổng góc tam giác ) -A A - AB  AC  BC ( Bất đẳng thức tam giác) - AB  AC  BC ( Bất đẳng thức tam giác) B C Tứ giác a Định nghĩa: Tứ giác ABCD hình gồm đoạn thẳng AB, BC, CD, DA đoạn thẳng không nằm đường thẳng C B b Tứ giác lồi: Là tứ giác nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa cạnh tứ giác A D c Chú ý: Khi nói đến tứ giác mà khơng thích them, ta hiểu tứ giác lồi Tổng góc tứ giác - Định lý: Tổng góc cảu tứ giác 3600  Aˆ + Bˆ + Cˆ + Dˆ = 360 - Chú ý: Để bốn góc cho trước thỏa mãn bốn góc tứ giác bốn góc có tổng 3600 - Bất đẳng thức đường gấp khúc: AB + BC + CD > DA - Mở rộng: Tổng bốn góc ngồi bốn đỉnh tứ giác 3600 Góc ngồi tứ giác: Góc kề bù với góc tứ giác gọi góc ngồi tứ giác - Ta có Bˆ góc ngồi đỉnh B B Bài tập A B  Bài 1: Cho tứ giác ABCD có: BADˆ BCDˆ 900 , phân giác E D  C góc ABC cắt AD E phân giác góc ADC cắt BC F Chứng minh BE // DF Lời giải +) ABC  ADC 1800     900 (1)  +) Xét tam giác ABE, có:   E1 900 (2)    E1  BE // DF +) Từ (1)(2)   ovitridongvi  D 1800 Phân giác góc BCD CDA cắt Bài 2: Cho tứ giác ABCD có: ABC  BA  E, biết CD = DE Chứng minh : ADC 2 BCD Lời giải B    +) Ta có: Aˆ  Bˆ 1800  Cˆ  Dˆ 1800  C1  D1 90o  DEC 900 A E D 1 M +) Gọi M trung điểm CD  EM MC MD  C   CD    DEM D1 600  C1 300  D 2C (dpcm)   Bài 3: Cho tứ giác ABCD , có: BAD  BCD 1800 , DA DC chứng minh BD phân giác ABC B C 1 +) Trên tia đối tia AB lấy điểm E cho AE = BC A Lời giải: D    B1 E1 (1)  BED +) BCD EAD (cgc )    DB DE    cân D  E1 B2 (2)  Từ (1)(2)  B B2 (dpcm) E Bài 4: Cho tứ giác ABCD có BD phân giác góc ABC , AD =   CD , AB < BC Chứng minh : BAD  BCD 1800 C E Lời giải B +) Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE = BA A D    A1 E1 (1)  +) BED BAD(cgc )   AD ED  ED CD  ECD cân D  ED DA         E2 C1 (2) Từ (1)(2) A1  C E1  E2 1800 Bài 5:Cho tứ giác ABCD có: Aˆ : Bˆ : Cˆ : Dˆ 5 : :13 :10 a Tính góc tứ giác ABCD b AB cắt CD E, AD cắt BC F Phân giác góc AED góc AFB cắt O, phân giác góc AFB cắt CD AB M N Chứng minh O trung điểm MN Lời giải E a Aˆ 500 , Bˆ 800 , Cˆ 1300 , Dˆ 1000 b B ˆ 1800  Aˆ  Dˆ 300 ; AFB ˆ 1800  Aˆ  Bˆ 500 AED C  M 75 O N A D F ˆ 1800  Fˆ  Bˆ 750 ; ENM ˆ 1800  750  300 750  EMN cân  O trung điểm MN EMN 1 Bài 6: Cho tứ giác ABCD có Bˆ  Dˆ 1800 , AC phân giác góc A Chứng minh rằng: CB = CD A B 2 E Lời giải Dựng tam giác ACE cân C  CA CE D 1 C   Bˆ  Dˆ 180  Dˆ Bˆ1 Theo gt:  ˆ ˆ B  B  180     Aˆ1 Eˆ1 Có:  ˆ ˆ  Eˆ1  Aˆ   A1  A2   Aˆ Eˆ1  Cˆ1 Cˆ  CEB CAD ( gcg )  CB CD CEB CAD có:  ˆ ˆ   D1 B1 HÌNH THANG, HÌNH THANG CÂN A HÌNH THANG A B D C A C B A H1 HÌNH THANG D B C D H2 THANG VNG H3 THANG CÂN Định nghĩa: Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song  ABCDla ABCD Là hình thang ( đáy AB, CD )    AB // CD +) AB: đáy nhỏ +) CD: đáy lớn +) AD, BC: cạnh bên Nhận xét - Nếu hình thang có hai cạnh bên song song hai cạnh bên - Nếu hình thang có hai cạnh đáy hai cạnh bên song song Dựa vào nhận xét ta có Hình thang ABCD ( AB // CD ), có: A B +) AD // BC  AD BC ; AB CD D +) AB CD  AD // BC ; AD BC C Hình thang vng hình thang có góc vng B HÌNH THANG CÂN A D B B C H1 HÌNH THANG A C A D H2 THANG VUÔNG B C D H3 THANG CÂN Định nghĩa Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy  ABCD(là hinh thang ) ABCD hình thang cân ( đáy AB, CD )   ˆ ˆ ˆ ˆ C=D hoac A=B Tính chất: Trong hình thang cân - Hai cạnh bên - Hai đường chéo Dấu hiệu nhận biết - Hình thang có góc kề đáy hình thang cân - Hình thang có hai đường chéo hình thang cân Chú ý: Hình thang có hai cạnh bên chưa hình thang cân ( Hình bình hành ) C BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho tam giác ABC đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác ABC cắt đoạn AB, AC Chứng minh tổng khoảng cách từ B C tới d khoảng cách từ A tới d Lời giải A Ta có tứ giác BEFC hình thang ( BE // CF ) E D B F N K Gọi N trung điểm EF, M trung điểm BC G  MN  C M P  BE  CF 2MN (1) BE  CF    MN  d +) Lấy P thuộc tia đối MG cho MP = MG  GP GA   MN  PK +) Lấy K thuộc d cho NG = NK    PK  D ADG PKG (ch  gn)  PK DA  MN  AD (2)  AD BE  CF Bài 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G đường thẳng d nằm tam giác Gọi D, E, F, H hình chiếu A, B, C, D lên đường thẳng d Chứng minh rằng: AD + BE + CF = 3GH Lời giải A P +) Gọi M trung điểm BC G +) P trung điểm AG M B C +) K hình chiếu M lên d E D Q H K Ta có : BE + CF = 2MK F AD + GH = 2PQ; MK + PQ = 2GH 2( MK + PQ ) = 4GH; BE + AD + CF = 3GH (dpcm) Bài 3: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ), CD = BC + AD Hai đường phân giác hai góc A B cắt K Chứng minh C, D, K thẳng hàng Lời giải A B 2 Trên CD lấy điểm E cho CE = CB  AD DE  CBE cân C  Eˆ1 Bˆ1 D E C Mặt khác Eˆ1 Bˆ ( slt )  Bˆ1 Bˆ ADE cân D  Aˆ1 Eˆ mà  Eˆ  Aˆ ( slt )  Aˆ1  Aˆ  EA, EB phân giác Aˆ , Bˆ  giao điểm hai đường phân giác góc A B cắt E thuộc BC  E K  D, K , C thẳng hàng Bài 4:Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD ) có đường chéo BD vng góc với cạnh bên BC ˆ đồng thời DB tia phân giác ADC a Tính góc hình thang cân ABCD b Biết BC = 6cm, tính chu vi diện tích hình thang cân ABCD A Lời giải B a) DBC ( Bˆ 900 ) có ˆ 2 BDC ˆ 600 ; DAB ˆ CBA ˆ  ADC ˆ BCD ˆ 1200 BCD D K C b) Tính DC = 2.BC P Hạ đường cao BK, ta có BK 3 3cm  S ABCD ABCD 30cm 27 3(cm2 ) Bài 5: Cho tam giác ABC Từ điểm M nằm bên tam giác ta vẽ tia gốc M song song với BC cắt AB D, song song với AC cắt BC E, song song với AB cắt AC F Chứng minh chu vi tam giác DEF tổng khoảng cách từ M đến ba đỉnh tam giác Lời giải A F Chu vi tam giác ABC : DE + DF + EF D M B Khoảng cách từ M đến đỉnh : MA + MB + MC C E Ta cần chứng minh : DE + DF + EF = MA + MB + MC +) Ta có hình thang BDME hình thang cân ( MD // BE , Bˆ Eˆ Cˆ 600 )  DE MB Chứng minh tương tự ta có : DF= MA, EF = MC  DE + DF + EF = MA + MB + MC ( đpcm) Bài 6: Cho tam giác ABC cân A, điểm I thuộc đường cao AH, BI giao với AC D, CI giao với AB E a Chứng minh rằng: AD = AE b Xác định dạng tứ giác BEDC c Xác định I cho: BE = ED = DC Lời giải A 12 D a E AIC AIB (cgc)  Cˆ1 Bˆ1  ACE ABD ( gcg )  AE  AD I b ADE , ACB cân A có chung góc A 1 C H B ˆ  DE // BC ˆ  ABC ˆ  AED ˆ  ACB ˆ 180  A    ADE  dpcm Cˆ Bˆ   Bˆ1 Dˆ ˆ ˆ   Bˆ1 Bˆ2 c DE // BC  B2 D2 Để BE = ED  BED cân E  ˆ ˆ B  D   2 Chứng minh tương tự: Cˆ1 Cˆ Vậy CE BD giao điểm góc C B Vậy I giao điểm đường phân giác tam giác ABC Bài 7: Cho hình thang ABCD ( AB // CD) tia phân giác góc C qua trung điểm M AD CMR:  a) BMC 900 b) BC = AB + CD Lời giải a) Giả sử MC cắt AB E Khi CMD EMA  g.c.g   CM EM ; AD  AE  C  C  =>  BEC cân Xét  BEC có: E Mà BM đường trung tuyến A E B => BM đường cao Vậy BM  EC b) Vì  BEC cân nên EB = BC => BC = EA + AB = DC + AB M 1 D C  600 , DB phân giác góc D  , Biết chu vi Bài 8: Cho hình thang ABCD ( AB // CD), có C hình thang 20cm, Tính cạnh hình thang Lời giải E Đặt BC= a, ta có ngay: AD = AB = BC = a  600  D  300  DBC  Mà: C 900 A  300 , C  600  DC 2a Xét  BDC có D B Mà Chu vi hình thang 20 cm nên ta có: a a + a + a + 2a = 20 => a = D C ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, HÌNH THANG A ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC A M A N B B N M C C D H5 ĐƯỜNG TRUNG BÌNH HÌNH THANG H4.ĐƯỜNG TRUNG BÌNH TAM GIÁC Định nghĩa: Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác Các định lý a Định lý 1: Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba ABC , AM MB, MN / BC  AN  NC b Định lý 2: Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh ấy: MN // BC ; MN  BC A A N B ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG M M B C H4.ĐƯỜNG TRUNG BÌNH TAM GIÁC D B N C H5 ĐƯỜNG TRUNG BÌNH HÌNH THANG Định nghĩa: Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang Các định lý a Định lý 1: Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai Nếu EA = ED EF // AB // CD FB = FC b Định lý 2: Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy Ta có: EF // AB // CD EF= ( AB  CD) Mở rộng - Trong hình thang có hai cạnh bên khơng song song, đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo song song với hai đáy nửa hiệu hai đáy B A M N D Ta có: MN / / AB / /CD MN  C CD  AB C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho tứ giác ABCD Gọi E, K, F trung điểm AD, BC, AC a Chứng minh EK // CD, FK // AB b So sánh EF ( AB  CD)