Cđ13 1 ba đường trung tuyến

Chuyên đề: CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC BÀI 1: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC A Phương pháp giải Đường thẳng trung tuyến tam giác A B C M - Đoạn thẳng AM nối đỉnh A tam giác ABC với trung điểm M cạnh BC gọi đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A ứng với cạnh BC ) tam giác ABC Đôi khi, đường thẳng AM gọi đường trung tuyến tam giác ABC - Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến - Đường trung tuyến tam giác đoạn thẳng nối đỉnh trung điểm cạnh đối diện Tính chất ba đường trung tuyến tam giác - Định lý 1: Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm gặp ba đường trung tuyến gọi trọng tâm tam giác - Định lý 2: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm tam giác cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh 2 AG  AD BG  BE CG  CF 3 Ví dụ: Với G trọng tâm ABC ta có: ; ; A E F G B D C Áp dụng: 1.1 Chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thẳng gấp đôi, gấp ba đoạn thẳng 1.2 Muốn chứng minh điểm trọng tâm tam giác (hoặc tìm trọng tâm tam giác cho trước ): Cách 1: Chứng minh điểm giao hai đường trung tuyến tam giác Cách 2: Điểm nằm đường trung tuyến tam giác cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến (hoặc cách trung điểm cạnh đối diện khoảng độ dài đường trung tuyến ) 1.3 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 1.4 Đường trung tuyến tam giác chia tam giác thành hai tam giác có diện tích 1.5 Ba trung tuyến tam giác chia tam giác thành sáu tam giác có diện tích B Bài tập áp dụng Dạng Bài tốn tính tốn: Tính độ dài đoạn thẳng, tỉ số đoạn thẳng I Phương pháp giải - Áp dụng tính chất ba đường trung tuyến tam giác để tính tốn GA GB GC    Trong ABC , ba đường trung tuyến AM , BN , CE đồng quy G , ta có: AM BN CE Bài 1: Cho ABC với AM đường trung tuyến G trọng tâm ABC a) Chứng minh AM 3GM b) Tính độ dài đường trung tuyến AM biết GM 2,5cm Lời giải a) Vì G trọng tâm tam giác ABC nên ta có GA 2  GA  MA MA hay (Theo định lí tính chất ba đường trung tuyến tam giác) Ta có G thuộc đoạn thẳng AM nên GA  GM MA  GM MA  GA MA  MA  MA 3  GM  MA  3GM MA hay AM 3GM b) Ta có AM 3GM (theo cmt) Mà GM 2,5cm  AM 3.2,5  AM 7,5(cm) Vậy AM 7,5(cm) Bài 2: Cho ABC với AM đường trung tuyến G trọng tâm ABC a) Chứng minh AM 3GM b) Tính độ dài ba đường trung tuyến AM biết GM 6 cm Lời giải a) Vì G trọng tâm tam giác ABC nên ta có: GA 2  GA  MA MA hay (Theo định lí tính chất ba đường trung tuyến tam giác) Ta có G thuộc đoạn thẳng AM nên GA  GM MA  GM MA  GA MA  MA  MA 3  GM  MA  3GM MA hay AM 3GM b) Ta có AM 3GM (theo cmt) Mà GM 6 cm  AM 3.6  AM 18(cm) Vậy AM 18(cm) Bài 3: Cho ABC với AM đường trung tuyến G trọng tâm ABC a) Chứng minh AM 3GM b) Tính độ dài ba đường trung tuyến AM biết GM a  cm  (với a  ) Lời giải a) Vì G trọng tâm tam giác ABC nên ta có GA 2  GA  MA MA hay (Theo định lí tính chất ba đường trung tuyến tam giác) Ta có G thuộc đoạn thẳng AM nên GA  GM MA  GM MA  GA MA  MA  MA 3  GM  MA  3GM MA hay AM 3GM b) Ta có AM 3GM ( theo cmt) Mà GM a  cm   AM 3.a  AM 3a (cm) Vậy AM 3a (cm) Bài 4: A , với AD đường Cho ABC vuông trung tuyến AD  BC a) Chứng minh AC  cm AD  cm  ;   biết ba b) Cho cạnh ABC thỏa mãn đẳng thức AB  AC BC Hãy tính độ dài cạnh AB Lời giải a) Trên tia đối tia DA lấy điểm E cho D trung điểm đoạn thẳng AE Nối hai điểm C E Xét ADB EDC có: AD DE ( D trung điểm AE )   ADB EDC ( hai góc đối đỉnh ) BD DC ( D trung điểm AE AD đường trung tuyến ABC ) Do ADB EDC ( c.g.c )  AB EC ( hai cạnh tương ứng)   ABD ECD ( hai góc tương ứng ) Mà hai góc vị trí so le nên AB // CE ( theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song )  Mặt khác AB  AC ( ABC vuông A nên BAC 90 )  AE  AC   ACE 90    BAC ACE 90 Xét ABC CEA có:   BAC ACE 90 ( chứng minh ) AB EC ( chứng minh )   ABD ECD (chứng minh ) Do ABC CEA ( g.c.g )  AE BC ( hai cạnh tương ứng) AD  AE Mà ( D trung điểm đoạn thẳng AE )  AD  BC ( đpcm) AD  BC b) Ta có ( cmt ) BC 2 AD 2  cm  2 Mà AB  AC BC ( theo GT )  AB       AB 12   AB 4  AB 2  cm  Vậy ( AB  ) AB 2  cm  Bài 5: Cho ABC , hai đường trung tuyến BM CN cắt G Biết BM 4,5cm , CN 6cm biết ba cạnh GBC thỏa mãn đẳng thức BG  GC BC Hãy tính độ dài cạnh BC Lời giải Vì G giao hai đường trung tuyến BM CN nên G trọng tâm tam giác ABC GB  Vì BM đường trung tuyến ABC G trọng tâm ABC nên MB (Theo định lí tính chất ba đường trung tuyến tam giác)  GB  MB MB 4,5  cm  Mà  GB  4, 3  cm  GC  Vì CN đường trung tuyến ABC G trọng tâm ABC nên NC (Theo định lí tính chất ba đường trung tuyến tam giác) 2  GC  NC  6 4  cm  3 2 Ta có: BG  GC BC (theo GTs)  32  22 BC   16 BC  BC 25  BC 5(cm) ( BC  ) Vậy BC 5(cm) Bài 6: Cho ABC , hai đường trung tuyến BM CN vng góc với G Biết BM a  cm  CN b  cm  , ( a  0; b  0) biết ba cạnh GBC thỏa mãn đẳng thức BG  GC BC Hãy tính độ dài cạnh BC Lời giải Vì G giao hai đường trung tuyến BM CN nên G trọng tâm tam giác ABC GB  Vì BM đường trung tuyến ABC G trọng tâm ABC nên MB (Theo định lí tính chất ba đường trung tuyến tam giác)  GB  MB MB a  cm  Mà 2a  GB  a   cm  3 GC  Vì CN đường trung tuyến ABC G trọng tâm ABC nên NC (Theo định lí tính chất ba đường trung tuyến tam giác) 2 2b  GC  NC  b   cm  3 2 Ta có: BG  GC BC (theo GT) 2  2a   2b        BC      4a 4b  BC 9  BC   BC   BC  4a  4b  a  b2  2  a  b2  (cm) ( BC  ) Vậy BC 5(cm) Bài 7: Cho tam giác ABC vng A có ba cạnh 2 thỏa mãn đẳng thức AB  AC BC Biết AB 12 cm , AC 9 cm Tính khoảng cách từ đỉnh A đến trọng tâm G tam giác ABC Lời giải Giả sử tam giác ABC vng A có đường trung tuyến AM G trọng tâm tam giác ABC nên G thuộc AM 2 Ta có: AB  AC BC  122  92  BC  144  81 BC  225 BC  BC 15  cm  (vì BC  ) AM  BC Do tam giác ABC vuông A nên (áp dụng kết 1.4 ) 1  AM  BC  15 7,5(cm) 2 GA  Vì G trọng tâm tam giác ABC nên MA (Theo định lí tính chất ba đường trung tuyến tam giác) 2  GA  MA  GA  7,5 5  cm  MA  7,5 cm   3 Mà Vậy GA 5  cm  hay khoảng cách từ đỉnh A đến trọng tâm G tam giác ABC 5cm Bài 8: Cho tam giác ABC cân A , đường cao AD 5cm , biết BC 9 cm a) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến trọng tâm G tam giác ABC b) Tính diện tích tam giác GBC tỉ số diện tích tam giác GBC diện tích tam giác ABC c) Tính tỉ số diện tích tam giác GBD diện tích tam giác ABC Lời giải a) Vì tam giác ABC cân A , AD đường cao ( D  BC ) nên AD trung tuyến ứng với cạnh BC ABC  D trung điểm BC  BD DC  BC  4,5  cm  2 Vì G trọng tâm tam giác ABC nên G thuộc trung tuyến AD ABC có: GA  DA ( theo tính chất ba đường trung tuyến tam giác ) 10  GA  5   cm  3 10 10 GA   cm   cm  Vậy hay khoảng cách từ đỉnh A đến trọng tâm G tam giác ABC b) Vì G trọng tâm tam giác ABC nên G thuộc trung tuyến AD ABC có: GD  DA ( theo tính chất ba đường trung tuyến tam giác )  GD  5   cm  3 Diện tích tam giác GBC SGBC 9 GD.BC   7,5  cm  2 10