Hsg t7 cđ13 vẽ thêm yếu tố phụ

HH7-CHUYÊN ĐỀ 13- VẼ THÊM HÌNH PHỤ HH7-CHUYÊN ĐỀ 13: KẺ THÊM HÌNH PHỤ PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT Vẽ thêm hình phụ giải tốn có nhiều hướng sau: Đây phương pháp đặc biệt, nội dung tạo thêm vào hình vẽ cạnh nhau, góc giúp cho việc giải toán thuận lợi Cách vẽ đường phụ toán nhằm tạo đoạn thẳng thứ ba hai đoạn thẳng cần chứng minh nhau, cách hay sử dụng nhiều toán nên giáo viên cần lưu ý cho học sinh nhớ để vận dụng Cách giải áp dụng để giải số tốn hay chương trình THCS Kĩ thuật vẽ thêm yếu tố phụ nằm nhóm phương pháp chung gọi phương pháp - Tam giác nhau, sau ta nghiên cứu thêm phương pháp hay chưa khai thác nhiều giải toán Vẽ thêm đường song song nhằm làm xuất hai góc nhau, hai góc bù nhau, tứ giác đặc biệt, tam giác có đường thẳng song song với cạnh Khơng phải có cách vẽ thêm trung điểm đoạn thẳng ta có hai đoạn thẳng mà ta vẽ đoạn thẳng với đoạn thẳng có Tuy nhiên vẽ đoạn thẳng cách vu vơ lợi nhiều mà ta lên vẽ đoạn thẳng đường thẳng có ta tận dụng thêm tính chất đường thẳng để có góc hai đường thẳng cắt có góc đối đỉnh hay hai đường thẳng song song có góc vị trí đặc biệt Việc vẽ thêm hình phụ để xuất tam giác yếu tố vẽ thêm phải có lợi bước chứng minh sau, vẽ thêm hình để có đoạn thẳng góc Việc vẽ trung điểm hay phân giác cách vẽ thêm đơn giản đáp ứng yêu cầu Để giải tốt tốn tính số đo góc học sinh tối thiểu phải nắm vững kiến thức sau:  Trong tam giác: - Tổng số đo ba góc tam giác 180 - Biết hai góc ta xác định góc cịn lại - Mỗi góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với  Trong tam giác cân: Biết góc ta xác định hai góc cịn lại  Trong tam giác vng: Biết góc nhọn, xác định góc cịn lại Cạnh góc vng nửa cạnh huyền góc đối diện với cạnh góc vng có số đo 30  Trong tam giác vng cân: góc nhọn có số đo 45  Trong tam giác đều: góc có số đo 60  Đường phân giác góc chia góc hai góc có số đo  Hai đường phân giác hai góc kề bù tạo thành góc có số đo 90  Hai đường phân giác hai góc kề phụ tạo thành góc có số đo 90  Hai góc đối đỉnh  Tính chất góc so le trong, so le ngồi, đồng vị, hai góc cung phía, … TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang HH7-CHUYÊN ĐỀ 13- VẼ THÊM HÌNH PHỤ Khi giải tốn tính số đo góc cần ý: - Vẽ hình xác, với số liệu đề để có hường chứng minh - Phát tam giác đều, “nửa tam giác đều”, tam giác vng cân, tam giác cân hình vẽ - Chú ý liên hệ góc tam giác, liên hệ cạnh góc tam giác, phát cặp tam giác Vẽ đường phụ hợp lí làm xuất hiệ góc đặc biệt, cặp góc Trong đường phụ vẽ thêm, vẽ đường phân giác, đường vng góc, tam giác đều, … Trong thực tế, để giải tốn tính số đo góc ta thường xét góc nằm mối liên hệ với góc hình đặc biệt nêu xét góc tương ứng suy kết Tuy nhiên, đứng trước tốn khơng phải lúc gặp thuận lợi, đưa trường hợp mà có nhiều đòi hỏi người đọc phải tạo "điểm sáng bất ngờ"có thể đường kẻ phụ, hình vẽ phụ… từ mối quan hệ giả thiết, kết luận kiến thức, kỹ học trước giải Chúng ta xem “đường kẻ phụ”, “hình vẽ phụ” “chìa khoá “ thực thụ để giải dạng toán PHẦN II CÁC DẠNG BÀI TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang HH7-CHUYÊN ĐỀ 13- VẼ THÊM HÌNH PHỤ DẠNG 1: NỐI HAI ĐIỂM CĨ SẴN TRONG HÌNH VẼ HOẶC VẼ THÊM GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Bài tốn 1: Cho tam giác ABC có hai đỉnh A C thuộc nửa mặt phẳng có bờ đường trung trực Chứng minh CA  CB C O B A Hướng dẫn: Cách 1: Gọi O giao điểm đường trung trực AB với BC   O thuộc trung trực AB nên OA OB  OAB OBA     Mà OAB  BAC  CBA  BAC  CA  CB Cách 2: Trong tam giác có CA  CO  OA CO  OB CB Bài toán 2: Cho tam giác   Tia phân giác góc B cắt có AH đường cao BAH 2C E Tia phân giác góc cắt tại I Tính AHE chứng minh tam giác EAI tam giác vuông cân A E I B H C    Hướng dẫn: Nối H với E Ta có BAI IAH  ACH , ACH  HAC 90    IAH  HAC 90  AE  AI Mà phân giác trong, suy tia AE phân giác ngồi, phân giác TÀI LIỆU NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang HH7-CHUYÊN ĐỀ 13- VẼ THÊM HÌNH PHỤ Suy phân giác ngồi  AHE 90 : 45    ABI  BAH  AHB  90 45 Ta có : AIE BAI 2 Vậy AIE vuông cân  120 , Phân giác AD, BE, CF Bài toán 3: Cho tam giác ABC có A   a) Chứng minh DE phân giác tam giác ABD b) Tính góc x A E F B D C Hướng dẫn:  a) Nối D với E , Kẻ Ax tia đối tia AB Có AC tia phân giác DAx Mà phân giác ABD , Suy DE phân giác ABD , b) Kẻ Ay phân giác ABC , Chứng minh tương tự ý a ta có DF tia phân giác  ADC Mà DE phân giác ADC đỉnh D nên DE  DF Tức EDF 90 Bài tốn 4: Cho tam giác ABC vng A , đường cao DE , Gọi E , I , K theo thứ tự giao điểm đường phân giác tam giác ABC , ABH , ACH Chứng minh AK vng góc với BE A F E D K I B H C Hướng dẫn: Gọi D giao điểm Ta có ABH HAC  ( phụ với ) 1 ABD DAC   ABH  HAC 2 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang HH7-CHUYÊN ĐỀ 13- VẼ THÊM HÌNH PHỤ 1   ABD DAC  ABH  AHC 2   Mà DAC  BAK 90 nên ABD  BAK  90 Suy ADB 90 Suy ID đường cao tam giác AIK Tương tự ta có : gọi F giao điểm CE AI KF đường cao tam giác AIK Suy E trực tâm tam giác AIK Vậy AE vng góc với IK Bài toán 5: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BD, CE Chứng minh : BD  CE  3 AB  AC 2 A E D G C B Hướng dẫn: Trong ABC có: BC  AB  AC Gọi G giao điểm hai đường trung tuyến Trong có: BG  GC  BC 2 2 Ta lại có BG  BD, CG  CE BG  BD, CG  CE 3 3 3 3 3 Nên BD  CE  BC  BD  CE  AB  BC  AB   BC  AB   AC 2 2 2 Bài toán 6: Cho tam giác ABC Trên tia đối BA CA lấy điểm M N cho BM CN Gọi I giao điểm MC BN a) Chứng minh: MI NI b) Tia phân giác góc AMC cắt AI AN theo thứ tự O K BO cắt AN Q CMR: Tam giác OKQ cân TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang HH7-CHUYÊN ĐỀ 13- VẼ THÊM HÌNH PHỤ A K Q O B M C N Hướng dẫn: a) Chứng minh hai tam giác ABN ACM   Tam giác AMN Suy IMN có IMN INM Nên IMN tam giác cân, hay IM IN b) Nối C với O ta có AI phân giác, MK phân giác tam giác AMC , nên CO phân giác tam giác ACM    Ta có OKQ 60  AMO, OQK 60  OBC  Ta cần chứng minh AMO OBC Thật vậy:   (Do AO phân giác trung trực tam giác ABC OB OC OBC OCB          OCB OCQ  BCM  2.OCB OCQ  OCB  BCM 60  BCM 60  IMN   60  60  AMO 2 AMO    OCB OCQ  BCM  2OCB 2 AMO    OBC OCB  AMO   Suy OKQ nên tam giác OKQ cân OQK Bài tập tự luyện Bài tập 1: Cho hai điểm A B nằm phía đường thẳng d Gọi C trung điểm AB Kẻ AD, BE , CH vng góc với d Cho biết AD 4cm, BE 6cm Tính CH ? HD: Gọi K giao điểm AE , ta tính CK 3, KH 2  CH 5cm TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang HH7-CHUYÊN ĐỀ 13- VẼ THÊM HÌNH PHỤ B C A K d D H E Bài tập 2: Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm BC , I trung điểm AM, D giao điểm CI Chứng minh AD  DB A D I B C M Chứng minh MK / /CD , chứng minh AD DK suy HD: Gọi K trung điểm AD  DB Bài tập 3: Cho tam giác , điểm D thuộc cạnh BC cho BD  DC Kẻ BH CK vng góc với AD Chứng minh : BH  CK A H B D M C N K HD: Gọi M trung điểm DC , N trung điểm DK Chứng minh MN  CK , MN BH Suy ra: BH  CK TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang HH7-CHUYÊN ĐỀ 13- VẼ THÊM HÌNH PHỤ Bài tập 4: Cho ABC vng A có AC 4, AB 6 Trên cạnh BC lấy điểm D cho CD 2 Từ D kẻ đường thẳng vng góc với BC , đường thẳng cắt AC E Tính DE D M N A B E HD: Gọi M trung điểm AC , kẻ đường vng góc với AC cắt BC N , chứng minh DE MN , MN  AB 3 Bài tập 5: Cho  120 đường phân giác AD Đường phân giác góc ngồi C cắt đường có A thẳng K Gọi E giao điểm của DK AC Tính số đo góc BED K A E C D B HD: Trong tam giác ADC có AK , CK hai phân giác nên DK phân giác trong, Trong tam giác ABC có AC , DE phân giác ngồi nên BE phân giác Nên: 1    BED EDC  EBD  ADC  ABC  BAD 30o 2     Bài tập 6: Cho xOz M điểm 120 , Oy tia phân giác góc xOz , Ot tia phân giác xOy thuộc miền yOz , Vẽ MA  Ox, MB  Oy, MC  Ot Tính độ dài OC theo MA MB ? TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang HH7-CHUYÊN ĐỀ 13- VẼ THÊM HÌNH PHỤ y t B x C E M I H K A O z HD: Gọi E , I theo thứ tự giao điểm MC với Oy, Ox ta có tam giác EOI đều, Vẽ EH  MA, EK  OI chứng minh MH MB, EK OC nên MA  MB MA  MH HA EK OC DẠNG 2: VẼ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG, TIA PHÂN GIÁC CỦA GĨC Việc vẽ thêm hình để xuất tam giác vẽ thêm yếu tố phải có lợi bước chứng minh sau, vẽ thêm hình để có đoạn thẳng góc Việc vẽ trung điểm hay phân giác cách vẽ thêm đơn giản đáp ứng u cầu Bài tốn 1: Cho tam giác ABC có AB 10cm; BC 12 cm, D trung điểm cạnh AB Vẽ DH vng góc với BC ( H  BC ) cho DH 4cm Chứng minh tam giác ABC cân A 1) Phân tích tốn: Bài cho tam giác ABC có AB 10cm; BC 12 cm, D trung điểm cạnh AB Vẽ DH vng góc với BC ( H  BC ) cho DH 4cm Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân A 2) Hướng suy nghĩ: ABC cân A  AB  AC Việc chứng minh AB  AC ta vẽ thêm điểm phụ K trung điểm BC có BK KC từ chứng minh ABK ACK A Vậy yếu tố phụ cần vẽ trung điểm BC TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang D B H K C HH7-CHUYÊN ĐỀ 13- VẼ THÊM HÌNH PHỤ 3) Chứng minh: ABC ; AB 10cm; GT KL BC 12cm; DA DB  ; DH  BC DH 4cm ABC cân A Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC , ta có: BK KC  BC 6cm Lại có: BD  AB 5cm (do D trung điểm AB ) Xét HBD có: BHD 900  gt  Theo định lí Pitago ta có: DH  BH BD  BH  BD  DH  52  42   BH   cm  Từ đó: BD DA; BH HK  3 cm   DH // AK (đường nối trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ 3) Ta có: : DH  BC , DH // AK  AK  BC Xét ABK ACK có: BK = KC (theo cách lấy điểm K) AKB  AKC = 900 AK cạnh chung  ABK ACK  c  g  c   AB  AC  ABC cân A 4) Nhận xét: Trong cách giải toán ta chứng minh AB  AC cách tạo hai tam giác chứa hai cạnh AB AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK , việc chứng minh cịn sử dụng thêm tốn phụ là: Trong tam giác, đường thẳng qua trung điểm cạnh thứ cạnh thứ hai song song với cạnh thử ba, kiến thức đường trung bình học sinh nghiên cứu chương trình tốn phạm vi kiến thức lớp chứng minh được, việc chứng minh dành cho học sinh giỏi, có sử dụng kết tốn mà khơng chứng minh lại muốn nhấn mạnh vào việc vẽ trung điểm đoạn thẳng  C  ; Chứng minh rằng: AB  AC ? (Giải cách vận dụng Bài tốn 2: Cho tam giác ABC có B trường hợp góc - cạnh - góc hai tam giác) 1) Phân tích tốn:  C  Yêu cầu: Chứng minh rằng: AB  AC Bài cho: Tam giác ABC có B TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10