Hsg t7 cđ11 các bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

ĐS7.CHUYÊN ĐỀ 11 – CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN,TỈ LỆ NGHỊCH HSG T7 - CĐ11 - CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN, TỈ LỆ NGHỊCH PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT: 1.Đại lượng tỉ lệ thuận a Định nghĩa: Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức: y ax( a 0) ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a Chú ý: Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a x tỉ lệ thuận với y theo hệ số a b Tính chất: * y1 y y3 = = = = a x1 x x3 ; x1 y1 x3 y3 = = x y x y ; … 2 * ; Đại lượng tỉ lệ nghịch a Định nghĩa: Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo cơng thức khác 0) ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a y a x hay xy a ( a số Chú ý: Nều y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số a x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số a b Tính chất: * x1y1 = x y = x3y3 = = a x1 y x y = = x y x y ; … ; * Chú ý : x y z = = + Nếu x; y; z tỉ lệ thuận với a; b; c ta có : a b c ax = by = cz Û + Nều x; y; z tỉ lệ nghịch với a; b; c ta có: x y z = = 1 a b c + Đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ a1 ( a1 0 ), đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng z theo hệ số tỉ lệ a2 ( a2 0 ), x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ a1.a2 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCTrang ĐS7.CHUYÊN ĐỀ 11 – CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN,TỈ LỆ NGHỊCH + Đại lượng x tỉ lệ nghịch với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ a1 ( a1 0 ), đại lượng y tỉ lệ nghịch với a1 đại lượng z theo hệ số tỉ lệ a2 ( a2 0 ), x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ a2 PHẦN II DẠNG BÀI TỐN CĨ LỜI VĂN DẠNG I: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1: Xác định tương quan tỉ lệ thuận đại lượng Bước 2: Áp dụng tính chất tỉ số giá trị hai đại lượng tỉ lệ thuận B BÀI TẬP Bài 1: Hai lớp A 7B lao động trồng Biết tỉ số số trồng lớp A 7B 0,8 Lớp 7B trồng nhiều lớp A 20 Tính số lớp trồng Lời giải: Gọi x, y theo thứ tự số trông lớp A, B Ta có: y  x 20và x x y 0,8   y Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : Vậy số lớp A , 7B 80 cây, 100 A , 7B , 7C trồng 152 xung quanh trường Biết số lớp A trồng Bài 2: Ba lớp số lớp 7B trồng số lớp 7C trồng Hỏi lớp trồng cây? Lời giải Gọi số trồng lớp A 7B , 7C theo thứ tự x, y, z ( x, y, z nguyên dương) Ta có: 2 x y z (1) x  y  z 152 (2) TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCTrang ĐS7.CHUYÊN ĐỀ 11 – CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN,TỈ LỆ NGHỊCH x y 3z x y z   hay   15 14 Biến đổi (1), ta có: 3.6 5.6 7.6 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z x  y  z 152     4 15 14  15  14 38 Vậy x 9.4 36; y 4.15 60; z 4.14 56; Trả lời: Lớp A,7 B,7C trồng số là: 36;60;56 số học sinh Bài 3: Học sinh lớp A chia thành ba loại giỏi, khá, trung bình Biết số học sinh giỏi số học sinh trung bình, số học sinh giỏi số học sinh em Tính số học sinh giỏi, , trung bình lớp 7A? Lời giải: Gọi số học sinh giỏi, khá, trung bình lớp 7A a, b, c ta có: 3a b 2c a b c      12 12 15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: Vậy số học sinh giỏi, khá, trung bình lớp A 8;12;15 em Bài 4: Ba lớp A,7 B,7C có tất 114 học sinh Biết số học sinh lớp A số học sinh lớp 7B , số học sinh lớp 7B , số học sinh lớp 7C Tính số học sinh lớp Lời giải Gọi số học sinh ba lớp A,7 B,7C a, b, c a  b, b  c a  b  c 114 Theo đề ta có: TÀI LIỆU NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCTrang ĐS7.CHUYÊN ĐỀ 11 – CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN,TỈ LỆ NGHỊCH a a b   b b b c   c a b c    a b  b c b c    a b c a  b  c 114     6 Theo tính chất dãy tỉ số :   19 Do a 5.6 30; b 6.6 36; c 8.6 48 Vậy số học sinh ba lớp A,7 B,7C 30,36,48 học sinh Bài Ba lớp A,7 B,7C tham gia trồng đầu xuân; số lớp trồng tỷ lệ với 3;5;8 hai lần số lớp A cộng với bốn lần số lớp 7B số lớp 7C 108 Tính số lớp trồng Lời giải  Gọi a, b, c số trồng ba lớp A,7 B,7C (a, b, c  Z ) a b c   Số ba lớp trồng tỷ lệ với 3;5;8 nên ta có: Hai hai lần số lớp A cộng với bốn lần số lớp 7B số lớp 7C 108 nên ta có 2a  4b  c 108 a b c 2a 4b     Ta có: 20 a b c 2a 4b 2a  4b  c 108       6 18 Áp dụng tính chất dãy tỷ số ta có: 20  20  Số lớp 7A trồng 18 Số lớp 7B trồng 30 Số lớp 7C trồng 48 Bài Ba bạn An, Bình, Cường có tổng số viên bi 74 Biết số viên bi An Bình tỉ lệ với ; số viên bi Bình Cường tỉ lệ với Tính số viên bi bạn Lời giải Gọi số viên bi An, Bình, Cường a, b, c Vì tổng số viên bi ba bạn 74 nên a  b  c 74 a b a b    10 12 Vì số viên bi An Bình tỉ lệ với nên TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCTrang ĐS7.CHUYÊN ĐỀ 11 – CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN,TỈ LỆ NGHỊCH b c b c    Vì số viên bi Bình Cường tỉ lệ với nên 12 15 a b c a b c 74     2 Từ ta có: 10 12 15 10  12  15 37 Suy a 20; b 24; c 30 Bài 7: Tìm số đo góc ABC , biết số đo góc tỉ lệ với 2,3,4 Lời giải    Trong ABC ta có: A  B  C 180 A B   C   Theo giả thiết ta có: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:  A 0  20  A 40    B  600   20  B   C A B  C A  B  C  1800  800 200  C      20  234    Vậy A 40 , B 60 , C 80 Bài 8: i 8: Hiện anh em tuổi Tuổi anh cách năm tuổi em sau năm tỉ lệ với Hỏi anh tuổi, em tuổi Lời giải Gọi tuổi anh x,( x  0) tuổi em y,( y  0) → tuổi anh cách năm x  Tuổi em sau năm là: y  x−5 y +8 = Theo ta có : x  y 8 x  y 8 x  5 y  8 5      5 3 3 1 tính chất dãy tỷ số ta có: Áp dụng  x 20; y 12 VËy ti anh hiƯn lµ 20 ti em lµ 12 tuổi TÀI LIỆU NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCTrang ĐS7.CHUYÊN ĐỀ 11 – CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN,TỈ LỆ NGHỊCH : : Bài 9: Số A chia thành số tỉ lệ theo Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A Lời giải 24 45 10 : :  : : 24 : 45 :10 Ta có: 60 60 60 Giả sử số A chia thành phần x, y, z x y z    x, y , z Theo đề ta có : 24 45 10 dấu x2 y2 z2 x2  y2  z 24309     9 32 2 2 2 45 10 24  45  10 2701 Và 24  x 242.32 72  x 72 Học sinh tính tương tự: y 135; z 30 Vậy A 237 A  237 0,5;1 ;2 Tìm số M biết tổng bình phương Bài 10 Số M chia thành ba số tỉ lệ với ba số 4660 Lời giải 1 20 27 0,5 :1 :  : :  : : 6 :10 : 27 4 12 12 12 Ta có: Giả sử M chia thành số x, y, z Theo ta có: x y z x2 y2 z2 x2  y2  z 4660    2 2 2  4 22 2 20 27 20 27  20  27 1165 2 2  x 12  x 12; y 40  y 40; z 542  z 54 Vậy M 12  40  54 106 M  12  40  54  106 213 Bài 11: Ba phân số có tổng 70 , tử chúng tỉ lệ với 3,4,5, mẫu chúng tỉ lệ với 5;1;2 Tìm ba phân số Lời giải Gọi phân số cần tìm Ta có:  a a b c  213 70 a, b, c a : b : c  : : 6 : 40 : 25 12 15 ,b  ,c  35 14 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCTrang ĐS7.CHUYÊN ĐỀ 11 – CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN,TỈ LỆ NGHỊCH 12 15 ; ; 35 14 Vậy ba số cần tìm là: Bài 12: Tìm phân số có tổng chúng 70 , tử chúng tỉ lệ với 3; 4; mẫu tương ứng chúng tỉ lệ với 5;1;2 Lời giải a b c ; ; x y z ta có Gọi phân số cần tìm a b c a b c x y z   1   ;   x y z 70 5 a b c x y z a x b y c z :  :  :  5  Theo tính chất dãy tỉ số ta có: a b c x y z 5 = a b c   x y z  70 a b c 5 71  ;  ;    10 =  x 35 y z 14 ; ; Vậy phân số cần tìm 35 14 Bài 13: Học sinh khối trường gồm lớp tham gia trồng Lớp A trồng toàn 32,5% số Biết số lớp 7B 7C trồng theo tỉ lệ 1,5 1,2 Hỏi số lớp trồng bao nhiêu, biết số lớp A rồng số lớp 7B trồng 120 Lời giải Gọi số ba lớp trồng a; b; c ( cây, a; b; c  N*) Theo đề ta có b : c 1,5:1, b  a 120 a 32,5%.(a  b  c) Vậy lớp trồng số 2400 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCTrang ĐS7.CHUYÊN ĐỀ 11 – CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN,TỈ LỆ NGHỊCH Bài 14: Ba lớp trường K 1 A1 , số học sinh có tất 147 học sinh Nếu đưa số học sinh lớp lớp A2 số học sinh lớp A3 thi học sinh giỏi cấp huyện số học sinh cịn lại ba lớp Tính tổng số học sinh lớp trường K Lời giải: a, b, c  a, b, c   * Gọi tổng số học sinh A1 ,7 A2 ,7 A3 Theo ta có: Từ (*)  a 1 a b  b c  c(*) a  b  c 147 2a 3b 4c 12a 12b 12c a b c         18 16 15 18 16 15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c a b c 147     3  a 54, b 48, c 45 18 16 15 18  16  15 49 Vậy tổng số học sinh A1,7 A2 ,7 A3 54;48;45 Bài 15: Ba lớp 7A, 7B, 7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5;6;7, sau chia theo tỉ lệ 4,5,6 nên có lớp nhận nhiều gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua Lời giải: Gọi tổng số gói tăm lớp mua x (x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu a, b, c a b c a b c x 5x 6x x 7x      a  ;b   ;c  (1) 18 18 18 18 18 Ta có: Số gói tăm sau chia cho lớp a’, b’, c’, ta có: a' b' c' a b c x 4x 5x 6x      a '  ; b '  ; c '  (2) 15 15 15 15 15 So sánh (1) (2) ta có a  a '; b b '; c  c ' nên lớp 7C nhận nhiều lúc đầu ,  c  c ' 4  6x 7x x  4  4  x 360 15 18 90 Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói Bài 16 : Nhà trường dự định chia viết cho lớp A;7 B;7C theo tỉ lệ số học sinh 7;6;5 Nhưng sau có học sinh thuyển chuyển lớp nên phải chia lại theo tỉ lệ 6;5;4 Như có lớp nhận theo dự định 12 Tính số lớp nhận TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCTrang ĐS7.CHUYÊN ĐỀ 11 – CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN,TỈ LỆ NGHỊCH Lời giải - Gọi số lớp A;7 B;7C nhận theo dự định tương ứng x; y; z số nhận thực tế a; b; c (với x; y; z; a; b; c thuộc N*) x y z x yz x y z x yz        18 35 30 25 90 Ta có : a b c a b c a b c a b c        15 36 30 24 90 - Do a  b  c x  y  z x a  Nên ta có 35 36 x  a nên số lớp 7A nhân nhiều so với dự định Số lớp 7B nhận không đổi Số lớp 7C nhận so với dự định, suy z  c 12 Từ suy 7A nhận 432 vở, lớp 7B nhận 360 vở, lớp 7C nhận 288 Bài 17: Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội I , II , III tỉ lệ với 7;6;5 Nhưng sau số người đội thay đổi nên chia lại tỉ lệ 6;5;4 Như có đội làm nhiều so với dự định 6m Tính tổng số đất phân chia cho đội Lời giải Gọi tổng số đất phân chia cho đội x  m3  , x  a, b, c  m3  , a, b, c  I , II , III Số đất dự định chia cho đội a b c a b c x 7x 6x 5x      a  ; b  ; c  (1) 18 18 18 18 18 Ta có a ', b ', c '  m3  I , II , III Số đất sau chia cho đội ĐK: a ', b ', c '  a ' b ' c ' a ' b ' c ' x 6x 5x 4x      a '  ; b '  ; c '  (2) 15 15 15 15 15 Ta có So sánh (1) (2) ta có: a  a ', b b ', c  c ' nên đội I nhận nhiều lúc đầu 7x 6x x  6  4  x 360 90 Vì a  a ' 6 hay 18 15 Vậy tổng số đất phân chia cho đội 360m đất Bài 18 : Hai ô tô khởi hành lúc từ hai địa điểm A B, ngược chiều Sau gặp lần thứ nhất, ô tô xuất phát từ A tiếp tục đến B trở lại A ngay, ô tô xuất phát từ B tiếp tục đến A trở lại B Hai ô tô gặp lần thứ hai C quãng đường AC TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCTrang ĐS7.CHUYÊN ĐỀ 11 – CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN,TỈ LỆ NGHỊCH dài quãng đường BC 50km Tính quãng đường AB biết vận tốc xe từ A vận tốc xe từ B tỉ lệ thuận với Lời giải Khi xe gặp lần thứ C thì: Quãng đường xe xuất phát từ A là: AB  BC (1) Quãng đường xe xuất phát từ B là: (2) BA  AC Quãng đường xe đến gặp C là: ( AB  AC )  ( BA  AC ) 3 AB Trong thời gian, quãng đường vận tốc đại lượng tỉ lệ thuận Vì vận tốc xe từ A B tỉ lệ thuận với nên quãng đường xe từ A B tỉ lệ thuận với Þ Khi gặp C thì: 4 3AB  AB Quãng đường xe xuất phát từ A là:  5 3AB  AB Quãng đường xe xuất phát từ B là:  Þ AB  AB  AB 3 Quãng đường xe từ B quãng đường xe từ A là: (3) Þ Từ (1), (2), (3) (BA+AC)–(AB+BC)= 1  (AB  AC)  (AB  BC)  AB  AC  BC  AB 3 AB 50 Theo ra: quãng đường AC dài quãng đường BC 50km nên ta có: Þ AB = 150(km) Vậy: AB =150(km) Bài 19: Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích hình thứ diện tích hình thứ hai tỉ lệ với , diện tích hình thứ hai diện tích hình thứ ba tỉ lệ với hình thứ hình thứ hai có chiều dài tổng chiều rộng chúng 27cm, hình thứ hai hình thứ ba có chiều rộng, chiều dài hình thứ ba 24cm Tính diện tích hình chữ nhật Lời giải: Gọi diện tích ba hình chữ nhật S1 , S2 , S3 , chiều dài, chiều rộng tương ứng d1 , r1 , d , r2 , d , r3 theo đề ta có: TÀI LIỆU NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCTrang 10