Cđ17 vẽ thêm yếu tố phụ

CHUN ĐỀ: KẺ THÊM HÌNH PHỤ PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT Vẽ thêm hình phụ giải tốn có nhiều hướng sau: Đây phương pháp đặc biệt, nội dung tạo thêm vào hình vẽ cạnh nhau, góc giúp cho việc giải tốn thuận lợi Cách vẽ đường phụ toán nhằm tạo đoạn thẳng thứ ba hai đoạn thẳng cần chứng minh nhau, cách hay sử dụng nhiều toán nên giáo viên cần lưu ý cho học sinh nhớ để vận dụng Cách giải áp dụng để giải số tốn hay chương trình THCS Kĩ thuật vẽ thêm yếu tố phụ nằm nhóm phương pháp chung gọi phương pháp - Tam giác nhau, sau ta nghiên cứu thêm phương pháp hay chưa khai thác nhiều giải toán Vẽ thêm đường song song nhằm làm xuất hai góc nhau, hai góc bù nhau, tứ giác đặc biệt, tam giác có đường thẳng song song với cạnh Khơng phải có cách vẽ thêm trung điểm đoạn thẳng ta có hai đoạn thẳng mà ta vẽ đoạn thẳng với đoạn thẳng có Tuy nhiên vẽ đoạn thẳng cách vu vơ khơng có lợi nhiều mà ta lên vẽ đoạn thẳng đường thẳng có ta tận dụng thêm tính chất đường thẳng để có góc hai đường thẳng cắt có góc đối đỉnh hay hai đường thẳng song song có góc vị trí đặc biệt Việc vẽ thêm hình phụ để xuất tam giác yếu tố vẽ thêm phải có lợi bước chứng minh sau, vẽ thêm hình để có đoạn thẳng góc Việc vẽ trung điểm hay phân giác cách vẽ thêm đơn giản đáp ứng yêu cầu Để giải tốt tốn tính số đo góc học sinh tối thiểu phải nắm vững kiến thức sau:  Trong tam giác: - Tổng số đo ba góc tam giác 180 52 - Biết hai góc ta xác định góc cịn lại - Mỗi góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với  Trong tam giác cân: Biết góc ta xác định hai góc cịn lại  Trong tam giác vng: Biết góc nhọn, xác định góc cịn lại Cạnh góc vng nửa cạnh huyền góc đối diện với cạnh góc vng có số đo 30  Trong tam giác vng cân: góc nhọn có số đo 45  Trong tam giác đều: góc có số đo 60  Đường phân giác góc chia góc hai góc có số đo  Hai đường phân giác hai góc kề bù tạo thành góc có số đo 90  Hai đường phân giác hai góc kề phụ tạo thành góc có số đo 90  Hai góc đối đỉnh  Tính chất góc so le trong, so le ngồi, đồng vị, hai góc cung phía, … Khi giải tốn tính số đo góc cần ý: - Vẽ hình xác, với số liệu đề để có hường chứng minh - Phát tam giác đều, “nửa tam giác đều”, tam giác vuông cân, tam giác cân hình vẽ - Chú ý liên hệ góc tam giác, liên hệ cạnh góc tam giác, phát cặp tam giác Vẽ đường phụ hợp lí làm xuất hiệ góc đặc biệt, cặp góc Trong đường phụ vẽ thêm, vẽ đường phân giác, đường vng góc, tam giác đều, … Trong thực tế, để giải tốn tính số đo góc ta thường xét góc nằm mối liên hệ với góc hình đặc biệt nêu xét góc tương ứng suy kết Tuy nhiên, đứng trước tốn khơng phải lúc gặp thuận lợi, đưa trường hợp mà có nhiều địi hỏi người đọc phải tạo "điểm sáng bất ngờ"có thể đường kẻ phụ, hình vẽ phụ… từ mối quan hệ giả thiết, kết luận kiến thức, kỹ học trước giải 52 Chúng ta xem “đường kẻ phụ”, “hình vẽ phụ” “chìa khố “ thực thụ để giải dạng toán PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Nối hai điểm có sẵn hình vẽ vẽ thêm giao điểm hai đường thẳng Bài 1: Cho tam giác ABC có hai đỉnh A C C thuộc nửa mặt phẳng có bờ đường trung trực O Chứng minh CA  CB B A Lời giải Cách 1: Gọi O giao điểm đường trung trực AB với BC   O thuộc trung trực AB nên OA OB  OAB OBA     Mà OAB  BAC  CBA  BAC  CA  CB Cách 2: Trong tam giác có CA  CO  OA CO  OB CB Bài 1: Cho tam giác cao có AH đường A E   Tia phân giác BAH 2C góc B cắt giác góc E Tia phân cắt I I B H Tính AHE chứng minh tam giác EAI tam giác vuông cân Lời giải 52 C    Nối H với E Ta có BAI IAH  ACH , ACH  HAC 90    IAH  HAC 90  AE  AI Mà phân giác trong, suy tia AE phân giác ngoài, phân giác Suy phân giác  AHE 90 : 45    ABI  BAH  AHB  90 45 Ta có : AIE BAI   Vậy AIE vuông cân Bài 1:  120 , Phân Cho tam giác ABC có A x A giác AD, BE, CF E F a) Chứng minh DE phân giác ngồi tam giác ABD b) Tính góc B D C Lời giải  a) Nối D với E , Kẻ Ax tia đối tia AB Có AC tia phân giác DAx Mà phân giác ABD , Suy DE phân giác ABD , b) Kẻ Ay phân giác ABC , Chứng minh tương tự ý a ta có DF tia phân giác ADC Mà DE phân giác ADC đỉnh D nên  DE  DF Tức EDF 90 Bài 1: 52 Cho tam giác ABC vuông A , đường A cao DE , Gọi E , I , K theo thứ tự giao điểm đường phân giác tam F E D K I giác ABC , ABH , ACH Chứng minh B H AK vng góc với BE C Lời giải Gọi D giao điểm Ta có ABH HAC  ( phụ với ) 1 ABD DAC   ABH  HAC 2 1   ABD DAC  ABH  AHC 2   Mà DAC  BAK 90 nên ABD  BAK  90 Suy ADB 90 Suy ID đường cao tam giác AIK Tương tự ta có : gọi F giao điểm CE AI KF đường cao tam giác AIK Suy E trực tâm tam giác AIK Vậy AE vng góc với IK Bài 1: 52 Cho tam giác ABC , đường trung A tuyến BD, CE Chứng minh : BD  CE  3 AB  AC 2 E D G C B Lời giải Trong ABC có: BC  AB  AC Gọi G giao điểm hai đường trung tuyến Trong có: BG  GC  BC 3 3 Ta lại có BG  BD, CG  CE BG  BD, CG  CE 3 3 3 Nên BD  CE  BC  BD  CE  AB  BC  AB   BC  AB   AC Bài 1: Cho tam giác ABC Trên tia đối A BA CA lấy điểm M N cho BM CN Gọi I giao điểm K Q MC BN O a) Chứng minh: MI NI B C b) Tia phân giác góc AMC cắt AI AN theo thứ tự O K BO cắt AN M N Q CMR: Tam giác OKQ cân Lời giải a) Chứng minh hai tam giác ABN ACM   Tam giác AMN Suy IMN có IMN INM Nên IMN tam giác cân, hay IM IN b) Nối C với O ta có AI phân giác, MK phân giác tam giác AMC , nên CO phân giác tam giác ACM 52    Ta có OKQ 60  AMO, OQK 60  OBC  Ta cần chứng minh AMO OBC Thật vậy:   (Do AO phân giác trung trực tam giác ABC OB OC OBC OCB          OCB OCQ  BCM  2.OCB OCQ  OCB  BCM 60  BCM 60  IMN   60  60  AMO 2 AMO    OCB OCQ  BCM  2OCB 2 AMO    OBC OCB  AMO   Suy OKQ OQK nên tam giác OKQ cân Bài 1: Cho hai điểm A B nằm phía đường thẳng d Gọi C trung điểm AB Kẻ AD, BE , CH vuông góc với d Cho biết AD 4cm, BE 6cm Tính CH ? B C A K d D H E Lời giải Gọi K giao điểm AE , ta tính CK 3, KH 2  CH 5cm Bài 1: 52 Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm A BC , I trung điểm AM, D D I giao điểm CI Chứng minh AD  DB B C M Lời giải Gọi K trung điểm Chứng minh MK / /CD , chứng minh AD DK suy AD  DB Cho tam giác Bài 1: , điểm D thuộc cạnh A BC cho BD  DC Kẻ BH CK vng góc với AD Chứng minh : H B D M C N BH  CK K Lời giải Gọi M trung điểm DC , N trung điểm DK Chứng minh 1 MN  CK , MN BH Suy ra: BH  CK 2 Bài 1: 52 Cho ABC vuông A có AC 4, AB 6 Trên cạnh BC lấy điểm D cho CD 2 Từ D kẻ đường thẳng vng góc với BC , đường thẳng cắt AC E D M N A B Tính DE E Lời giải Gọi M trung điểm AC , kẻ đường vng góc với AC cắt BC N , chứng minh DE MN , MN  AB 3 Bài 1: Cho  120 đường phân giác có A K AD Đường phân giác góc ngồi C cắt đường thẳng K Gọi E giao điểm của DK AC Tính số đo góc BED A E C D B Lời giải Trong tam giác ADC có AK , CK hai phân giác nên DK phân giác trong, Trong tam giác ABC có AC , DE phân giác ngồi nên BE phân giác Nên: 1    BED EDC  EBD  ADC  ABC  BAD 30o 2   Bài 1: 52  Cho xOz 120 , Oy tia phân giác y t góc xOz , Ot tia phân giác  xOy M điểm thuộc miền yOz , Vẽ MA  Ox, MB  Oy , MC  Ot Tính độ B x C E M I H K A O dài OC theo MA MB ? z Lời giải Gọi E , I theo thứ tự giao điểm MC với Oy, Ox ta có tam giác EOI đều, Vẽ EH  MA, EK  OI chứng minh MH MB, EK OC nên MA  MB MA  MH HA EK OC Dạng 2: Vẽ trung điểm đoạn thẳng, tia phân giác góc Phương pháp: Việc vẽ thêm hình để xuất tam giác vẽ thêm yếu tố phải có lợi bước chứng minh sau, vẽ thêm hình để có 52