Toán hình là môn học mà đại đa số học sinh đều cho đây là môn học khó. Vì đây là môn học không chỉ nhằm rèn luyện tư duy, trí thông minh, sáng tạo cho mỗi học sinh mà nó còn là một môn khoa học cơ bản tạo tiền đề vững chắc cho các môn học khác, tạo vốn sống cho học sinh trong tương lai. Làm thế nào để học sinh thích thú học toán, nhất là môn hình học, đây là vấn đề mà mỗi giáo viên dạy toán cần phải suy nghĩ và quan tâm? Từ những yêu cầu trên, tôi nhận thấy rằng nếu chúng ta chỉ dạy hình học bằng cách cung cấp cho học sinh những kiến thức trong sách giáo khoa thì việc học toán sẽ trở nên nhạc nhẽo, chưa thật đạt yêu cầu. Việc cung cấp kiến thức SGK rồi giải bài tập không phải là việc khó, nhưng thật ra sau mỗi bài toán có biết bao điều lí thú. Muốn vậy, giáo viên không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức cơ bản của môn hình học mà còn phải cung cấp cho học sinh những phương pháp để giải các dạng bài tập khác nhau. Từ đó, tạo cho học sinh niềm say mê, hứng thú khi học bộ môn mà người ta hay gọi là “môn học khô khan” này. Không, toán học không khô khan mà đằng sau nó có bao nhiêu điều thú vị, mà đặc biệt là đối với bộ môn hình học một môn học trừu tượng. Trong thực tế khi giải các bài tập hình học ta thấy trừ một số bài dễ ( ở dạng vận dụng trực tiếp các kiến thức vừa học) thì phần nhiều ta phải vẽ thêm đường phụ thì mới có thể tìm được lời giải cho bài toán. Tuy nhiên việc vẽ thêm đường phụ như thế nào để bài toán có được lời giải ngắn gọn và hay lại là một vấn đề khiến cho không ít giáo viên lúng túng không xác định được phương hướng, đôi khi cách giải chỉ mang tính mò mẫn, thiếu logic không giúp học sinh xác định được phương pháp giải cụ thể, do đó gây mất hứng thú đối với bộ môn của cả người dạy và người học. Với nội dung nghiên cứu “Kĩ thuật vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học phẳng THCS” tôi đã xác định một số kĩ thuật cơ bản: Kĩ thuật 1: Điểm Kĩ thuật 2: Đường thẳng + Vẽ thêm đường vuông góc + Vẽ thêm đường song song + Vẽ thêm tia phân giác của một góc + Vẽ thêm đường kính của đường tròn + Vẽ thêm tiếp tuyến của đường tròn + Vẽ thêm tiếp tuyến chung của hai đường tròn + Vẽ thêm dây chung của hai đường tròn cắt nhau Kĩ thuật 3: Tam giác vuông, tam giác đều, hình bình hành, đường tròn + Vẽ thêm tam giác vuông cân, tam giác đều + Vẽ thêm hình bình hành + Vẽ thêm đường tròn Kĩ thuật 4: Hình duy nhất
SÁNG KIẾN: “Kĩ thuật vẽ thêm yếu tố phụ hình học phẳng THCS” ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN: “Kĩ thuật vẽ thêm yếu tố phụ hình học phẳng THCS” A ĐẶT VẤN ĐỀ: I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: 1/ Cơ sở lí luận: Tốn học mơn khoa học mang tính trừu tượng, mơ hình ứng dụng rộng rãi gần gũi lĩnh vực đời sống xã hội, khoa học lí thuyết khoa học ứng dụng Tốn học mơn học giữ vai trị quan trọng suốt bậc học phổ thơng Tuy nhiên, mơn học khó, khơ khan địi hỏi học sinh phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh tri thức cho Chính vậy, giáo viên dạy tốn việc tìm hiểu cấu trúc chương trình, nội dung sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học Để từ tìm biện pháp dạy học có hiệu việc truyền thụ kiến thức Tốn học cho học sinh cơng việc cần phải làm thường xuyên Dạy học sinh học Tốn khơng cung cấp kiến thức bản, dạy học sinh giải tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải dạng tốn, từ giúp em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hồn thiện nhân cách Giải tốn vấn đề trung tâm phương pháp giảng dạy, lẽ việc giải toán việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt học sinh bậc THCS việc giải tốn hình thức chủ yếu việc học tốn Khi giải tốn, bạn khơng lần mắc phải sai lầm đáng tiếc Trong chuyên mục “Sai đâu ? Sửa cho đúng”, bạn chứng kiến nhiều lời giải sai lầm Nhà sư phạm tốn tiếng G Polya nói : “Con người phải biết học sai lầm thiếu sót mình” A.A Stoliar cịn nhấn mạnh: “Khơng tiếc thời gian để phân tích học sai lầm học sinh” Khi chứng minh hình học, trừ số dễ, phần nhiều phải vẽ thêm đường phụ chứng minh Vì đường phụ có nhiều loại tùy thuộc vào tốn nên khơng có phương pháp vẽ cố định, việc khó GV: PHẠM ĐÌNH TRƯỞNG TRANG TRƯỜNG THCS MỸ CÁT SÁNG KIẾN: “Kĩ thuật vẽ thêm yếu tố phụ hình học phẳng THCS” lúc chứng minh Do gặp toán phải vẽ đường phụ, nhiều học sinh vẽ vẽ khơng hợp lí dẫn đến khơng giải toán Làm để định hướng cho học sinh cách vẽ đường phụ cách hợp lí để giúp ích việc chứng minh hình học điều quan trọng, có ý nghĩa thiết thực dạy học học mơn hình học nhằm nâng cao hiệu giảng dạy tạo nguồn học sinh giỏi 2/ sở thực tiễn: Bài tốn hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ tốn khó với học sinh THCS Bởi để giải tốn dạng khơng yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà cịn địi hỏi học sinh cần có kỹ giải tốn định, có sáng tạo định Để tạo đường phụ liên kết tường minh mối quan hệ toán học điều kiện cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) địi hỏi phải thực thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hố, đặc biệt hố, Hay nói cách khác giải toán phải kẻ thêm đường phụ sáng tạo nhỏ Kẻ thêm đường phụ để giải tốn hình mặt phương pháp biểu mức độ cao kỹ năng, thể tình hình học phù hợp với định nghĩa, định lý hay cịn gọi quy lạ quen khoảng cách từ lạ đến quen xa mức độ sáng tạo lớn Do việc học tốt tốn hình có lời giải phải kẻ thêm đường phụ có tác dụng lớn việc phát triển lực trí tuệ tư khoa học học sinh Giải tốn hình có kẻ thêm đường phụ địi hỏi phải thực nhiều thao tác tư Vì địi hỏi học sinh phải rèn luyện mặt tư hình học thuật phát triển Do định lý sách giáo khoa, để chứng minh định lý phải sử dụng việc vẽ đường phụ sách giáo khoa (SGK) đề cập đến, việc làm ví dụ tốn lớp có loại tốn dạng Tuy nhiên tập SGK đưa nhiều dạng toán tập nâng cao tốn khó hay lại tốn giải cần phải kẻ thêm đường phụ Trên thực tế, học sinh giải toán dạng cần phải có nhiều thời gian nghiên cứu Do việc sâu vào nghiên cứu tìm tịi cách giải tốn có vẽ thêm đường phụ học sinh cịn Cịn đa số học sinh việc nắm vững mục đích, yêu cầu vẽ đường kẻ phụ kiến thức số loại đường phụ hạn chế Các tài liệu viết riêng loại toán việc tham khảo học sinh cịn gặp nhiều khó khăn GV: PHẠM ĐÌNH TRƯỞNG TRANG TRƯỜNG THCS MỸ CÁT SÁNG KIẾN: “Kĩ thuật vẽ thêm yếu tố phụ hình học phẳng THCS” Xuất phát từ lí nêu trên, qua trình trực tiếp giảng dạy, nghiên cứu, tích lũy tham khảo, trao đổi với đồng nghiệp, thân tơi nhận thấy cần có giải pháp thiết thực xin đề xuất quan điểm thân việc chọn đề tài “Kĩ thuật vẽ thêm yếu tố phụ hình học phẳng THCS” II/ XÁC ĐỊNH MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: - Trên sở kinh nghiệm giảng dạy thực tiễn học tập học sinh, tìm phương pháp giải toán cách ưu việt Đặc biệt tránh sai sót ngộ nhận giải toán - Đưa số sai lầm học sinh thường gặp giải hình học - Sơ lược số kỹ thuật thường dùng giải toán vẽ thêm yếu tố phụ hình học phẳng, phù hợp với đối tượng học sinh THCS Từ đó, kích thích lịng say mê học Tốn; thúc đẩy ý thức tự học, tự nghiên cứu, sở tiền đề giúp cho học sinh tiếp tục phát triển tư lớp học bậc học Giáo viên áp dụng vào giảng dạy nhằm nâng cao hiệu dạy học mơn Tốn (phân mơn hình học); phát hiện, bồi dưỡng học sinh giỏi III/ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Nội dung đề tài nghiên cứu phạm vi dạy học mơn Tốn bậc Trung học sở, tảng sở tập hình học có thêm yếu tố phụ, phù hợp với điều kiện thực tế trường THCS Mỹ Cát Cụ thể khối lớp 6, 7, 8, đặc biệt học sinh tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi trường năm qua IV/ ĐỐI TƯỢNG KHẢO SÁT, THỰC NGHIỆM: Học sinh trường THCS Mỹ Cát, lớp 6, 7, 8, từ năm học 2015 – 2016 đến năm học 2017 – 2018 V/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: - Nghiên cứu tài liệu: Giáo trình phương pháp dạy học Tốn Các tài liệu liên quan đến giải tốn hình học có thêm yếu tố phụ - Sưu tầm toán hình học đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh Bình Định qua mạng có liên quan đến yếu tố phụ - Các tiết dạy học lớp mà thân trực tiếp giảng dạy - Qua tiết thao giảng trường ngành tổ chức - Qua công tác dự đồng nghiệp nhà trường - Qua trình học học sinh GV: PHẠM ĐÌNH TRƯỞNG TRANG TRƯỜNG THCS MỸ CÁT SÁNG KIẾN: “Kĩ thuật vẽ thêm yếu tố phụ hình học phẳng THCS” VI/ PHẠM VI VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU: 1/ Phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung nghiên cứu tập hình học có liên quan đến yếu tố phụ hình học phẳng THCS 2/ Thời gian nghiên cứu: - Định hướng khái quát để nghiên cứu đề tài từ đầu năm học 2015 – 2016 khảo sát thực nghiệm - Năm học 2016 – 2017: + Áp dụng thực nghiệm tiết dạy chương trình hình học + Đánh giá, rút kinh nghiệm kết học tập học sinh qua việc kiểm tra thường xuyên, kiểm tra định kì, kiểm tra học kì + Hồn chỉnh chun đề giáo viên tổ thảo luận góp ý rút kinh nghiệm - Năm học 2017 – 2018 hoàn chỉnh thành đề tài: “Kĩ thuật vẽ thêm yếu tố phụ hình học phẳng THCS” GV: PHẠM ĐÌNH TRƯỞNG TRANG TRƯỜNG THCS MỸ CÁT SÁNG KIẾN: “Kĩ thuật vẽ thêm yếu tố phụ hình học phẳng THCS” B NỘI DUNG I/ NHỮNG NỘI DUNG LÝ LUẬN CÓ LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: Tốn hình môn học mà đại đa số học sinh cho mơn học khó Vì mơn học khơng nhằm rèn luyện tư duy, trí thơng minh, sáng tạo cho học sinh mà cịn môn khoa học tạo tiền đề vững cho môn học khác, tạo vốn sống cho học sinh tương lai Làm để học sinh thích thú học tốn, mơn hình học, vấn đề mà giáo viên dạy toán cần phải suy nghĩ quan tâm? Từ yêu cầu trên, nhận thấy dạy hình học cách cung cấp cho học sinh kiến thức sách giáo khoa việc học toán trở nên nhạc nhẽo, chưa thật đạt yêu cầu Việc cung cấp kiến thức SGK giải tập khơng phải việc khó, thật sau tốn có điều lí thú Muốn vậy, giáo viên không truyền thụ cho học sinh kiến thức mơn hình học mà phải cung cấp cho học sinh phương pháp để giải dạng tập khác Từ đó, tạo cho học sinh niềm say mê, hứng thú học môn mà người ta hay gọi “mơn học khơ khan” Khơng, tốn học khơng khơ khan mà đằng sau có điều thú vị, mà đặc biệt mơn hình học - môn học trừu tượng Trong thực tế giải tập hình học ta thấy trừ số dễ ( dạng vận dụng trực tiếp kiến thức vừa học) phần nhiều ta phải vẽ thêm đường phụ tìm lời giải cho toán Tuy nhiên việc vẽ thêm đường phụ để tốn có lời giải ngắn gọn hay lại vấn đề khiến cho khơng giáo viên lúng túng không xác định phương hướng, cách giải mang tính mị mẫn, thiếu logic khơng giúp học sinh xác định phương pháp giải cụ thể, gây hứng thú mơn người dạy người học II/ THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: Trong trình dạy học sinh giải tốn hình học, tơi thấy học sinh thường gặp số khó khăn sau đây: - Khó khăn việc giải tập đòi hỏi phải vẽ thêm đường phụ - Chưa biết suy luận để thấy cần thiết phải vẽ thêm đường phụ - Vẽ đường phụ cịn tuỳ tiện làm hình vẽ trở nên rối, gây khó khăn cho việc giải tốn GV: PHẠM ĐÌNH TRƯỞNG TRANG TRƯỜNG THCS MỸ CÁT SÁNG KIẾN: “Kĩ thuật vẽ thêm yếu tố phụ hình học phẳng THCS” - Sau vẽ đường phụ, học sinh thường quan tâm đến việc tìm lời giải tốn mà khơng tìm hiểu xem người ta lại kẻ thêm đường phụ Như nêu trên, với thực trạng học sinh trường THCS Mỹ Cát nay, em yếu khả suy luận, tìm tịi, phát vấn đề, phân mơn hình học mơn Tốn đặc biệt với toán cần vẽ thêm đường phụ Việc vẽ đường phụ tùy thuộc vào tốn mà học sinh suy xét để tìm nên em thường gặp khó khăn Hơn vấn đề mà giáo viên thường ý rèn luyện cho học sinh cách có hệ thống Trong q trình dạy học tơi rút học sinh thường mắc sai lầm qua tốn điển hình: VÍ DỤ 1: Cho tam giác ABC có AB < AC, đường cao AH phân giác AD Hãy tính DAH theo B C Lời giải sai lầm: Ta có: 900 B 900 C A BAH B C BAH CAH CAH Ta lại có: A A DAH BAH CAH 2 C DAH CAH BAH B (B C) Vậy: DAH B H D C Nhận định sai lầm: Qua lời giải, giả thiết cho AB < AC khơng có sử dụng Như không lẽ đề cho thừa liệu? Thực lời giải trường hợp B hình vẽ 1 ) 1 (B C ) A (900 C Khi B 900 DAH 2 Khi B tù hệ thức B 900 BAH khơng cịn Đồng thời lời giải chưa nêu rõ tia AD nằm hai tia AH AC đề đưa hệ thức A DAH CAH CAD CAH Lời giải bổ sung: (Khắc phục trường hợp góc B ) C nhọn tam giác AHC vng H Vì AB < AC nên B C GV: PHẠM ĐÌNH TRƯỞNG TRANG TRƯỜNG THCS MỸ CÁT SÁNG KIẾN: “Kĩ thuật vẽ thêm yếu tố phụ hình học phẳng THCS” Ta có: A C A ADC ADB C CAD B (tính chất góc ngồi tam giác) 2 => C CAD 900 (D nằm B E C) => D nằm H C hay tia AD nằm tia AH tia AC => A B C A (B C ) DAH 900 ADH C 2 M A C B D N F Kết luận: Với tam giác ABC tùy ý ta B C có DAH VÍ DỤ 2: Cho đường thẳng EF cắt hai đường thẳng AB CD M N cho AME EMB MND 2250 , AME 3EMB Biết hai đườngthẳng AB CD phân biệt Có nhận xét hai đường thẳng AB CD? Lời giải sai lầm: Ta có: AME EMB MND 2250 , AME 3EMB (gt) Đồng thời: AME EMB 1800 (kề bù) => MNE 450 Và EMB 1800 EMB 450 MND EMB Mà hai góc vị trí đồng vị nên AB // CD Nhận định sai lầm: Do dựa vào hình vẽ nên đề cập MND EMB đồng vị Lời giải bổ sung: Trường hợp AB cắt CD O Ta tìm MND EMB 450 Khi AB cắt CD O ta có: OMN ONM 900 MON 900 AB CD C M B A O N D Kết luận: Hai đường thẳng AB CD song song vng góc với VÍ DỤ 3: Cho tam giác ABC có hai đường phân giác BD CE cắt I Biết ID = IE, tìm liên hệ số đo ABC ACB GV: PHẠM ĐÌNH TRƯỞNG TRANG TRƯỜNG THCS MỸ CÁT SÁNG KIẾN: “Kĩ thuật vẽ thêm yếu tố phụ hình học phẳng THCS” Lời giải sai lầm: Kẽ IH AB, IK AC (H A, B; K A, C ) Gọi I giao điểm BD CE => AI đường phân giác A Mà IH AB, IK AC => IH = IK (tính chất đường phân giác) Đồng thời ID = IE (gt) => A E H K D I B C HEI KDI (ch cgv) => IEH IDK 1 => ABC ACB ACB ABC => ABC ACB Nhận định sai lầm: Lời giải cịn thiếu sót phụ thuộc vào hình vẽ Từ dẫn đến điều sai lầm đưa nhận xét: IEH IDK ABC BCE ACB CBD Điều H thuộc đoạn AE K thuộc đoạn AD Lời giải bổ sung: (Phần đầu chứng minh IH = IK IEH ) IDK Chú ý: IH = IK IE = ID nên H E A K D ngược lại IAB Khi đó: IBA IAC ICB IBC E D => ABC H K => ABC ACB 600 I * Khi H E , k D , ta có cá trường hợp sau: C (1): H, K tương ứng thuộc đoạn thẳng AE, B AD: C/m lời giải A (2): H, K tương ứng thuộc đoạn thẳng BE, CD: 1 IEH IDK A ACB A ABC 2 ABC ACB E H (3): H, K tương ướng thuộc đoạn thẳng BE, AD: 1 IEH IDK A ACB A ABC 2 ABC 1800 ABC ACB ACB C 2 ( ABC ACB ) 1800 ABC ACB 1200 GV: PHẠM ĐÌNH TRƯỞNG TRANG D I BA C K E H B K D I C TRƯỜNG THCS MỸ CÁT SÁNG KIẾN: “Kĩ thuật vẽ thêm yếu tố phụ hình học phẳng THCS” Vậy ABC có hai đường phân giác BD CE cắt I cho ID = IE ABC ACB ABC ACB 1200 VÍ DỤ 4: Cho tam giác ABC vuông A, AH đường cao Biết AH Hỏi số đo ABC bao nhiêu? BC 16 Lời giải sai lầm: Kẽ AM trung tuyến ABC BC (tính chất đường trung tuyến tam giác vuông) AH 2 (gt) => AH BC Mà 16 BC 16 Ta có: AM A Xét HAM vng H có: AH2 + HM2 =AM2 (định lý Pi-ta-go) => HM2 = AM2 - AH2 BC 3BC BC = 16 16 1 => HM BC AM (do BC 2 AM ) B H C M Mà HAM vuông => HAM nửa tam giác => AMH 600 hay AMB 600 Đồng thời tam giác MAB cân M (do MA MB BC ) AMB 600 Nên MAB Do đó: ABC 600 Nhận định sai lầm: Lời giải xét trường hợp AB < AC Lời giải bổ sung: Trường hợp AB > AC AB = AC Nếu AB > AC ta có AMH 600 Ta có: MAB cân M (do MA MB BC ) => ABM AMH 300 (tính chất góc B A M H C tam giác) => ABC 300 Nếu AB = AC đường cao AH đường trung tuyến ABC GV: PHẠM ĐÌNH TRƯỞNG TRANG TRƯỜNG THCS MỸ CÁT SÁNG KIẾN: “Kĩ thuật vẽ thêm yếu tố phụ hình học phẳng THCS” AH AH AH BC => => BC BC AH Điều trái với giả thiết BC 16 Nên không xảy trường hợp AB = AC Kết luận: với giải thiết tốn cho ABC 600 ABC 300 VÍ DỤ 5: Cho tam giác ABC với H trực tâm đường cao AA 1, HA1 HB1 HC1 BB1, CC1 Tìm hệ thức liên hệ tỉ số: AA ; BB ; CC 1 Lời giải sai lầm: Ta có: SHBC + SHAC + SHAB = SABC S HBC S HAC S HAB S ABC 1 S ABC S ABC S ABC S ABC HA1 HB1 HC1 1 AA1 BB1 CC1 A B1 C1 B H C A1 Nhận định sai lầm: Lời giải cịn thiếu xót p hụ thuộc vào hình vẽ xét trường hợp ABC nhọn Khi ABC tù trực tâm H nằm ngồi ABC kết HA1 HB1 HC1 1 AA1 BB1 CC1 không Thực ra: Lời giải trường hợp ABC vuông H B C1 A1 B1 H C A A C B A1 Lời giải bổ sung: *Khi ABC nhọn, trình bày lời giải *Khi ABC vng, giả sử vng A H A B1 C1 HA HB HC AA 1 1 => AA BB CC AA 1 1 1 *Khi ABC tam giác tù, ta có: Nếu A góc tù SHBC – SHAC – SHAB = SABC GV: PHẠM ĐÌNH TRƯỞNG TRANG 10 TRƯỜNG THCS MỸ CÁT