(SKKN CHẤT 2020) vẽ thêm yếu tố phụ trong bài toán hình học

PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG TRƯỜNG THCS HỒNG HOA BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “Vẽ thêm yếu tố phụ tốn hình học” Tác giả sáng kiến: Vũ Thị Nhung Tam Dương, năm 2019 download by : skknchat@gmail.com BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1.Lời giới thiệu: Toán học sở nhiều ngành khoa học quan trọng.Sự phát triển tốn học gắn bó chặt chẽ có tác động qua lại trực tiếp với tiến khoa học kĩ thuật Vì vậy, hiểu biết nhận thức tốn học có giá trị to lớn đời sống sản xuất,đặc biệt giai đoạn cơng nghiệp hố đại hố đất nước Trong nhà trường, tri thức phương pháp nghiên cứu toán học giúp học sinh học tốt môn khác Trong đời sống hàng ngày, việc tính tốn, thao tác thực hành, đọc vẽ biểu đồ, đo đạc ước lượng, sử dụng thiết bị ứng dụng tốn học, máy tính điện tử,…, điều kiện cần có để tiến hành hoạt động người lao động Khơng vậy, tốn học cịn góp phần to lớn vào việc phát triển trí tuệ, rèn luyện lực tư duy, hình thành nhân cách cho học sinh Đặc biệt, hệ thống phương pháp giải tốn góp phần đắc lực vào việc phát triển tư sáng tạo cho học sinh Trong đó, phải kể đến phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải tập hình học Việc vẽ thêm yếu tố phụ nhiều làm cho việc giải toán trở nên dễ dàng, thuận tiện hơn, chí có nhiều tốn phải vẽ thêm yếu tố phụ tìm lời giải Tuy nhiên, việc vẽ thêm yếu tố phụ để thuận lợi cho việc giải download by : skknchat@gmail.com tốn lại vấn đề khơng phải đơn giản Các nhà toán học đưa số ví dụ định hướng phân tích vẽ yếu tố phụ cho có lợi thực tế khơng có phương pháp chung để định hướng cho việc vẽ thêm yếu tố phụ cho tốn Đó thể lực sáng tạo giải tốn, hình thành phát triển trình học tập, rèn luyện, nghiên cứu người Đề tài “Vẽ thêm yếu tố phụ tốn hình học” nhằm góp phần phát triển lực sáng tạo đó, đồng thời tạo niềm say mê toán học, gây hứngthú học tập cho học sinh trường THCS Tên sáng kiến: “Vẽ thêm yếu tố phụ tốn hình học” Tác giả sáng kiến: - Họ tên:Vũ Thị Nhung - Địa tác giả sáng kiên: Trường THCS Hoàng Hoa, huyện Tam Dương, tỉnh Vĩnh Phúc - Số điện thoại:0978 513 672 E_mail: nhungtoan76@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng : Vũ Thị Nhung Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:Môn Toán lớp Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: 02/03/2018 Mô tả chất sáng kiến: - Về nội dung sáng kiến: *Một số hướng gợi ý học sinh vẽ thêm yếu tố phụ: download by : skknchat@gmail.com Khi giải tốn hình học, ta gặp số tốn mà khơng vẽ thêm yếu tố phụ khơng thể tìm lời giải ( bế tắc ) Nếu biết vẽ thêm yếu tố ( đường ) phụ thích hợp tạo liên hệ yếu tố cho việc giải tốn thuận lợi Thơng thường, có số hướng tư vẽ thêm yếu tố phụ sau: +Kéo dài đoạn thẳng cho trước với độ dài độ dài cho trước +Từ điểm , vẽ đường thẳng song song với đường thẳng cho trước +Từ điểm kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng cho trước +Nối hai hay nhiều điểm cho trước với +Dựng đường phân giác góc cho trước +Dựng tam giác ( đều, cân,…) *Một số trường hợp cụ thể: a)Kéo dài đoạn thẳng cho trước với độ dài độ dài cho trước: Ví dụ1: Chứng minh định lí: “Trong tam giác vng, trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh huyền” +)Hướngchứng minh: Có ABC vuông A, trung tuyến AM download by : skknchat@gmail.com Để chứng minh AM = BC hay MA = MB = MC ,ta tạo đoạn thẳng có chứa đoạn AM cho có độ dài 2AM ta chứng minh đoạn thẳng BC Từ ta nảy sinh cách vẽ thêm đường phụ ( vẽ thêm BD) +)Chứng minh: Giả thiết: ABC ( A = 900 ) Kết luận: AM = BC A B C M D Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho AM = MD Nối B với D Xét hai tam giác AMC DMC có: MA = MD ( theo cách dựng ) MC = MB (theo giả thiết ) AMC = DMB  (đối đỉnh ) Do AMC = DMB (c.g.c) Suy ra: AC = BD A = D  download by : skknchat@gmail.com Mà A D vị trí so le nên AC// BD Mặt khác AC  AB nên từ suy BD  AB Xét hai tam giác vng ABC BAD có: AB cạnh chung AC = BD (chứng minh trên) Do ABC = BAD Suy BC = AD Mà AM = 1 AD nên AM = BC 2 Ví dụ 2: Cho ABC có AB < AC, phân giác AD Chứng tỏ rằng: a) Góc ADC góc tù b) DC > DB +) Hướng chứng minh: So sánh góc hai tam giác ABD ACD Từ có góc ADC góc tù Ta phải so sánh DC DB , hai đoạn hai cạnh tam giác nên không vận dụng định lí quan hệ góc cạnh đối diện tam giác Ta chuyển DB DC tam giác cách vẽ thêm đường phụ (AE = AB ) +)Chứng minh: download by : skknchat@gmail.com A 12 B E D C x  a) Tam giác ABC có AB < AC ( giả thiết) nên C < B Xét hai tam giác ABD ACD có: A = A  (giả thiết) B > C  ( chứng minh )   Suy ADB < ADC , mà ADB + ADC = 1800 ( hai góc kề bù) Nên ADC > 180 = 900 Vậy ADC  góc tù b)Trên AC lấy điểm E cho AE = AB  ADB = ADE ( c.g.c ) suy DB = DE (1) ABD = AED  Do CBx = CED ( kề bù với hai góc )  ( tính chất góc ngồi tam giác ABC ) Suy CED > C  Mà CBx > C Do DC > DE (2) Từ (1) (2) suy DC > DB b)Từ điểm vẽ đương thẳng song song với đường thẳng cho trước trước: download by : skknchat@gmail.com Ví dụ 3: Chứng minh định lí: “ Tổng ba góc tam giác 1800” +)Hướng chứng minh:  + C  = 1800 ta tạo góc bẹt chia Có ABC Để chứng A + B thành ba góc với ba góc A , B , C cách qua A kẻ đường thẳng xy // BC +) Chứng minh: Giả thiết: ABC  + C  = 1800 Kết luận: A + B A x y B C Qua A kẻ đường thẳng xy // BC Ta có: B = A  ( góc so le ) C = A  ( góc so le )  + C  = 1800 Do A + B Ví dụ 4: Cho ABC Các điểm D M di động cạnh AB cho download by : skknchat@gmail.com AD = BM Qua D M vẽ đường thẳng song song với BC cắt cạnh AC E N Chứng minh tổng DE + MN không đổi +) Hướng chứng minh: Trong tốn có cho vẽ đường song song ta nghĩ đến vẽ thêm đưòng song song với đường thẳng cho Qua M kẻ đường thẳng song song với AC +) Chứng minh: A E D N M B F C Vẽ MF // AC ( F  BC ) ta có MN = FC (tính chất đoạn chắn ) Xét hai tam giác ADE MBF có : A = BMF  ( góc đồng vị ) AD = MB ( giả thiết ) ADE = MBF  ( góc địng vị ) Do ADE = MBF (g.c.g ) Suy DE = BF Ta có DE + MN = BF + FC = BC (không đổi) c)Từ điểm vẽ đương thẳng vng góc với đường thẳng cho trước trước: Ví dụ 5 : Tam giác ABC có đường cao AH trung tuyến AM chia góc A thành ba góc Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông download by : skknchat@gmail.com +) Hướng chứng minh : AM tia phân giác góc HAC mà MH  AH nên nghĩ đến kẻ MI  AC có MI = MH từ MI = 1 BM = MC Từ có điều cần chứng minh 2 +) Chứng minh: A I B H M C Vẽ MI  AC Ta có MAI = MAH ( cạnh huyền-góc nhọn ) suy MI = MH ABH = AMH ( g.c.g ) Suy BH = MH = Do MI = 1 BM = MC 2 MC nên C = 300 , HAC = 600 suy MMC = 300 Từ BAC = 300.3 = 900 hay ABC vng A Ví dụ 6: Cho O điểm nằm tam giác ABC Biết AO = AC, chứng minh ABC cân A +) Hướng chứng minh: download by : skknchat@gmail.com Vẽ thêm đường phụ AH  CM , làm xuất hình vẽ đường vng góc, đường xiên hình chiếu Ta vận dụng định lí quan hệ đường xiên hình chiếu chúng để từ có điều phải chứng minh +) Chứng minh: A M B O H C Gọi M giao điểm tia CO với cạnh AB Vì O nằm ABC nên điểm M nằm A B suy AM < AB (1) Vẽ AH  CM ( H  CM ) Ta có AC = AO ( giả thiết ) nên HC = HO ( quan hệ đường xiên hình chiếu ) Mặt khác HO < HM nên HC < HM suy AC < AM (2) Từ (1) (2) suy AC < AB Vậy ABC cân A d) Nối hai điểm cho trước trước:  Ví dụ 7: Cho hình vẽ Chứng minh : B1 = C A M B C download by : skknchat@gmail.com +) Hướng chứng minh:  ta gắn hai góc vào hai tam giác chứng minh hai Để chứng minh B1 = C tam giác Từ nghĩ đến việc nối A với M +) Chứng minh: A M B 2 C Nối A với M Xét hai tam giác AMB AMC có : AB = AC ( giả thiết ) MB = MC ( giả thiết ) AM cạnh chung  (đpcm) Do AMB = AMC ( c.c.c ) suy B1 = C e)Dựng đường phân giác góc cho trước: Ví dụ 8: Cho tam giác ABC cân A Kẻ đường cao CD Chứng minh DCB = BAC +) Hướng chứng minh: download by : skknchat@gmail.com Tạo góc nửa góc A cách kẻ đường phân giác góc BAC +) Chứng minh: A 12 D B H C Kẻ AH đường phân giác góc BAC ( H  BC ) Vì ABC cân A nên AH đường phân giác đồng thời đường cao Do C1 = A1 ( góc có cạnh tương ứng vng góc )   Mà A1 = BAC nên C1 = BAC hay DCB = BAC ( đpcm ) 2 Ví dụ 9: Cho ABC, A = 600 Phân giác BD , CE cắt O Chứng minh rằng : a)DOE cân b)BE + CD = BC +)Hướng chứng minh: Đẻ chứng minh DOE cân ta chứng minh OD = OE Ta dùng đoạn thẳng trung gian để so sánh OD với OE Mà tốn có liên quan đến phân giác nên ta nghĩ đến vẽ tia phân giác góc để tạo đoạn thẳng trung gian Đó tia phân giác góc BOC download by : skknchat@gmail.com +) Chứng minh: A D E B O 2 F C Bˆ  Cˆ 1800  Aˆ a)Ta có BOC = 1800 – ( B1 + C1 ) = 1800 – ( ) = 1800 – ( ) 2 Aˆ Suy BOC = 900 + = 1200 Vẽ phân giác OF góc BOC ( F  BC ) , ta Oˆ =Oˆ =Oˆ = Oˆ = 600 BOE = BOF (g.c.g )  OE = OF BE = BF COD = COF ( g c.g )  OD = OF CD = CF Do OE = OD ( OF )  DOE tam giác cân O b)Ta có BE + CD = BF + CF = BC ( đpcm ) f)Dựng tam giác đều: Ví dụ 10: Cho tam giác ABC vuông A , Cˆ = 150 Trên tia BA lấy điểm O cho BO = AC Chứng minh OBC cân +) Hướng chứng minh: Ta chứng minh OB = OC , cần gắn OB, OC vào hai tam giác chứng minh hai tam giác Ta thấy 750- 150 =600 số đo góc tam giác Điều gợi ý cho ta vẽ tam giác BCM Từ ta chứng minh toán +) Chứng minh: download by : skknchat@gmail.com O H M A B C ABC vuông A , Cˆ = 150 ( giả thiết ) suy Bˆ = 750 Vẽ tam giác BCM ( M A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC ) Ta OBM = 150 Gọi H trung điểm OB   Ta có HMB = ABC ( c.g.c )  MHB = BAC = 900 Trong tam giác MOB có MH đường cao đồng thời đường trung tuyến   Nên MOB cân M  BMO = 1500  CMO = 3600 – ( 1500 + 600 )   CMO =1500 Ta có MOB = MOC ( c.g.c )  OB = OC Vậy OBC tam giác cân O Ví dụ 11: Cho tam giác ABC, O điểm nằm tam giác Chứng minh đoạn thẳng OA, OB, OC thoả mãn bất đẳng thức tam giác +) Hướng chứng minh: Ta thấy đoạn thẳng OA, OB, OC ba cạnh tam giác download by : skknchat@gmail.com Để chứng minh đoạn thẳng thoả mãn bất đẳng thức tam giác ta đưa chúng trở thành cạnh tam giác cách vẽ thêm tam giác AOD +) Chứng minh: A D O B C Vẽ tam giác AOD ( D B thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ AO )    Có BAO = CAD ( cộng với OAC 600 ) Xét hai tam giác BAO CAD có BA = CA ( ABC )  = CAD ( chứng minh ) OA = DA ( theo cáh dựng ) Do BAO = CAD ( c.g.c) suy OB = CD Như đoạn thẳng OA, OB, OC cạnh OD, CD, OC COD Do đoạn thẳng OA, OB, OC thoả mãn bắt đẳng thức tam giác *) Một số tập ứng dụng: Bài tập1: Cho hai điểm A , B nửa mặt phẳng bờ xy Hãy xác định  điểm O thuộc xy cho AOx  BOy download by : skknchat@gmail.com Bài tập 2: Cho tam giác ABC cân tai A , Aˆ = 1000 Trên tia AC lấy điểm D  cho AD = BC Tính CBD Bài tập3: Tam giác ABC có AB > AC, phân giác AD Lấy điểm M thuộc AD ( M không trùng với A ) Chứng minh AB – AC > MB – MC Bài tập 4: Cho tam giác ABC , trung tuyến AM phân giác Chứng minh tam giác ABC tam giác cân - Về khả áp dụng sáng kiến: Giáo viên cần tìm tịi, tích luỹ thành hệ thống tốn hình học có sử dụng phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ, từ sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh Cần phát huy tốt phương pháp dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ phát huy tư học sinh, tính tích cực suy nghĩ, phối kết hợp giải Giáo viên không ý đến số lượng cách tuý mà cần cụ thể, tỉ mỉ tập dạng khác Giáo viên phải kết hợp tốt chức dạy học, giáo dục, chức phát triển, chức kiểm tra Giáo viên tạo hứng thú học tập học sinh, kích thích động học tập Học sinh giỏi tốn thường có xu hướng giải nhiều tốn, đặc biệt tốn khó địi hỏi tính sáng tạo Trong tập nhà, giáo viên cần cho download by : skknchat@gmail.com thêm toán với yêu cầu không bắt buộc, số tốn cần khuyến khích giải nhiều cách với cách vẽ khác Rèn luyện tư sáng tạo thơng qua việc tìm nhiều lời giải cho tập cụ thể Những thông tin cần bảo mật:Không Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Được quan tâm ban giám hiệu đồng nghiệp phụ huynh học sinh có thiết bị đồ dùng có đầy đủ Mỗi giáo viên cần tích cực tự học, tự rèn để nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ; Nắm kiến thức kĩ mơn Tốn mơn học khác chương trình THCS Chủ động tìm hiểu, nghiên cứu, học tập phương pháp hay sáng tạo bạn bè đồng nghiệp nhà trường 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau: 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Từ kết thân rút số kinh nghiệm sau: - Trong giảng dạy để học đạt kết cao, em cần nắm vững kiến thức kĩ học vận dụng thực hành tốt, giáo viên cần nhiệt tình, có download by : skknchat@gmail.com tinh thần trách nhiệm cao, tập trung nghiên cứu kĩ nội dung dạy, có kế hoạch sử dụng trò chơi phù hợp, hợp lý cho chủ đề từ vựng - Với đặc điểm tâm lý lứa tuổi học sinh THCS nói chung học sinh lớp nói riêng hiếu động, nên hay bị yếu tố bên ngồi ảnh hưởng, tiết học cần sử dụng linh hoạt phương pháp dạy học, kết hợp tập vừa sức tạo động lực mạnh mẽ giúp em tiếp thu cách hiệu 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân: * Kết quả, chuyển biến đối tượng: Sau thời gian dạy thực nghiệm “Vẽ thêm yếu tố phụ tốn hình học” Tơi thấy chất lượng hiệu dạy môn Tốn hình học tăng lên rõ rệt Học sinh chuyển sang thực hành tốt, học sơi nổi, khơng khí học tập khơng cịn buồn tẻ trước Học sinh hào hứng học tập kiến thức khắc sâu Kết dạy thực nghiệm đánh giá qua kiểm tra chất lượng thăm dò hứng thú học tập học sinh Kết trước sau áp dụng đề tài “Vẽ thêm yếu tố phụ toán hình học” Bài kiểm tra lần 1: LỚP TỔNG SỐ HỌC SINH SỐ HS ĐẠT ĐIỂM TRÊN TỔNG SỐ % download by : skknchat@gmail.com 7A 34 17 50 7B 32 10 31,3 Bài kiểm tra lần 2: LỚP TỔNG SỐ HỌC SINH SỐ HS ĐẠT ĐIỂM TRÊN TỔNG SỐ % 7A 34 20 59 7B 32 12 37,5 TỔNG SỐ SỐ HS ĐẠT ĐIỂM TRÊN Bài kiểm tra lần 3: LỚP HỌC SINH TỔNG SỐ % 7A 34 23 67,6 7B 32 13 40,6 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu download by : skknchat@gmail.com Số Tên tổ chức/cá Địa Phạm vi/Lĩnh vực TT nhân áp dụng sáng kiến Hà Thị Thúy Trường THCS Hoàng Hoa Lớp 7A Nguyễn Thị Xuân Trường THCS Hoàng Hoa Lớp 7B Tam Dương, ngày Thủ trưởng đơn vị tháng năm 2019 Tam Dương, ngày tháng Tác giả sáng kiến HIỆU TRƯỞNG Hà Gia Lượng Vũ Thị Nhung download by : skknchat@gmail.com năm 2019 ... Khi giải tốn hình học, ta gặp số tốn mà khơng vẽ thêm yếu tố phụ khơng thể tìm lời giải ( bế tắc ) Nếu biết vẽ thêm yếu tố ( đường ) phụ thích hợp tạo liên hệ yếu tố cho việc giải tốn thuận... nghiệm ? ?Vẽ thêm yếu tố phụ toán hình học? ?? Tơi thấy chất lượng hiệu dạy mơn Tốn hình học tăng lên rõ rệt Học sinh chuyển sang thực hành tốt, học sơi nổi, khơng khí học tập khơng cịn buồn tẻ trước Học. .. học Việc vẽ thêm yếu tố phụ nhiều làm cho việc giải toán trở nên dễ dàng, thuận tiện hơn, chí có nhiều tốn phải vẽ thêm yếu tố phụ tìm lời giải Tuy nhiên, việc vẽ thêm yếu tố phụ để thuận lợi