(SKKN CHẤT 2020) chuyên đề yếu tố giải tích trong các bài toán đại số, số học, tổ hợp

Chun đề YẾU TỐ GIẢI TÍCH TRONG CÁC BÀI TỐN ĐẠI SỐ, SỐ HỌC, TỔ HỢP Nguyễn Việt Hà Trường THPT Chuyên Lào Cai (Chuyên đề đạt giải nhất) A MỞ ĐẦU Trong chương trình tốn THPT, Giải tích nội dung quan trọng, học sinh học sau học Đại số thời gian dài Đối tượng nghiên cứu Đại số Giải tích khác Trong Đại số nghiên cứu đối tượng tĩnh tại, rời rạc hữu hạn Cịn mơn Giải tích nghiên cứu đối tượng có chất biến thiên, liên tục vơ hạn Sự khác dẫn đến cách tiếp cận khác nhau, lối tư khác giải tốn Đại số Giải tích Giải tích nội dung ln xuất kỳ thi học sinh giỏi toán THPT cấp quốc gia (VMO) Tuy nhiên, bên cạnh câu phát biểu dạng giải tích, tốn lại phát biểu dạng đại số công cụ giải tích, kỹ giải tích giúp định hướng tìm lời giải Bên cạnh đó, kì thi IMO kỳ thi học sinh giỏi nước khu vực, có nhiều toán đại số, số học chứa đựng yếu tố giải tích Với mong muốn có tài liệu hệ thống vấn đề này, tác giả định viết chuyên đề : ‘’Yếu tố giải tích tốn đại số, số học, tổ hợp’’ Chuyên đề cố gắng phân chia toán đại số, số học, số tốn tổ hợp giải nhờ cơng cụ giải tích cách chi tiết với hy vọng giúp ích cho học sinh có thêm kỹ làm việc với dạng toán đồng thời giúp đồng nghiệp có thêm tài liệu giảng dạy học sinh giỏi mơn Tốn cấp quốc gia Nội dung chuyên đề bao gồm sáu phần trình bày kĩ thuật giải tích để giải tốn đại số phương trình hàm bất phương trình hàm, tốn đa thức, tốn phương trình bất đẳng thức, tốn chứng minh tính chất dãy số, toán số học, tổ hợp số toán khác Các toán chuyên đề giải tường minh đưa nhận xét, bình luận Phần cuối chuyên đề số kết luận tác giả chuyên đề tài liệu tham khảo viết chuyên đề Tác giả chuyên đề làm việc nghiêm túc, cố gắng tập hợp, sưu tầm, phân dạng, xếp liên kết dạng toán theo logic hợp lý theo ý chủ quan với hy vọng tạo chuyên đề có chất lượng, có tác dụng em học sinh ôn thi VMO thầy cô giáo dạy chuyên Tuy có nhiều cố gắng chun đề khơng thể tránh khỏi sai sót, thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thầy để chun đề hồn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn download by : skknchat@gmail.com B NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Ánh xạ Định nghĩa f Ánh xạ f : A B gọi đơn ánh với a fb A B a ,b mà a A b  Hệ quả: Định nghĩa Ánh xạ f tồn phần tử a A Định nghĩa Ánh xạ đơn ánh v AB ánh  1.2 Hàm đơn điệu f * Hàm số fx  x f * Hàm số x  1  x f f  f  f * Hàm số fx1  f x2 f * Hàm số f 1.3 Hàm số liên tục 1.3.1 Định nghĩa: Cho hàm số y f ( x) x   f Tính chất Nếu hàm số số nằm A B có số c( a; b) để Tính chất Nếu f ( x) ò cho 1.4 Một số kĩ thuật giải tích hay dùng  x  1.3.2 Các tính chất Tính chất Giả sử   f ( x) c( a;b ) để  f ( c) 1.4.1 Với số thực a cho trước tồn dãy lim rn = a download by : skknchat@gmail.com 1.4.2 (Chuyển qua giới hạn đẳng thức) Nếu hàm số lim x = x lim n liên tục x (x ) f (x) thỏa mãn (0; + ¥ x f f 1.4.3 (Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức) Nếu hàm số f ( x ), lim f ( x ) = L k £ L ( k < cú k Ê xđ + Ơ 1.4.4 Cho hai dãy số thực hội tụ ( xn ), ( yn )  lim yn (nếu xn yn ,n1, 2, ) lim x n n n 1.4.5 Cho f ( x) hàm số biến x, ta xây dựng dãy số A lim un n 1.5 Bổ sung yếu tố giải tích đa thức 1.5.1 Đa thức bậc lẻ ln có nghiệm Từ suy hệ sau: - Nếu P ( x) khơng có nghiệm deg P chẵn - Nếu P ( x) đa thức bậc chẵn có nghiệm phải nghiệm bội chẵn 1.5.2 Đa thức 1.5.3 Định lý Rolle Hàm số c , ( a b) để đạo hàm 1.5.4 Đạo hàm đa thức bậc n có đầy đủ nghiệm đó, theo định lí Bézout Giả sử x1 , x2 , , xn nghiệm P ( x) Khi  P ( x ) ( x x1 )( x x2 ) ( x xn ) n Ta có P( x )( x x j ) nên P( x) i1 i j P(x) 1.5.5 Đa thức f ( x) có hữu hạn nghiệm đạo hàm f đa thức nên có '( x) hữu hạn nghiệm Do số điểm cực trị hữu hạn nên f ( x) đồng biến, nghịch biến miền đủ nhỏ thường 1.6 Nếu deg f 1.5.6 dùng Mộ t bổ x để tồn đề M 0 Đặt sn =  Nếu k  Nếu k lớn tùy ý 1 k £ + + + k > s đ+Ơ n thỡ s b chn, tc l cú giới hạn hữu hạn n Chứng minh (1) Trước hết, ta chứng minh k = sn ® + ¥ download by : skknchat@gmail.com Thật vậy, đạo hàm, dễ dàng có , n ta có ln + 1) = Suy s > với k < 1 nk Từ dễ thấy khẳng định với + nên khẳng định ¥ n Tiếp theo với k > , ta dùng định lý Lagrange: (2) Xét hàm số f(x)=x với x 0, k > Chọn hàm số > F(x)= ¢ F(x)= F(x) Hàm số lý Lagrange, ta có $ c Ỵ f (c) n= Chú ý Từ đó, cho k + k lim n Dễ thấy 1- k Chú ý với tìm xác giá trị điều khơng dễ Bằng cách tương tự, ta chứng minh ln 2 YẾU TỐ GIẢI TÍCH TRONG CÁC BÀI TỐN ĐẠI SỐ, SỐ HỌC 2.1 Kỹ thuật giải tích giải tốn phương trình hàm, bất phương trình hàm 2.1.1 Sử dụng dãy số giới hạn dãy số giải phương trình hàm, bất phương trình hàm Trong mục này, ta nghiên cứu tốn đại số khơng có gải thiết liên tục hay khả vi phương trình hàm, bất phương trình hàm mà sử dụng dãy số giới hạn dãy số để giải Ta bắt đầu ví dụ quen thuộc sau: Bài tốn 2.1.1.1 Tìm tất hàm số f : ® , đơn điệu thỏa mãn f (x + y )= f (x )+ f (y ), " x , y Ỵ (1) Nhận xét: Nếu toán này, thay giả thiết đơn điệu giả thiết liên tục việc giải đơn giản Vậy khơng cịn yếu tố liên tục nữa, ta làm nào? Chúng ta tìm hiểu thơng qua lời giải sau: download by : skknchat@gmail.com Lời giải Giả sử f hàm số thỏa mãn đề bài, ta có (1) Trong (1), lấy y = x ta f (2 x )= f (x ), " x Ỵ Trong (2), lấy x = ta chứng minh Trong (1), lấ y y = f (2) Từ (1) (2) phương pháp quy nạp, ta (0)= f (nx )= nf (x ), " x Î - sử dụng f (0)= x f (- x )= - f (x ), " x Ỵ Bởi n = 1, f (nx ) (4) 2, , sử ( -n = f Từ (3) (5) suy f (nx )= nf (x ), " x Ỵ Với n = 1, 2, , sử dụng (3) ta có ( f ) x Bởi f (rx )= rf (x ), " x Ỵ Thay x = 1, ta có f(r) = rf(1), đặt k = f(1) số thực bất kỳ, ta có f(x)=kx với x thuộc Q Trường hợp xỴ Với tùy ý, tồn hai dãy số h Vì f Cho n đ + Ơ Vy Trng hp Với x Ỵ tùy ý, tồn hai dãy số h u £ x £ v , " n = 1, 2, ; lim u = n n V f hàm giảm nên kết hợp với (9) ta có ỡ nđ+Ơ lim v = x n nđ + Ơ n f (un )³ f (x )³ f (vn )Þ kun ³ f (x )³ kvn " n = 1,2, Cho n đ + Ơ bt ng thc trờn ta thu kx ³ f (x )³ kx Þ f (x )= kx Vậy f (x )= kx , " x Ỵ ( k số bất kì) Thử lại thấy thỏa mãn download by : skknchat@gmail.com Kết luận: hàm số thỏa mãn yêu cầu đề f (x )= kx , " x Ỵ (k Bình luận: Ta thay tập nguồn tập đích tốn thành thiết đơn điệu, ta có tốn sau: Bài tốn 2.1.1.2 Tìm tất hàm số f : + + ® số bất kì) (0;+ ¥ ) bỏ giả thỏa mãn ( f x+y Lời giải Lời giải nên rút gọn sau, tận dụng BT Ta có f ( y) > với y > nên f ( x + y ) > f ( z ) > f ( x) với t ê ta có f ( r n x ) = kx z > Đặt f ( x) z=x+y> x x nê c n ó f ( x) hàm đơn điệu tăng Sử dụng kết Nếu tốn đổi thành ý trước khơng có tài liệu đề cập) Bình luận: Trong tốn 2.1.1.2, ta bỏ giả thiết đơn điệu, cuối ta lại chứng minh tính đơn điệu, nhờ mà đường lối giải lại quay toán 2.1.1.1 Từ toán 2.1.1.1, ta giữ lại tập nguồn tập đích , bỏ giả thiết đơn điệu, thêm giả thiết hàm nhân tính, ta có tốn sau: Bài tốn 2.1.1.3 Tìm tất hàm số f : ®  f (x + y )= f (x )+ f (y ), " x , y Ỵ  f (xy )= f (x ) f (y ), " x , y Ỵ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau (1) (2) Lời giải Từ (1), ta chứng minh kết sau Từ (2) cho y = x Đến suy đồng biến tương tự Suy k=0 k = Bài tốn giải hồn tồn Bình luận: Một lần nữa, toán 2.1.1.3, ta bỏ giả thiết đơn điệu thêm giả thiết hàm nhân tính, ta lại chứng minh hàm đồng biến nên lại giải tiếp giống toán 2.1.1.1 Tuy nhiên điểm chung ba tốn có giả thiết cộng tính Sau ta xét tốn phức tạp hơn: Bài toán 2.1.1.4 [China MO 1998] Cho hàm số f : ® điều kiện (i) f (ii) f (x )£ " x Ỵ Chứng minh rằng: f (x )£ download by : skknchat@gmail.com Lời giải Từ giả thiết (i) thay x = ta có f (0) = , với điều kiện, nên ta (x )£ cần chứng minh cho trường hợp x Với ¹ x ta cú f ổ f Xột hm ị g: (x ) ỗ ỗ ỗ x ỗ ố ổ f (x) ỗ ỗ ỗ ỗ ố nờn bng phng phỏp quy nạp ta n g Lại có f (x )Ê " x ẻ n+ ị g( * cố định Vậy ta có f (x )£ Tiếp theo, ta xét toán tổng quát hơn: Bài tốn 2.1.1.5 [Olympic sinh viên tồn quốc 2016, mơn Giải tích] Cho a số thực hàm • fax • f bị chặn lân cận Chứng minh Lời giải Trong i thay Với x , từ i ta có fx download by : skknchat@gmail.com vớix Từ đó, ta fx với x R Nếu a từ i ta   fx2 x fx Từ đây, ta suy fx x với trường hợp a Bây giờ, ta xét trường hợp a với x Khi đó, từ i ta suy  ax (1)    (2)  Ta chứng minh gx g x (3)  phương pháp quy nạp toán học theo (4) gx g Như vậy, mệnh đề (2) với gx g Trong (4) thay gx g g Từ (3) (5) , ta suy Do đó, mệnh đề (2) đú với n N* N ... chứng minh ln 2 YẾU TỐ GIẢI TÍCH TRONG CÁC BÀI TỐN ĐẠI SỐ, SỐ HỌC 2.1 Kỹ thuật giải tích giải tốn phương trình hàm, bất phương trình hàm 2.1.1 Sử dụng dãy số giới hạn dãy số giải phương trình... thức Ở số tốn xuất số kì thi học sinh giỏi, việc lấy đạo hàm đa thức giúp ta có hiệu việc tìm chìa khóa cho lời giải Dưới số toán Bài toán 2.2.1.1 Chứng minh đa thức P P (x ) phải số Lời giải Xây... * Hàm số fx  x f * Hàm số x  1  x f f  f  f * Hàm số fx1  f x2 f * Hàm số f 1.3 Hàm số liên tục 1.3.1 Định nghĩa: Cho hàm số y f ( x) x   f Tính chất Nếu hàm số số nằm