671 sai sot khi giai bai toan hinh hoc

Một số sai lầm giải tốn hình học NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC 1) Sai lầm vẽ hình nên xảy ngộ nhận , trình bày thiếu: Bài tốn 1: Cho tam giác ABC có AB < AC Đường cao AH phân giác AD Hãy   theo B  C tính DAH Lời giải sai lầm :  = 900 – CAH   = 900 – BAH ; C Ta có: B  = CAH  – BAH  –C  B   A A    Ta có: DAH = – BAH = CAH – 2    – A + A – BAH  – BAH   = CAH  = CAH  =B  –C  DAH 2  )  = (B  –C Vậy: DAH Nhận định sai lầm: Qua lời giải, giả thiết AB < AC sử dụng Như khơng lẽ đề cho thừa liệu?  nhọn hình vẽ Thực ra, lời giải trê n trường hợp B  ) = (B  )  = 900 DAH  = 1A  = (900 – C  –C Khi B 2  tù hệ thức B  = 900 – BAH  khơng đồng thời lời Khi B giải chưa nêu rõ tia AD nằm hai tia AH AC để đưa hệ thức  A     DAH = CAH – CAD = CAH – ) Lời giải đầy đủ: (Khắc phục phân chia trường hợp B  C  nhọn AHC vng H  >C Vì AB < AC nên B   A A   > ADB  + CAD  (tính chất góc ngồi   = C Ta có: B + > C +  ADC 2  + CAD  < 900 (vì D nằm B C) tam giác)  C  D nằm H C hay tia AD nằm tia AH tia AC  B  C   A A  = (B )    –C  DAH = 90 – ADH = – –C 2  C   = B Kết luận: Với ABC tùy ý, ta ln có: DAH GV: Hồng Minh Hậu 01234 Một số sai lầm giải tốn hình học Bài toán 2: Cho đường thẳng EF cắt hai đường thẳng AB CD M  = 2250 AME  + EMB  + MND  = EMB  Biết hai đường N cho AME thẳng AB CD phân biệt Có nhận xét hai đường thẳng AB CD? Lời giải sai xót:  = 2250; AME  + EMB  + MND  = EMB  (gt) Ta có: AME  + EMB  = 1800 (hai góc kề bù) Đồng thời: AME  = 450  MND  = EMB  = 1800  EMB  = 450  MND  Và: EMB Mà hai góc vị trí đồng vị  AB // CD Nhận định sai lầm:  EMB  vị trí đồng vị Do dựa vào hình vẽ nên đề cập MND Lời giải bổ sung :  = EMB  = 450 Khi AB cắt CD O, ta có:  MND  + ONM  = 900  MON  = 900  AB  CD OMN Kết luận: Hai đường thẳng AB CD song song vng góc với Bài tốn 3: Cho tam giác ABC có hai phân giác BD CE cắt I Biết   ACB ID = IE Hãy tìm mối liên hệ số đo ABC Lời giải sai lầm : Vẽ IH  AB IK  AC (H  AB, K  AC) I giao điểm hai đường phân giác ABC (gt)   AI đường phân g iác A Mà IH  AB; IK  AC  IH = IK (tính chất đường phân giác) Đồng thời ID = IK (gt)  HEI = KDI (ch.cgv)  = IDK   IEH  + ACB  = ACB  + ABC   ABC  = ACB   ABC 2 Nhận định sai lầm: Lời giải thiếu xót phụ thuộc vào hình vẽ  + BCE   = ABC Từ đ ó dẫn đến điều sai lầm đưa nhận xét: IEH  + CBD   = ACB IDK Điều H thuộc đoạn AE K thuộc đoạn AD Lời giải đầy đủ:  = IDK ) (Phần đầu chứng minh IH = IK IEH * Chú ý: IH = IK IE = ID nên H  E K  D ngược lại  = ICA  = ICB  = IBC   = IAB  = IAC Và IBA  = ACB  = 600  ABC đều, ABC GV: Hoàng Minh Hậu 01234 Một số sai lầm giải tốn hình học * Khi H  E, K  D, ta có trường hợp sau: (1) H, K tương ứng thuộc đoạn AE, AD: (Chứng minh lời giải trên) (2) H, K tương ứng thuộc đoạn BE, CD:  =A   = IDK  A  + ACB  + ABC IEH 2 2  = ACB   ABC (3) H, K tương ứng thuộc đoạn BE, AD:  =A   = IDK  A  + ACB  + ABC IEH  – ACB  + ACB  =C  + ABC   1800 – ABC    ) = 1800 ( ABC + ACB  + ACB  = 1200  ABC Vậy: Nếu ABC có hai phân giác BD CE cắt I cho ID = IE  B  = 1200  =C  +C thì: B AH Bài tốn 4: Cho tam giác ABC vng A, AH đường cao Biết = BC2 16  bao nhiêu? Hỏi số đo ABC Lời giải sai lầm: Vẽ AM trung truyến ABC BC Ta có: AM = (tính chất trung tuyến tam giác vng) AH 3 Vì: (gt)  AH2 = BC2 = BC 16 16 Xét HAM vuông A, ta có: AH2 + HM2 = AM2 (định lý Pythagòre )  HM2 = AM2 – AH2 =  HM = BC2 3BC2 – = BC2 16 16 1 BC = AM (do BC = 2AM) Mà HAM vuông H  HAM nửa tam giác  = 600 hay AMB  = 600  AMH  = 600 nên MAB Đồng thời MAB cân M (do MA = MB = BC) có AMB  = 600  ABC Nhận định sai lầm: Lời giải xét trường hợp AB < AC GV: Hoàng Minh Hậu 01234 Một số sai lầm giải tốn hình học Lời giải đầy đủ: (bổ sung trường hợp AB > AC AB = AC)  = 600 Nếu AB > AC ta có AMH Ta có: MAB cân M (do MA = MB = BC)  = AMH  = 300 (góc ngồi tam giác)  ABM  = 300  ABC Nếu AB = AC đường cao AH trung tuyến ABC  AH = BC 2 AH AH AH 1 =  , trái với giả thiết nên có trường = = BC BC BC 16 hợp AB = AC  = 600 ABC  = 300 Vậy: Với giả thiết tốn ABC Bài tốn 5: Cho tam giác ABC với H trực tâm đường cao AA 1, BB1, CC1  Tìm hệ thức liên hệ tỉ số: HA1 HB1 HC1 ; ; AA1 BB1 CC1 Lời giải sai lầm: Ta có: SHBC + SHAC + SHAB = SABC S S S S  HBC + HAC + HAB = ABC = SABC SABC SABC SABC HA1 HB1 HC1  + + =1 AA1 BB1 CC1 Nhận định sai lầm: Lời giải thiếu xót p hụ thuộc vào hình vẽ xét trường hợp ABC nhọn HA1 HB1 HC1 Khi ABC tù trực tâm H nằm ngồi ABC kết + + =1 AA1 BB1 CC1 khơng Thực ra: Lời giải tr ường hợp ABC vuông Lời giải đầy đủ : * Khi ABC nhọn, trình bày lời giải * Khi ABC vng, giả sử vng A H  A  B1  C1 HA1 HB1 HC1 AA1  + + = =1 AA1 BB1 CC1 AA1 * Khi ABC tù, ta có:  tù thì: SHBC – SHAC – SHAB = SABC + Nếu A HA1 HB1 HC1  – – =1 AA1 BB1 CC1 GV: Hoàng Minh Hậu 01234 Một số sai lầm giải tốn hình học  tù thì: HB1 – HA1 – HC1 = + Nếu B BB1 AA1 CC1  tù thì: HC1 – HB1 – HA1 = + Nếu C CC1 BB1 AA1 Bài toán 6: Cho tứ giác ABCD có tia AB CD cắt O Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AC, BD Hãy tính S OMN theo SABCD Lời giải sai xót : Ta có: SOMN = SOAD – SOAM – SMAD – SMND – SOND  2SOMN = 2SOAD – 2SOAM – 2SMAD – 2SMND – 2SOND Do M, N theo thứ tự trung điểm AC, BD (gt)  2SOMN = 2SOAD – SOAC – SCAD – SMBD – SOBD = 2SOAD – (SOAC + SCAD) – SMBD – SOBD = SOAD – SMBD – SOBD = SABD – SMBD = SABM + SADM  4SOMN = 2SABM + 2SADM = SABC + SADC = SABCD  SOMN = SABCD Nhận định sai lầm: Lời giả i dựa vào hình vẽ ứng với trường hợp điểm M nằm ABD Khi điểm M nằm ABD, đẳng thức lời giải khơng nữa, dù kết tốn Lời giải bổ sung : Khi M nằm ABD SOMN = SOAD – SOAM – SAMN – SNAD – SOND  2SOMN = 2SOAD – 2SOAM – 2SAMN – 2SNAD – 2SOND Do M, N theo thứ tự trung điểm AC, BD (gt)  2SOMN = 2SOAD – SOAC – SANC – SABD – SOBD = 2SOAD – SOAC – SANC – (SABD + SOBD) = 2SOAD – SOAC – SANC – SOAD = SOAD – SOAC – SANC = SACD – SANC = SAND + SCND  4SOMN = 2SAND + 2SCND = SABD + SCBD = SABCD  SOMN = SABCD Bài tốn 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Từ điểm M thuộc cung BC không chứa điểm A đường tròn (O), dựng MH  AB (H AB) MK  AC (K AC) Tìm vị trí điểm M để đoạn thẳng HK có độ dài lớn Lời giải sai xót: Lấy E, F điểm đối xứng với M qua H,K  AEM AFM cân A   < BAC  AE = AM = AF EAF Ta có: HK = EF HK đạt GTLN  EF đạt GTLN  AE đạt GTLN  AM đạt GTLN GV: Hoàng Minh Hậu 01234 Một số sai lầm giải tốn hình học  AM đường kính đường tròn (O) Vậy: Khi M điểm đối xứng A qua O độ dài IK đạt GTLN Nhận định sai lầm: Đề cho ABC tam giác nên lời giải  trường hợp ABC điểm O nằm BAC M thuộc cung nhỏ BC  AM đường kính Khi điểm O nằm ngồi BAC đường tròn (O) khơng (M nằm cung BC) Lời giải đúng: Bổ sung thêm hai trường hợp:  mà AC > AB (AC gần tâm O AB) thì: 1) O nằm BAC  EF đạt GTLN  AE đạt GTLN  AM đạt GTLN  AM  AC (AB  AM  AB)  M  C  mà AB > AC HK đạt GTLN Tương tự: Khi O nằm BAC AM  AB  M  B  giả sử O  AC 2) O nằm cạnh cùa BAC  EF đạt GTLN  AE đạt GTLN  AM đạt GTLN  AM  AC  M  C  AM đường kính đường tròn (O) Bài tốn 8: Cho đường tròn (O; R) có B C dây cố định điểm A chạy đường tròn Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Hỏi A chạy đường tròn (O; R) điểm I di chuyển nào? Lời giải sai xót:  =  khơng đổi Do BC cố định nên BAC  + ACB  = 1800 –   ABC I tâm đường tròn nội tiếp ABC (gt)  + ICB  = ( ABC  + ACB  ) = 900 –   IBC 2  = 1800 – ( IBC  + ICB  ) = 900 +  khơng đổi  BIC GV: Hồng Minh Hậu 01234 Một số sai lầm giải tốn hình học I ln nhìn đoạn BC góc 90 + cung chứa góc 900 +  dựng đoạn BC  không đổi nên I chạy hai Nhận định sai lầm: Thông thường học sinh thường vẽ hình điểm A nằm cung lớn BC ( ABC nhọn) mà không đọc kỹ đề nên xảy sai xót lời giả i từ câu đầu  =  không đổi” Khi dây BC cố định xác tiên: “Do BC cố định nên BAC định nên hai cung, cung lớn BC cung nhỏ BC (chỉ trừ trường hợp đặc biệt  nhận số đo khác khơng thể dây cung đường kính) Do BAC  = có BAC Lời giải :  =  không đổi * Xét trường hợp A thuộc cung lớn BC, ta có BAC (Trình bày lời giải trên) Do A thuộc cung lớn AC nên I thuộc nửa mặt phẳng bờ BC chứa cung lớn BC  = 1800 –  * Xét trường hợp A thuộc cung nhỏ BC, ta có BAC khơng đổi  + ACB  = 1800 – BAC  =  ABC I tâm đường tròn nội ti ếp ABC (gt)  + ICB  = ( ABC  + ACB )=   IBC 2  = 1800 – ( IBC  + ICB  ) = 1800 –  không đổi  BIC  I ln nhìn đoạn BC góc 180 – không đổi nên I chạy cung  chứa góc 1800 + dựng đoạn BC, thu ộc nửa mặt phẳng bờ BC chứa cung nhỏ BC Vậy:  + Nếu A chạy cung lớn BC I chạy cung chứa góc 90 + dựng đoạn BC, thuộc nửa mặt phẳng bờ BC chứa cung lớn BC  + Nếu A chạy cung nhỏ BC I chạy cung c hứa góc 1800 – dựng đoạn BC, thuộc nửa mặt phẳng bờ BC chứa cung nhỏ BC Bài toán 9: Cho ABC cân A, nội tiếp đường tròn (O; R), có AB = AC = a đường cao AH = h tính R theo a h GV: Hoàng Minh Hậu 01234 Một số sai lầm giải tốn hình học Lời giải sai xót: Theo giả thiết, ta có: AH đường trung trực BC  O AH Ta có: OA = OB = R OH = h – R Xét ABH vng H, ta có: HB2 = AB2 – AH2 = a2 – h2 Xét OBH vng H, ta có: OB2 = OH2 + HB2  R2 = (h – R)2 + (a2 – h2) a2 2 2 2  R = h – 2hR + R + a – h  2hR = a  R = 2h Nhận định sai lầm:  nhọn A  = 900 Do hình vẽ Ta có: OH = h – R với trường hợp A  tù  < 900 nên cần bổ sung thêm trường hợp A vẽ A Lời giải đúng:  tù Khi đó: OH = R – h * Bổ sung trường hợp A Các phần khác giữ nguyên, kết cuối * Ở lời giải trên, thay hệ thức OH = h – R hệ thức OH = h  R xét cho trường hợp đưa đến lời giải đú ng hoàn chỉnh * Hoặc trình bày giải ngắn gọn đầy đủ khác sau: AH đường cao ABC cân A (gt)  AH đường trung trực BC  A, H, O thẳng hàng Gọi D giao điểm tia AH với đường tròn (O)  AD đường kính đường tròn (O; R)  = 900 AD = 2R  ABD  = 900 BH đường cao, ta có: Xét ABD, ABD a2 2 AB = AH.AD  a = h.2R  R = 2h  = 1200 Hãy tìm tất Bài tốn 10: Cho đường tròn (O), dây AB cho AOB điểm M thỏa mãn điều kiện MA.MB = MT 2, T tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến đường tròn (O) Lời giải sai xót : Trên đường thẳng AB, lấy ểm M bên đoạn thẳng AB, giả sử M thuộc tia đối tia AB.Kẻ tiếp tuyến MT  = MBT  (cùng chắn TA  ); Ta có: MTA  = BMT  (M  chung) TMA MT MA = MB MT  MT = MA.MB thỏa điều kiện tốn Vậy: M thuộc đường thẳng AB nằm ngồi đoạn AB  MTA  MBT (g.g)  GV: Hoàng Minh Hậu 01234 Một số sai lầm giải tốn hình học Nhận định sai lầm: Do điều kiện MA.MB = MT2 quen thuộc nhiều tập, nên lời giải trình  = 1200 khơng biết để làm bày nhanh gọn mà quên việc giả thiết cho AOB gì?! Đồng thời lời giải xét trường hợp M, A, B thẳng hàng với việc vẽ hình đơn giản nên lời giải cần lập luận theo hình vẽ xong Vấn đề cần tìm hiểu thêm mối quan hệ điều kiện  = 1200? Khi M, A, B khơng thẳng hàng sao? MA.MB = MT2 với giả thiết AOB Lời giải đúng: (bổ xung thêm vào lời giải) Từ giả thiết, MT tiếp tuyến, M tiếp điểm đường tròn (O) nên M phải nằm ngồi đường tròn (O) Khi M, A, B khơng thẳng hàng Khơng tính tổng qt, cho MA < MB Gọi C giao điểm thứ hai MA với đường tròn(O) kẻ tiếp tuyến MT Chứng minh tương tự lời giải, ta có: MT2 = MA.MC Mà: MT2 = MA.MB (gt)  MB = MC  MBC cân M  < 900  C thuộc cung lớn AB  đường tròn (O)  MCB  = AOB  = 600  MBC  MCB  M thuộc cung chứa góc 60 dựng đoạn AB nằm ngồi đường tròn(O) Kết luận: Điểm M nằm cung chứa góc 60 dựng đoạn AB ( nằm đường tròn(O)) phần đường thẳng AB nằm ngồi đoạn thẳng AB Bài tốn 11: Cho tam giác ABC Về phía tam giác ABC dựng tam giác ABC’, ACB’, BCA’ Gọi O1, O2, O3 tâm đường tròn tam giác ABC’, ACB’, BCA’ Chứng minh tam giác O 1O2O3 Lời giải sai xót: Giả sử đường tròn ngoại tiếp ABC’ ACB’ cắt M AMBC’ AMCB’ tứ giác nội tiếp  = 1200 ( AC   = 600)  = AMC 'B = AB'C  AMB  = 1200  BMC  + BA  'C = 1200 + 600 = 1800  BMC  BMCA’ nội tiếp đường tròn  Đường tròn ngoại tiếp CBA’ qua M  O1O2  MB; O2O3  MC; O3O1  MA (tính chất đường nối tâm)     = AMC  = 1200  O  = BMC Mà: AMB 3O1O = O1O O3 = O O3O1 = 60  ABC Nhận định sai lầm: Do vẽ hình ABC có góc tam giác nhỏ 120 nên lời giải thiếu trường hợp: Lời giải bổ sung: GV: Hoàng Minh Hậu 01234 Một số sai lầm giải tốn hình học  = 1200 * ABC có góc 1200, chẳng hạn A    +O AC + BAC AC = 300 + 1200 + 300 = 1200 Khi đó: O  A, O1, O2 thẳng hàng  O1O2 = O1A + O2A  Đường tròn (O1) đường tròn  = 1200 (O2) tiếp xúc A A  M  BMC  > 1200 * ABC có góc lớn 1200, chẳng hạn A Khi đó: Tứ giác BAMC’ CAMB’ nội tiếp   = AMC  = 600  = BC 'A = AB'C  BMA  = BMA  = 1200  + AMC  BMC  < 1200) (các phần lại chứng minh tương tự trường hợp A 2) Sai lầm nhận định vội vàng dẫn đến lập luận trình bày giải sai: Bài toán 1: Cho tam giác ABC cân A Qua A kẻ đường thẳng d song song với BC Trên lấy điểm D khác A Chứng minh rằn g chu vi tam giác DBC lớn chu vi tam giác ABC Lời giải sai : Dựng điểm E đối xứng với C qua đường thẳng d Vì A, D  d  AC = AE DC = DE Ký hiệu P S chu vi hình S, ta có: PABC = AB + BC + CA = AB + BC + AE = BC + BE; (1) PDBC = DB + BC + CD = DB + BC + DE (2) Xét DBE, ta có: DB + DE > BE (bất đẳng thức tam giác)(3) (1), (2), (3)  DB + BC + DE > BC + BE Vậy: PDBC > PABC Nhận định sai lầm: Lời giải thiếu chứng minh B, A, E thẳng hàng để kết luận AB + AE = BE Lời giải : (Bổ sung cho lời giải chứng minh B, A, E thẳng hàng, phần khác giữ nguyên) 10 GV: Hoàng Minh Hậu 01234 Một số sai lầm giải tốn hình học   = CAD Vì AD đường trung trực CE nên EAD  = ACB  (sole d // BC); ACB  = ABC  (ABC cân A) Ta lại có: CAD  = ABC   = ACB  CAD  + ABC  + CAD  + EAD  = 1800  = BAC  + ACB  BAC  B, A, E thẳng hàng Bài toán 2: Một học sinh đưa trường hợp thứ tư “cạnh – cạnh–góc”: Mệnh đề: A=  A ' ABC = A’B’C’ Nếu ABC A’B’C’ có AB = A’B’, BC = B’C’,  Chứng minh:  =  A ' B 'C ' Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A kẻ tia Bx cho CBx Trên tia Bx lấy điểm D cho BD = A’B’ Ta có: DBC = A’B’C’ (c.g.c) (1)  = B'A'  BD = B’A’ = BA  C' = BAC  BDC  = BDA   ABD cân B  BAD  = BDC  nên CAD  = CDA  Mặt khác: BAC  ACD cân C  CA = CD  ABC = DBC (c.c.c) (1) (2)  ABC = A’B’C’ (2) Mệnh đề chứng minh có trường hợp thứ tư hai tam giác Nhận định sai lầm: Sai lầm chứng minh tinh vi chỗ:  = CDA   ACD cân C” “ CAD Suy luận sai C nằm đoạn thẳng AD  = CDA  = 00 ACD không tồn nên tam giác Khi đó: CAD cân, nghĩa khơng thể có CA = CD! Lưu ý : “ Phép chứng minh bị sai chưa suy mệnh đề cần chứng minh sai” Hãy suy nghĩa cách chứng minh Biết đâu ta thành nhà toán học tài chăng? Ở mệnh đề trên, ta bổ sung thêm điều kiện mệnh đề trở thành : 11 GV: Hoàng Minh Hậu 01234 Một số sai lầm giải tốn hình học  ; ; A 'C ' B ' nhọn, tù vuông; BAC Điều kiện thêm là: ACB  B ' A 'C ' góc khơng nhọn Bài tốn (bài tập phần đối xứng tâm): Chứng minh rằng: Nếu điểm A, B, C khơng thẳng hàng điểm A’, B’, C’ đối xứng với A, B, C qua điểm O không thẳng hàng Lời giải sai: A, B, C không thẳng hà ng  AC + AB > BC (bất đẳng thức tam giác) A’, B’, C’ đối xứng với A, B, C qua điểm O  AB = A’B’; AC = A’C’; BC = B’C’  A’C’ + A’B’ > B’C’ Vậy A’, B’, C’ không thẳng hàng Nhận định sai lầm: Sai lầm kết luận: A’, B’, C’ kh ông thẳng hàng từ bất đẳng thức A’C’ + A’B’ > B’C’ Chú ý: A’C’ + A’B’ > B’C’ suy A’, B’, C’ khơng thẳng hàng Một phản ví dụ hình dước (có A’C’ + A’B’ > B’C’) : Lời giải : (Dùng phương pháp phản chứng) Giả sử A’, B’, C’ thẳng hàng Do vai trò A’, B’, C’ nên giả sử B’ nằm A’, C’ Khi đó: A’C’ = A’B’ + B’C’ Mà: A’, B’, C’ đối xứng với A, B, C qua điểm O  AB = A’B’; AC = A’C’; BC = B’C’  AC = AB + BC mâu thuẫn với việc A, B, C khơng thẳng hàng nên phải có: AB + BC > AC Vậy: A’, B’, C’ không thẳng hàng Bài toán 4: Gọi O trung điểm đoạn thẳng AB Kẻ hai tia Ax, By vng góc với AB nằm hai phía đường thẳng AB Trên Ax, By lấy điểm M, N cho AM = BN Chứng minh O trung điểm MN Lời giải sai:  = NBO  = 900; Theo giá thiết, ta có: AO = BO; MAO AM = BN  MAO = NBO (c.g.c)  MO = NO  O trung điểm MN Nhận định sai lầm: Thiếu phần chứng minh M, O, N thẳng hàng Lời giải đúng: Có nhiều cách giải toán Dưới vài cách Cách 1: (Dùng kiến thức lớp 7)   = BON MAO = NBO (c.g.c)  MO = NO AOM  = 1800  + AON  + AON  = BON  = AOB  AOM  O trung điểm MN 12 GV: Hoàng Minh Hậu 01234 Một số sai lầm giải tốn hình học Cách 2: (Dùng kiến thức lớp 8) AM // BN (cùng  AB); AM = BN (gt)  AMNB hình bình hành O trung điểm AB  O trung điểm MN Bài toán 5: Cho tam giác ABC, điểm M cạnh BC (M  B, M  C) Dựng MD  AB, ME  AC (D  AB, E  AC) Xác định vị trí điểm M để diện tích tam giác MDE lớn Lời giải sai: (MD.AB + ME.AC) Mà: AB = AC nên SABC = SABM + SACM = AB(MD + ME) Trong khi: SABC = AB.h (h đường cao ABC)  MD + ME = h 1 Kẻ EH  DM, ta có: SMDE = EH.MD  ME.MD (HME vuông H) 2 Ta có: SABC = SABM + SACM = h2  ME  MD  Mà: ME.MD    SMDE  h2 (không đổi)  =   Dấu “=” xảy ME = MD  M  H Vậy: SMDE đạt giá trị lớn h2 M  H Nhận định sai lầm: M  H chân đường cao ABC kẻ từ A Mà EH  DM  EM  DM  = 900 sai!  DME  = 1200 Do đó: SMDE lớn khơng thể h2 Vì: DME giải đúng: Lời Kẻ EH  DM  = 600  DME  = 1200  EMH  = 600 Ta có MD  AB, ME  AC, A  = ME.sin 600 =  EH = ME.sin EMH ME (MEH vuông H) 1 3 Ta có: SMDE = EH.MD = ME.MD = ME.MD 2 h2  ME  MD  Mà: ME.MD   (h độ dài đường cao ABC)  =    SMDE  h (không đổi) 16 Dấu “=” xảy ME = MD  M trung điểm BC Vậy: SMDE đạt giá trị lớn h với h độ dài đường cao ABC M 16 trung điểm BC 13 GV: Hoàng Minh Hậu 01234 Một số sai lầm giải toán hình học Bài tốn 6: Cho điểm M thuộc nửa đường tròn (O; R) đường kính AB (M khác A, B) Tiếp tuyến M đường tròn (O; R) cắt tiếp tuyến A B đường tròn (O; R) C D Gọi E giao điểm OC AM, F điểm OD BM Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp Xác định giá trị nhỏ bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD Lời giải sai:  = CMO  = 900 (AC, CM tiếp tuyến) Ta có: CAO  ACMO nội tiếp đường tròn đường kính OC  = OCM  (cùng chắn OM  ) (1)  OAM Ta lại có: CM = CA; OM = OA  OC đường trung trực AM  E trung điểm AM DM = DB; OM = OB  OD đường trung trực BM  F trung điểm BM  EF // AB (tính chất đường trung bình MAB)  = FEM  (đồng vị)  OAM (2)  (sole trong) (3)  = OFE Ta có: AM // OD (cùng  BM)  FEM  = OCM   CEFD nội tiếp (1), (2), (3)  OFE Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD CD Ta có: AC  AB, BD Mà CD  AB (AC, CM tiếp tuyến)  AC // BD  ACDB hình thang vng A, B  CD  AB CD AB  KC   = R 2 Dấu “=” xảy CD = AB, CEFD hình chữ nhật CD // AB Mà CD  OM (CD tiếp tuyến) nên OM  AB M điểm  AB  Vậy: KC nhỏ R M điểm AB Nhận định sai lầm: Bài giải thực suôn sẻ xác định KC = R (?!) Điều KC khơng thể R! Vì: Nếu KC = R CD = AB M  K  CD đường kính đường trò n ngoại tiếp CEFD  = 900 = CEM  , vô lý!  CED Lời giải đúng: (Thực chứng minh CEFD nội tiếp) Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD, I trung điểm CD, N trung điểm EF  KI  CD; KN  EF Do CD dây cung đường tròn (K; KC)  KC  14 GV: Hoàng Minh Hậu 01234 Một số sai lầm giải tốn hình học  K giao điểm KI KN IK // ON (cùng  CD); OI // AC KN // AC (cùng  AB)  OI // KN IKNO hình bình hành  IK = ON = KC = CI  IK = 2 R 2  CD   R      =   2 CD  R  AB2  R R  Dấu “=” xảy CD = AB  M điểm AB Bài toán 7: Cho điểm M nằm đoạn thẳng AB (MA  MB) Dựng phía AB hai hình vng AMCD BMEF Gọi N giao điểm thứ hai đường tròn ngoại tiếp hai hình vng AMCD BMEF Chứng minh A, E, N thẳng hàng Lời giải sai 1:  KC  (2R)  R =  ; ME = MB  = CMB AME CMB có AM = CM; AME   = MCB  AME = CMB (c.g.c)  MAE MAE vuông M NCE vuông N  = MCB   = 900 = NCE  + NEC  + NEC  + MEA  MAE   = NEC  MEA Mà C, E, M thẳng hàng nên A, N, E thẳng hàng Lời giải sai 2:  ; ME = MB  = CMB AME CMB có AM = CM; AME   = MCB  AME = CMB (c.g.c)  MAE  + MCB  = 900 MBC vuông M nên MBC  = 900  AE  BC (1)  + MCB  MAE  = 900) Ta lại có EN  BC ( ENB (2) (1) (2)  A, N, E thẳng hàng Lời giải sai 3: AMCD BMEF hình vng  MD  AC, BE  ME  = 450 + 450 = 900)  + FMC Và MD  ME ( DMC  BE  AC Đồng thời CM  AB (gt)  E trực tâm ABC  = 900)  A, N, E thẳng hàng  AE  BC Ta lại có: EN  NB ( ENB Nhận định sai lầm: Cả b a lời giải sai lầm ngộ nhận điểm B, N, C thẳng hàng Lời giải : Giả sử AM > BM N nằm nửa mặt phẳng bờ CM có chứa điểm B Gọi I giao điểm BE AC 15 GV: Hoàng Minh Hậu 01234 Một số sai lầm giải tốn hình học  = IBM  = 450  AIB  = 900 Ta có: IAM  (cùng chắn CN  );  = CMN Ta lại có: IAN  (cùng chắn EN )  = EBN CMN  = EBN  nhìn cạnh đối diện IN  IAN  ABNI nội tiếp đường tròn  = 900  AN  BC  = AIB  ANB  = 900) Ta lại có: EN  NB ( ENB  A, N, E thẳng hàng Bài toán 8: Cho tam giác nhọn ABC, điểm M di chuyển cạnh BC Gọi R R2 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM tam giác ACM Xác định vị trí điểm M để tổng R1 + R2 nhỏ Lời giải sai : Vẽ đường cao AH ABC (H  BC) Ta có: H cố định, độ dài AH không đổi AM  AH R1, R2 bán kính đường tròn ngoại tiếp ABM, ACM  2R1  AM 2R2  AM  R1 + R2  AM  AH Vậy: Khi M chân đường cao vẽ từ A ABC tổng R + R2 nhỏ Nhận định sai lầm: Lời giải xuất sai lầm chỗ: R + R2  AM ! Ta thấy: Khi đẳng thức xảy AM đường kính đường tròn ngoại tiếp  = 900  ABC có góc vng (?!), nghĩa :  = ACM ABM, ACM  ABM R1 + R2 > AH Lời giải đúng: R1, R2 bán kính đường tròn ngoại tiếp ABM, ACM AC AB AB  AC R1  , R2   R + R2  2 Đẳng thức xảy AB = 2R 1, AC = 2R2, nghĩa AM  BC Vậy: Khi M chân đường cao vẽ từ A ABC tổng R + R2 nhỏ Bài tốn 9: Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm Vẽ bên tam giác hai nửa đường tròn đường kính AB, AC Một đường thẳng d di động qua A cắt hai nửa đường tròn đường kính AB, AC M, N (khác A Tìm giá trị lớn chu vi tứ giác BMNC Lời giải sai: Gọi I trung điểm BC ABC có AB2 + AC2 = BC2 (32 + 42 = 52)  ABC vuông A  BI = BC hay BC = 2AI  = 900 Vẽ BE  CN (E  CN), ta có: BEN 16 GV: Hồng Minh Hậu 01234 Một số sai lầm giải tốn hình học  = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  = MNE Đồng thời: BMN  Tứ giác BMNE hình chữ nhật  MN = BE  BC Gọi D trung điểm MN Ta có: ID đường trung bình hình thang BMNC vng M, N ID  MN D  MB + NC = 2ID  2AI = BC Do chu vi BMNC BM + MN + NC + BC  3BC = 15 (cm) Đẳng thức xảy E  C, D  A Vậy: GTLN chu vi tứ giác BMNC 15 (cm) Nhận định sai lầm: Lời giải sai lầm lập luận: Đẳng thức xảy E  C, D  A Thực tế: Không thể xảy đồng thời E  C, D  A Khi E  C BMNC hình chữ nhật, BMDI CNDI hình vng, AI  BC  ABC vuông cân A, trái với giả thiết AB =  AC = Còn D  A AM = BN  BM2 + AM2 = NE2 + AN2 < NC2 + AN2 (AB2 < AC2) Nghĩa E không trùng C Lời giải đúng: Ta có: (AM – MB)2   AM2 + MB2  2AM.MB  2(AM2 + MB2)  2AM.MB + AM2 + MB2 = (AM + MB)2  2AB2  (AM + MB)2 (định lý Pythagòre AMB vng M)  AM + MB  AB Tương tự: AN + NC  AC  BM + MN + NC + BC = BM + AM + AN + NC + BC  (AB + AC)  BM + MN + NC + BC  + Đẳng thức xảy AM = MB, AN = NC  M, N điểm  , AC  AB Vậy: GTLN chu vi tứ giác BMNC + (cm) M, N lần  , AC  lượt điểm AB Bài toán 10: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Từ điểm M chạy cung nhỏ BC, dựng MH  AB (H AB) MK  AC (K  AC) Tìm vị trí điểm M để đoạn thẳng HK có độ dài lớn Lời giải sai:  = AKM  = 900 AHM  AHMK nội tiếp đường tròn đường kính AM  HK  AM Gọi R bán kính đường tròn (O) ngoại tiếp ABC  AM  2R  HK  2R Đẳng thức xảy AM đường kí nh đường tròn (O; R) 17 GV: Hoàng Minh Hậu 01234 Một số sai lầm giải tốn hình học Nhận định sai lầm: Từ chỗ HK  AM Vì HK = AM HK đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHKM  = 900 trái với giả thiết ABC nhọn  HAK Lời giải đúng: Sau chứng minh AHMK nội tiếp đường tròn đường kính AM  = MAB  = MAC  = MHK  ; MCB  = MKH   MBC BC MB = HK MH MBH vuông H  MH  MB  HK  BC  = 900 AM đường kính Dấu “=” xảy H  B, ABM đường tròn (O) Bài tốn 11: Cho tam giác ABC vng cân A, AD trung tuyến Lấy điểm M đọa AD (M khác A D) Gọi I, K hình chiếu vng góc M AB, AC; H hình chiếu vng góc I DK Chứng minh B, M H thẳng hàng Ba lời giải sai:  (đồng vị)  = ABM 1) Ta có: BA  AC; MK  AC (từ gt)  MK // AB  KMH   = ABM  + IMB  + 900 + IMB  + IMK  KMH  MBC  MHK  = 900 + 900 = 1800  = 1800  B, M H thẳng hàng  BMH  = AKM   = 900; AI tia phân giác IAK  = AIM 2) IAK  = 900  IAKM hình vng  IMK  = 900 Đồng thời IHK  điểm A, I, M, H, K thuộc đường tròn đường kính IK  (góc nội tiếp)  = sđ KH  KMH Áp dụng tính chất góc có đỉnh bên ngồi đường tròn, ta có:  ) = (sđ AKH  ) (AK = IM)  – sđ AK  = (sđ AKH  – sđ IM ABH   ABH 2  = KMH  = ABM   B, M H thẳng hàng = sđ KH  = 900 3) AD trung tuyến ABC vuông cân A  AD  BC  ADB  = AKM  = 900; AI tia phân giác IAK   = AIM IAK  = 900  = 900 Đồng thời IHK  IAKM hình vng  IMK  điểm A, I, M, H, K thuộc đường tròn đường k ính IK AM  = 900  AHM 18 GV: Hoàng Minh Hậu 01234 Một số sai lầm giải tốn hình học  = 900  H, D thuộc đường tròn đường kính AB  = AHD  ADB  )  HAM  DBM (g.g)  AMH  (cùng chắn HD  = BMH  = HBD   HAD Mà A, M, D thẳng hàng nên B, M H thẳng hàng Nhận định sai lầm: Cả ba lời giải vướng vào việc ngộ nhận: Công nhận điều cần phải chứng minh (B, M H thẳng hàng) để chứng minh điều này! Từ dẫn đến kết luận thiếu cứ:   = ABM 1) MK // AB  KMH  = (sđ AKH  – sđ IM ) 2) ABH  = 900  ADB  = 900  H, D thuộc đường tròn đường kính  = AHD 3) AHM AB Lời giải đúng:  = AKM  = 900; AI tia phân giác IAK   = AIM IAK  = 900  IAKM hình vng  IMK  = 900 Đồng thời IHK  điểm A, I, M, H, K thuộc đường tròn có đường kính IK AM  = 450  AHK  = 450 (ABC vuông cân A)  = AIK  = ABD  AHK  Tứ giác A HDB nội tiếp (góc ngồi góc đỉnh đối diện)  = 900 (AD trung tuyến ABC vuông cân A nên  = ADB  AHB đường cao)  = 900 (H thuộc đường tròn đường kính AM) Đồng thời ta có: AHM  = 900  B, M, H thẳng hàng  = AHM  AHB Bài toán 12: Cho hai đường tròn (O) (O’) ngồi nhau, có tiếp tuyến chung MM’ tiếp tuyến chung NN’ (M, N  (O) M’, N’  (O’)) Gọi giao điểm MN M’N’ Q Chứng minh O, Q, O’ thẳng hàng Lời giải sai: Gọi giao điểm MM’ NN’ P; PO cắt MN I PO’ cắt M’N’ I’  ; M 'P ' N ' Ta có: PO, PO’ tia phân giác MPN PM = PN; PM’ = PN’ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  +M  ' P ' N ' = 1800 OM = ON; OM’ = ON’ Mà: MPN  PO  PO’ PO  MN I; PO’  M’N’ I’  = IPI  ' = PI 'Q = 900  PIQI’ hình chữ nhật  PIQ  (OIQ vuông I)  = 900 – POQ Ta có: OQM   M 'QO ' = 900 – PO 'Q (OIQ vuông I’)   + PO 'Q = 900 (OPO’ vuông P) POQ 19 GV: Hoàng Minh Hậu 01234 Một số sai lầm giải tốn hình học    + 900 – PO  + PO  + M  'Q = 1800 – ( POQ 'Q ) = 900  OQM 'QO ' = 900 – POQ  + MQM ' + M  ' = OQM 'QO ' = 1800  O, Q, O’ thẳng hàng  OQO Nhận định sai lầm: Vẫn sai xót thường gặp chứng minh ba điểm thẳng hàng: Thừa nhận thẳng hàng để chứng minh thẳng hàng Cụ thể, Q chưa thuộc đường thẳng OO’ nên chưa thể kết luận:   ' PO  = POO 'Q = PO POQ 'O Lời giải : Sau chứng minh PIQI’ hình chữ nhật  PI = QI’  = N  )  MON  = N   'PM ' (cùng bù MPN 'PM ' Ta có: MON 2  =O  = M   'PO' Đồng thời: OMP ' M ' P (=900)  MOP  MOP  M’PO’ (g.g) mà MI M’I’ đường cao tương ứng PI OP QI ' ' = QI  'O ' (=900)  = = Đồng thời: OPO O'I' PO ' O'I'  POO’  I’QO’ (c.g.c)  'O 'Q  O, Q, O’ thẳng hàng 'O = I  PO 3) Một số tập khác dùng ôn tập chương, cuối học kỳ, cuối năm: Bài 1: Cho hình thoi ABCD Điểm M nằm hình thoi (M khác giao điểm hai  = 1800 Các đường thẳng MC, MD cắt AB lần  + CMD đường chéo) cho AMB lượt E, H; đường thẳng AM cắt BC F; đường thẳng BM cắt AD G Chứng minh EF  HG Lời giải sai : Dựng hình bình hành DCMI Ta có: IM // DC, IM = DC Mà DC // AB, DC = AB (ABCD hình thoi)  IM // AB, IM = AB  ABMI hình bình hành   = ABM  ; AMB  = MAI  MB // AI; AIM   = IDM Ta lại có: CMD  = AMB  + IDM  = 1800 (gt)  + CMD  MAI  AMDI nội tiếp đường tròn  (cùng chắn AM  = ADH  hay ABG  = ADM  = ADM   )  ABM  AIM ABG ADH có  = DAH  ; AB = AD (ABCD hình thoi); BAG  = ADH  (A  chung) ABG  ABG ADH (g.c.g)  AG = AH Mà AD = AB  GH // DB Dựng hình bình hành DCJM, chứng minh tương tự, ta có: EF // AC Mà DB  AC (tính chất hình thoi)  EF  HG 20 GV: Hoàng Minh Hậu 01234 Một số sai lầm giải tốn hình học Nhận xét lời giải :  = ADM  = MDB )  ( ABD  = ADB   MBD Theo lời giải, ta có: ABM  MBD cân M  MB = MD  M thuộc đường trung trực BD, nghĩa M  AC Tương tự: M  AC  M giao điểm hai đường chéo AC BD hình thoi ABCD (trái với giả thiết) Như vậy: Không thể tồn điểm M khác giao điểm hai đ ường chéo hình t hoi  = 1800  + CMD ABCD cho AMB Đề xuất: Có thể sửa lại đề tốn lại sau: “Cho hình thoi ABCD Hãy tìm  + CMD  = 1800.” điểm M hình thoi cho AMB Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD; AB < CD) Hai điểm M N thứ tự thuộc cạnh AD cạnh BC cho MN // CD Hãy xác định giá trị độ dài MN theo độ dài AB CD để S ABNM = SMNCD Lời giải: Gọi O giao điểm AD BC AB // MN // CD (gt) AB2 SOAB AB  OAB  OMN theo tỉ số:  = SOMN MN MN SOAB MN  AB2 AB2  =  SABNM = SOAB SABNM AB2 MN  AB2 AB SOAB AB2 Và OAB  OCD theo tỉ số:  = SOCD CD CD SOAB AB2 CD  AB2  =  SABCD = SOAB SABCD CD  AB2 AB2 CD  MN CD  AB2 MN  AB2 SMNCD = SABCD – SABNM = ( – ).SOAB = SOAB AB2 AB2 AB2 CD  AB2 2 2 SABNM = SMNCD  MN – AB = CD – MN  MN =  = 600, đường cao AH Biết CH = a BH = 2a Bài 3: Cho tam giác ABC có A Hãy tính AH theo a Lời giải sai: Đặt AH = x > theo cơng thức tính diện tích tam giác ta có: SABC = 1 AH.BC = AB.AC.sinA 2  AH.BC = AB.AC.sinA  AH(BH + CH) = AB.AC.sin 600  3ax = 4a  x a  x  2ax = 21 4a  x a  x GV: Hoàng Minh Hậu 01234 Một số sai lầm giải tốn hình học 12a2x2 = (4a2 + x2)(a2 + x2)  12a2x2 = 4a4 + 4a2x2 + a2x2 + x4  x4 – 7a2x2 + 4a2 =  = 49a4 – 16a4 = 33a4 > 0, a 7a  a 33 x = x= 2 Vậy AH =  33 14  33 a= 2 14  33 a AH = 14  33 a Nhận xét: Khơng lẽ độ dài AH có hai giá trị khác nhau? Lời giải trình bày sai chỗ thay sin 60 mà dùng dấu tương đương  = 600  = 1200 Vì vậy: lời giải cần thiết phải kiểm tra lại giá trị x để xác định giá trị thích hợp Lời giải đúng: Ta có: Chú ý: sin  =  = 600  ABC  > BAC  < 300 Nếu C  HB (do BH > CH) BAH  = 600, trái với suy luận  > BAC Mặt khác: AC > HC = a = BC  ABC Do đó: H  BC   600 > CAH   AH > CH  = 600 nên B  +C Do: A Đặt AH = x > a > (Trình bày bày giải lời giải trên, tránh dùng dấu ) Ta có: x = Vậy: AH = 14  33 a Loại giá trị x = 14  33 a 14  33