Chuyên đề – vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 9

CHUYÊN ĐỀ: “Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 9” CHƯƠNG I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Một số hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông Bài tốn 1: Cho hình chữ nhật ABCD, M điểm thuộc miền hình chữ nhật Chứng minh rằng: MA2 + MC2 = MB2 + MD2 *GỢI Ý: Từ đẳng thức cần chứng minh ta liên hệ đến định lí Py-ta-go Vì lí vẽ đường phụ qua M vng góc với AB E ME cắt DC F Ta có: MF  DC Các tam giác EAM, FMC, EBM, FMD hai hình chữ nhật AEFD, EBCF giúp ta tìm lời giải toán! LƯU Ý: Bạn đọc xét trường hợp M nằm ngồi hình chữ nhật Bài tốn 2: � � Cho tứ giác ABCD có C + D = 900 Chứng minh rằng: AB2 + CD2 = AC2 + BD2 *GỢI Ý: � � Vì C + D = 900 < 1800 nên hai đường thẳng AD BC cắt nhau, gọi E giao điểm AD BC � Từ ta có CED = 900 Các tam giác EAB, ECD, EAC, EBD vuông E, áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác cho ta kết cần chứng minh Điểm E điểm cần vẽ thêm Bài toán 3: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có đường cao AH = cm, đường chéo BD = cm, hai đường chéo AC BD vng góc với Tính diện tích hình thang ABCD *GỢI Ý: Chỉ cần tính độ dài AC tính diện tích ABCD tứ giác ABCD có AC  BD Ta nhận đường phụ BE // AC, E  DC giúp ta tính AC Bài tốn 4: Cho tam giác ABC cân A có góc A nhọn, đường cao BH AH �AB �  � � �BC � Chứng minh rằng: HC *GỢI Ý: Chọn điểm phụ D điểm đối xứng C qua A, ta có tam giác BDC vng B � BDC có B = 900, BH đường cao Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta tìm lời giải tốn Bài tốn 5: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Lấy điểm D thuộc cạnh AC, điểm E thuộc tia đối tia HA AD HE   cho AC HA � Chứng minh rằng: BED = 900 *GỢI Ý: CHUYÊN ĐỀ: “Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 9” AD HE   Từ giả thiết AC HA ta nghĩ đến vẽ DF  AH, F  AH Từ AF = HE, HA = FE áp dụng định lí Py-tago ta chứng minh BE2 + ED2 = BD2 Bài toán 6: Cho tam giác ABC, AM trung tuyến BC AB  AC  AM  Chứng minh rằng: *GỢI Ý: Khơng làm tính tổng qt, ta giả sử: AB < AC Ta vẽ đường cao AH để có tam giác vng HAB, HAC, HAM áp dụng định lí Py-ta-go Bài tốn 7: Cho tam giác ABC D điểm thuộc cạnh BC Chứng minh rằng: AB2 CD + AC2 DB – AD2 BC = CD DB BC *GỢI Ý: Ta vẽ thêm đường phụ AH  BC, H  BC để xuất tam giác vng áp dụng định lí Py-tago Bài tốn 8: a) Chứng minh rằng: “Trong hình thang cân ABCD (AB // CD), ta có: AC2 + BD2 = AD2 + BC2 + 2AB.CD.” b) Chứng minh với tứ giác ABCD, ta có AC2 + BD2  AD2 + BC2 + 2AB.CD Tìm điều kiện cần đủ để dấu đẳng thức xảy (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường Phổ thông Năng khiếu – ĐHQG Tp Hồ Chí Minh 1997 – 1998) *GỢI Ý: Ta vẽ đường phụ AH  DC, BK  DC, H  DC, K  DC Bài toán 9: Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, AC = b, AB = c đường cao tương ứng ha, hb, hc Chứng minh rằng: a)  (a + b + c)(-a + b + c) b) ha2 + hb2 + hc2  (a + b + c)2 *GỢI Ý: Ta có: ha2  (a + b + c)(-a + b + c)  (2ha)  (b + c)2 – a2  (2ha)2 + a2  (b + c)2 Ta nghĩ đến định lí Py-ta-go, từ tìm tam giác vng có hai cạnh góc vng có độ dài 2ha, a cạnh huyền x mà x  b + c Ta vẽ đường phụ Ax // BC điểm phụ D đối xứng với B qua Ax Bài tốn 10: Cho hình vng ABCD Qua A vẽ cát tuyến bất kì, cắt cạnh BC CD (hoặc đường thẳng chứa cạnh đó) điểm E F CHUYÊN ĐỀ: “Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 9” 1   2 AF AD Chứng minh AE *GỢI Ý: Đẳng thức cần chứng minh gợi ta nhớ đến công thức: 1  2 2 h b c Do tìm tam giác vng có hai cạnh góc vng AE, AF có đường cao AD Điểm G thuộc DC cho GA  AF điểm cần vẽ thêm Bài tốn 11: � Cho hình thoi ABCD với A = 1200 Tia Ax tạo với tia AB góc BAx 150 cắt cạnh BC M, cắt đường thẳng CD N 1   2 AN AB Chứng minh rằng: AM *GỢI Ý: 1  2 2 b c Điều cho ta nghĩ đến vẽ Bài toán 11 có “dáng dấp” tốn 10, đầu gợi ta đến công thức h đường thẳng phụ AE  AN (E  DC) AH  DC (H  DC) � AEN có EAN = 900, AH  EN nên có: 1   2 AE AN AH Nếu chứng minh được:  AB , ta tìm lời giải toán AE = AM, AH Bài toán 12: � Cho tam giác ABC có A = 600 Chứng minh rằng: BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC (Đề thi học sinh giỏi lớp 9, Tp Hồ Chí Minh, 1993 – 1994) *GỢI Ý: Ta vẽ đường phụ đường cao CH (hoặc đường cao BK) Với CH: Tam giác HAC nửa tam giác đều, tam giác HBC vng H Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vng này, ta có điều phải chứng minh Bài toán 13: � Cho tam giác cân ABC, A = 200, AB = AC = b, BC = a Chứng minh rằng: a3 + b3 = 3ab2 *GỢI Ý: � � � � Vẽ tia Bx cho CBx = 200, Bx cắt cạnh AC D, ABD = ABC  CBx = 600 Ta có: BDC  ABC BD BC DC    AB AC BC � ABD có ABD = 600, đó: AD2 = AB2 + BD2 – AB.BD (Bài toán 12) Từ tìm đẳng thức cần chứng minh Bài tốn 14: CHUYÊN ĐỀ: “Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 9” Cho tam giác ABC có AB = 10 cm, AC = cm, trung tuyến AM = cm Tính diện tích tam giác ABC *GỢI Ý: Các số 10, 6, gợi ta nghĩ đến định lí Py-ta-go Thật gọi D điểm đối xứng điểm A qua điểm M tứ giác ACDB hình bình hành tam giác ADC vng A (vì có cạnh 10, 6, 8) Từ tìm diện tích tam giác ABC Bài tốn 15: Cho hình vng ABCD Lấy O thuộc miền hình vng cho OA : OB : OC = : : Tính số đo góc AOB *GỢI Ý: � � � Sau vẽ hình ta thấy AOB = 1350 Ta vẽ tia OE cho BOE = 450 chứng minh EOA = 900 Tuy nhiên phải vẽ E cho BEO vuông cân B tìm lời giải tốn Tỉ số lượng giác góc nhọn Một số hệ thức cạnh góc tam giác vng Bài tốn 16: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, BC = a, AC = b, AB = c a b c   Chứng minh rằng: sin A sin B sin C *GỢI Ý: Ta vẽ đường phụ AH đường cao tam giác ABC Từ tam giác vng HAB, HAC ta có: b c  sin B sin C Bài toán 17: Chứng minh diện tích tam giác nửa tích hai cạnh nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh *GỢI Ý: Gọi góc nhọn tạo hai đường thẳng BA, BC  Hẳn bạn nghĩ đến đường phụ đường cao AH tam giác ABC Bài tốn 18: Tính diện tích tứ giác lồi ABCD có đường chéo AC = m, BD = n tạo với góc nhọn  *GỢI Ý: � � Ta có: AOB = COD =  Từ toán 17 nghĩ đến vẽ BH, DK vng góc với AC (H, K  AC) Ta có: SABCD = SABC + SADC, từ tìm kết toán Bài toán 19: Cho tam giác ABC nhọn, có BC = a, AC = b, AB = c Chứng minh rằng: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA *GỢI Ý: Ta vẽ đường phụ đường cao CH đường cao BK để xuất tam giác vng có độ dài cạnh a, b, � c có A CHUYÊN ĐỀ: “Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 9” Bài tốn 20: Cho tam giác ABC vuông A � ABC AC tan  AB  BC Chứng minh rằng: *GỢI Ý: � ABC Để có ta có hai cách vẽ đường phụ: Vẽ phân giác BD ABC � ABC � AEC  2 Vẽ điểm E tia đối tia BA cho BE = BC, ta có: Cả hai cách cho ta lời giải đẹp Bài tốn 21: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM cạnh AC tan B  tan C Chứng minh rằng: *GỢI Ý: Để làm xuất “tanB, tanC” ta vẽ đường phụ đường cao AH ABC Mặt khác AMC cân (vì AM = AC), MH = HC, suy ra: BH = 3HC Bài toán 22: Chứng minh rằng: a) sin2 = 2.sin.cos b) cos2 = – 2.sin2 với góc  *GỢI Ý: � Xét ABC cân A có A = 2, AB = AC = Dễ thấy cần vẽ thêm hai đường phụ AH, BK đường cao tam giác ABC để có tam giác vuông, làm xuất tỉ số lượng giác góc  2 Bài tốn 23: Cho hai góc ,  cho  +  < 900 Chứng minh rằng: sin( + ) = sin.cos + sin.cos *GỢI Ý: � � � Xét ABC có B = , C = ,  +  < 900 nên BAC góc tù, tốn 17 cho ta: 1 SABC = AB.AC.sinBAK = AB.AC.sin( + ) Hơn SABC = ha.a gợi ta nghĩ đến đường phụ đường cao AH, có “sin, cos” theo “AH, BC, AC, AB”… Và thật tuyệt vời, lời giải đến với ta Bài tốn 24: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c � A a sin � bc Chứng minh rằng: *GỢI Ý: CHUYÊN ĐỀ: “Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 9” � � A a A sin � sin b  c Ta vẽ phân giác AD ABC “để có ” ta vẽ đường thẳng BI vng Vì cần chứng minh: góc với AD, I  AD Bài tốn 25: Cho tam giác ABC có trung tuyến BM CN vng góc với cot B  cot C � Chứng minh: (Đề thi giải Lê Qúy Đôn, lớp 8, Quận 5, Tp Hồ Chí Minh – 1996) *GỢI Ý: � � Ta vẽ đường cao AD để có tam giác vng D có B , C vẽ trung tuyến AP ABC , GE  BC (E  BC) Ta có: 1 GE = AD, GE  GP = BC BD DC cotB = AD , cotC = AD Từ ta có lời giải tốn ... có A CHUYÊN ĐỀ: ? ?Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 9? ?? Bài tốn 20: Cho tam giác ABC vng A � ABC AC tan  AB  BC Chứng minh rằng: *GỢI Ý: � ABC Để có ta có hai cách vẽ đường phụ: Vẽ phân... với B qua Ax Bài tốn 10: Cho hình vng ABCD Qua A vẽ cát tuyến bất kì, cắt cạnh BC CD (hoặc đường thẳng chứa cạnh đó) điểm E F CHUYÊN ĐỀ: ? ?Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 9? ?? 1   2 AF... chứng minh Bài toán 14: CHUYÊN ĐỀ: ? ?Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số toán hình học 9? ?? Cho tam giác ABC có AB = 10 cm, AC = cm, trung tuyến AM = cm Tính diện tích tam giác ABC *GỢI Ý: Các số 10, 6,