SKKN kinh nghiệm vẽ thêm hình phụ để giải một số bài toán hình học 7

Trong quá trình dạy học hình học 7, không thể tránh khỏi việc phải vẽ thêm yếu tố phụ để giải quyết các bài toán – một phương pháp rất hay nhưng cũng rất khó... Tùy từng bài toán cụ thể

1 - PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 – Lý do chọn đề tài

“Hiền tài là nguyên khí của quốc gia, nguyên khí thịnh thì thế nước mạnh mà hưng thịnh, nguyên khí suy thì thế nước yếu mà thấp hèn Vì thế các bậc đế vương thánh minh không đời nào không coi việc giáo dục nhân tài, kén chọn kẻ sĩ, vun trồng nguyên khí quốc gia làm công việc cần thiết " câu nói bất hủ đó của Tiến sĩ triều Lê, Thân Nhân Trung đã cho thấy từ thời xa xưa các thế hệ ông cha đã rất coi trọng nhân tài và coi những nhân tài là tương lai của đất nước Với cương vị là một giáo viên chuyên ngành Toán – Tin trực tiếp giảng dạy, tôi thấy được những nhiệm vụ quan trọng phải làm đầu tiên đó là làm thế nào để học sinh thích học và học giỏi môn Toán Trong khi đó, Toán học có vai trò và vị trí đặc biệt quan trọng trong khoa học kĩ thuật

và đời sống, giúp con người tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học khác có hiệu quả Thông qua việc học toán, học sinh có thể nắm vững được nội dung toán học

và phương pháp giải toán, từ đó vận dụng vào các môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên

Dù trong thời đại nào, hay bất kỳ một quốc gia nào thì việc bồi dưỡng nhân tài cũng được đặt lên hàng đầu Từ đó đào tạo ra những con người năng động và sáng tạo, có khả năng giải quyết và xử lý những vấn đề khó nhằm phục vụ cho lợi ích của huyện, của tỉnh và của quốc gia

Trong 5 năm trở lại đây, chất lượng giáo dục học sinh giỏi cấp tỉnh của Phòng Giáo dục – Đào tạo Lệ Thủy có những bước nhảy vọt đáng kể, đặc biệt là môn Toán, điều đó càng thôi thúc tôi suy nghĩ rồi tìm tòi ra những dạng toán quan trọng trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán

Trong chương trình phân môn hình học THCS, học sinh đang gặp rất nhiều khó khăn, từ việc nắm bắt lý thuyết, các định lý, định nghĩa, tiên đề, đến việc lập luận

để chứng minh một bài toán Trong chương trình hình học THCS, hình học lớp 7 được coi là “nặng” nhất, vì nó là sự tiếp nối và phát triển các kiến thức mở đầu của lớp 6 Trong quá trình dạy học hình học 7, không thể tránh khỏi việc phải vẽ thêm yếu tố phụ để giải quyết các bài toán – một phương pháp rất hay nhưng cũng rất khó

Vẽ thêm các yếu tố phụ giúp cho việc kết nối từ giả thiết đến kết luận của bài toán được dễ dàng hơn, thuận lợi hơn Tuy nhiên, việc vẽ thêm hình phụ như thế nào để có được lời giải đẹp là vấn đề khiến chúng ta phải đầu tư suy nghĩ Thực tế cho thấy không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm hình phụ khi giải các bài toán hình học Tùy từng bài toán cụ thể mà chúng ta có những cách vẽ thêm hình phụ hợp lý để có thể đến với lời giải của bài toán Sự xuất hiện của hình phụ đã thổi hồn vào lời giải của bài toán mà chắc hẳn cũng đã có lần chúng ta lúng túng, chật vật trước một bài toán hình học và rồi sẽ giật nảy mình khi phát hiện ra rằng chỉ cần vẽ thêm một yếu tố là đã đến được với lời giải bài toán

Vẽ thêm hình phụ là một sự sáng tạo “nghệ thuật” tùy theo yêu cầu của một bài toán cụ thể Bởi vì việc vẽ thêm hình phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải được bài toán thuận lợi chứ không phải là công việc tùy tiện Nếu giáo viên làm không tốt việc phân tích tại sao phải làm như vậy thì ngay cả học sinh khá giỏi cũng chỉ lơ mơ về việc làm đó, thực hiện một cách thụ động mà không biết phân tích, tìm

cơ sở cho việc vẽ thêm yếu tố phụ

Việc vẽ thêm hình phụ nhằm đạt được ba vấn đề cơ bản sau:

- Giúp giải được một số bài toán hình học mà nếu không vẽ thêm hình phụ sẽ

bế tắc

- Trình bày lời giải một số bài toán hình học được gọn hơn, hay hơn

- Phát hiện những vấn đề mới chưa được học bằng những vốn kiến thức hạn chế mà mặc dầu sau này các vấn đề đó khi học đến đều có thể là đơn giản

1.2 – Điểm mới của đề tài

“Kinh nghiệm vẽ thêm hình phụ để giải một số bài toán hình học 7” đã được

nhiều người nhắc đến Tuy nhiên còn nêu chung chung và chưa khái quát được những phương pháp cụ thể cho học sinh Vì thế, trong đề tài này, với kinh nghiệm của bản thân đã đúc kết được qua quá trình nghiên cứu và thực tế giảng dạy, tôi đã cố gắng phân tích, chỉ ra cụ thể việc vẽ thêm hình phụ thông qua các ví dụ minh họa Mong rằng đề tài sẽ được các đồng nghiệp và các em học sinh đón nhận

1.3 – Phạm vi và đối tượng nghiên cứu

* Đối tượng nghiên cứu:

Như đã nói ở trên, đề tài này tập trung vào 2 đối tượng:

- Giáo viên đang giảng dạy môn Toán THCS Đặc biệt là GV đang giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7, lớp 8

- Học sinh khá giỏi lớp 7 và lớp 8

* Phạm vi nghiên cứu:

- Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số “kinh nghiệm”, một số hình phụ vẽ thêm trong các bài toán hình học lớp 7 mà chúng ta thường hay gặp

- Phân tích cụ thể từng trường hợp Trong trường hợp nào thì thường vẽ thêm hình phụ nào để giúp học sinh có định hướng trong việc giải các bài tập

2 – PHẦN NỘI DUNG 2.1 – Thực trạng của nội dung cần nghiên cứu

Thực tế cho thấy Toán học là nền tảng cho mọi ngành khoa học, là chiếc chìa khoá vạn năng để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho mọi ngành khoa học, kinh tế, quân sự trong cuộc sống Chính vì vậy việc dạy và học bộ môn toán trong nhà trường đóng vai trò vô cùng quan trọng Dạy toán chiếm vị trí số một trong các môn học của nhà trường, đối với giáo viên, dạy toán là niềm tự hào song đó cũng là thử thách vô cùng lớn Để dạy toán và học toán tốt thì Thầy và Trò không ngừng rèn luyện và đầu tư trí và lực vào nghiên cứu học hỏi Học và dạy toán với chương trình

cơ bản đã rất khó, xong dạy và học toán trong đào tạo mũi nhọn lại vô cùng gian truân, việc học và dạy không dừng ở việc người học và người dạy phải có trí tuệ nhất định mà cả thầy và trò phải dày công đầu tư vào nghiên cứu các dạng toán, thuật toán vận dụng hợp lý các tính chất toán học do các nhà toán học đã nghiên cứu vào giải toán, ngoài ra người dạy và học toán phải tự rèn luyện và nghiên cứu để có những công trình toán của riêng mình cùng góp sức để đưa bộ môn toán ngày càng phát triển

Thực hiện nhiệm vụ năm học cũng như được sự phân công của Phòng Giáo dục và Đào tạo Lệ Thủy, qua quá trình giảng dạy nhiều năm gần đây bản thân tôi thấy việc hình thành cho học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải cho bài toán hoặc mỗi dạng toán nào đó là công việc rất khó Đứng trước một bài toán nếu người thầy chưa hiểu, chưa có hướng giải thì ta hướng dẫn học sinh như thế nào, thật khó trong những tình huống như thế người thầy sẽ mất vai trò chủ đạo trong việc dạy học sinh, còn học sinh đã không giải được toán nhưng lại mất niềm tin ở thầy và cảm thấy việc học toán

là cực hình, là khó vô cùng không thể học được

Hình học là một trong những lĩnh vực cổ xưa nhất của Toán học, cùng với số học đã xuất hiện trong thời kỳ sơ khai của loài người Hình học có một vẽ đẹp kỳ diệu làm say mê từ những nhà toán học đến những em học sinh THCS Khi trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi tôi tự thấy kiến thức hình học của bản thân còn rất hạn chế, nhất là những bài toán về hình học cần vẽ thêm hình phụ Đây là dạng toán hay, có nhiều cách để vẽ thêm hình phụ, xong cả thầy và trò lại rất ngại khi đụng đến vì nó khó và phải mất rất nhiều thời gian để dự đoán được Từ thực tế này tôi xin được trao

đổi kinh nghiệm này cùng các đồng nghiệp mong rằng đề tài này sẽ được mở rộng và phát triển sâu rộng hơn

2.2 – Các giải pháp

2.2.1 – Giải pháp 1: Vẽ thêm đường thẳng vuông góc

Phương pháp: Vẽ thêm đường vuông góc nhằm làm xuất hiện tam giác vuông, tam

giác vuông cân, hai tam giác vuông bằng nhau,…

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có ·ABC= 135 0, AB = 2 cm, BC = 2 cm Tính độ dài cạnh AC.

Hướng dẫn: Ta có ABC 135· = 0 = 900 + 450 Ta nghĩ đến đường phụ cần vẽ thêm AH,

AH ⊥ BC tại H

Lời giải gợi ý:

Vẽ AH ⊥ BC tại H

Ta có ABH ABC 180· +· = 0 (hai góc kề bù)

Nên ·ABH = 1800 – 1350 = 450

⇒ ∆AHB vuông cân tại H

⇒AH = HB.

Áp dụng định lý Pitago vào ∆AHB vuông tại H, ta có: AH2 + HB2 = AB2

Hay 2AH2 = AB2 = ( 2)2 = 2 ⇒ AH = 1(cm).

Nên HB = AH = 1 (cm)

Ta có: HC = HB + BC = 1 + 2 = 3 (cm)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác AHC vuông tại H, ta có:

AC2 = AH2 + HC2 = 12 + 32 = 10 ⇒ AC = 10 (cm).

Vậy AC = 10 (cm)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A, vẽ

tia Bx sao cho ABx ABC· = · Qua A vẽ đường thẳng d vuông góc với Bx tại D Qua C

vẽ đường thẳng vuông góc với d tại E Chứng minh rằng AD = AE.

Hướng dẫn: Vẽ đường AH vuông góc với BC để sử dụng chứng minh 2 tam giác

bằng nhau Chứng minh AD và AE cùng bằng với AH

Lời giải gợi ý:

Ta có A thuộc tia phân giác của ·DBC

Vẽ AH⊥BC tại H ⇒ AD = AH. (1)

Ta có BD⊥d (gt), CE⊥d (gt) ⇒ BD//CE ⇒

DBC ECB 180 + =

DBA ACE ABC ACB 180 + + + =

Mà ·ABC ACB 90 +· = 0 nên ·DBA ACE 90 +· = 0

Mà DBA ABC· =· nên ACB ACE· =· ⇒A thuộc tia phân giác ·ECH ⇒AE = AH (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD = AE

Hướng dẫn: Từ A vẽ AH⊥Ox, AK⊥Oy (H Ox, K Oy∈ ∈ ) dễ dàng chứng minh được OH = OK và như vậy chỉ cần chứng minh BH = CK là được Điều này thật dễ dàng

Lời giải gợi ý:

Vẽ AH⊥Ox, AK⊥Oy (H Ox, K Oy∈ ∈ )

Xét ∆KOA và ∆HOA có:

OKA OHA 90 = = ; OA chung; µO1=µO2 (gt)

Do đó ∆KOA =∆HOA (cạnh huyền – góc

nhọn)

Suy ra OK = OH (1); AK = AH

Xét ∆KAC và ∆HAB có:

AKC AHB 90 = = ; AC = AB (gt); AK = AH (cmt);

Do đó ∆KAC = ∆HAB (cạnh huyền – cạnh góc vuông) Suy ra CK = BH (2)

Do ·OCA và ·OBA tù nên C nằm giữa O và K, B nằm giữa O và H

Từ đó OC = OK – KC; (3) OB = OH – HB (4)

Từ (1), (2), (3) (4) suy ra OB = OC

Ví dụ 3: Trên hình vẽ sau cho biết µO1=µO2

và AB = AC, ·OCA và ·OBA tù Chứng

minh rằng OB = OC

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC cân đỉnh A, BD là đường trung tuyến Biết BC = 8cm,

BD = 7,5 cm Tính độ dài cạnh AB.

Hướng dẫn: Tam giác ABC cân tại A, có BD là đường trung tuyến Điều đó gợi ý ta

nghĩ đến vẽ đường cao AH của tam giác ABC, khi đó AH cũng là đường trung tuyến

Lời giải gợi ý:

Vẽ AH là đường cao của tam giác ABC Do tam giác

ABC cân đỉnh A, nên AH cũng là đường trung tuyến

Gọi G là giao điểm của AH và BD

∆ABC có AH và BD là hai trung tuyến cắt nhau tại

G, suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC

2

3

3AH

Áp dụng định lý Pitago vào ∆HBG vuông tại H, ta

có: GH2 + BH2 = BG2 ⇒ GH2 = BG2 – BH2 = 52 – 42 = 9 ⇒ GH = 3 (cm).

Nên AH = 3GH = 9cm

Xét tam giác HAB vuông tại H ⇒ AB2 = AH2 + HB2 (định lý Pitago)

⇒AB2 = 92 + 42 = 97 ⇒ AB = 97(cm)

Vậy AB = 97 cm

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC Về phía ngoài tam giác vẽ tam giác ABD vuông cân

đỉnh B, tam giác ACE vuông cân đỉnh C Gọi M là giao điểm của BE và CD Chứng minh rằng AM⊥BC

Hướng dẫn: Vẽ AK⊥BC tại K Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với CD cắt AK ở

N Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với

BE cắt AK ở P Tìm cách chứng minh N

≡P.

Lời giải gợi ý:

Vẽ AK⊥BC tại K Qua B vẽ

đường thẳng vuông góc với CD cắt AK

ở N Qua C vẽ đường thẳng vuông góc

với BE cắt AK ở P

Xét ∆BDC và ∆ABN có:

· · ( 0 · )

DBC BAN = = 90 + ABC ;

· ·

BDC ABN = (cùng phụ với ·DBN)

BD = AB (Tam giác DBA vuông cân tại A)

Do đó ∆BDC = ∆ABN (g.c.g) ⇒ BC AN =

Chứng minh tương tự có: ∆CEB = ∆ACP (g.c.g) ⇒ BC AP =

Ta có AN = AP (=BC) ⇒ ≡ N P.

Xét tam giác NBC có BE, CD là hai đường cao cắt nhau tại M nên M là trực tâm của tam giác NBC ⇒ NM ⊥ BC

Ta có AK⊥BC (gt) Do đó N, A, M, K thẳng hàng Vậy AM⊥BC

2.2.2 – Giải pháp 2: Vẽ thêm đường thẳng song song

Phương pháp: Vẽ thêm đường song song nhằm làm xuất hiện hai góc bằng

nhau, hai góc bù nhau,

Hướng dẫn: Muốn chứng minh Ax//By, ta chứng minh chúng cùng song song với

đường thẳng thứ ba Vì · xAC =α, CBy· =β và ·ACB = +α β Ta tạo ra tia Cz sao cho Cz//Ax Chúng ta chứng minh Cz//By, từ đó suy ra Ax//By

Lời giải gợi ý:

Vẽ tia Cz sao cho Cz//Ax (hình vẽ)

Ta có ·xAC ACz=· (so le trong)

Ta có ·ACz BCz ACB+· =·

BCz ACB ACz α β α β

Vì ·BCz CBy =· (=β), ·BCz và CBy· so le trong

Do đó By//Cz Ta có Cz//Ax và By//Cz Vậy Ax//By

Ví dụ 6: Trên hình bên cho biết: ·xAC =α

, CBy· =β và ·ACB = +α β Chứng minh

rằng Ax//By.

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC (AB < AC) Từ trung điểm M của BC kẻ đường thẳng

vuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt AB tại D và AC tại E Chứng minh rằng BD = CE.

Hướng dẫn: Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm cách tạo ra “đoạn thẳng thứ ba” rồi

chứng minh chúng bằng “đoạn thẳng thứ ba” đó

Lời giải gợi ý:

Kẻ đường thẳng qua B song song với CE cắt DE tại F

Xét ∆MBF và MCE∆ có:

FBM =ECM (so le trong)

BM = MC (gt)

BMF CME= (đđ)

 

⇒ ∆MBF = MCE∆ (g.c.g)

⇒ = (1)

∆ADE có AH là đường cao (vì AH⊥BC)

đồng thời cũng là phân giác (gt) nên ∆ADE

cân tại A ⇒ ·ADE= ·AED

Mặt khác BF//EC nên ·BFD AED= · (đồng vị)

⇒ = ⇒ ∆BDF cân tại B ⇒BD BF= (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BD = CE

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC cân đỉnh A Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia

CA lấy điểm E sao cho BD = CE Nối D với E Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng

DE Chứng minh rằng 3 điểm B, I, C thẳng hàng.

Hướng dẫn: Vẽ thêm DF//AC (F∈BC) Tìm cách chứng minh ·EIC EIF 180+· = 0

Lời giải gợi ý:

Vẽ DF//AC (F∈BC), · DFB và ·ACB đồng vị

DFB ACB= Mà ·ABC=·ACB (tam giác ABC cân

đỉnh A)

Suy ra · DFB = ABC· ⇒∆DBF cân đỉnh D ⇒DB = DF.

Xét ∆DIF và ∆EIC có:

F

· ·

FDI CEI = (so le trong)

DF = CE (= BD)

Do đó ∆DIF = ∆EIC (c.g.c)

Suy ra ·DIF EIC=· Mà ·DIF EIF 180+· = 0

Do đó ·EIC EIF 180+· = 0 Suy ra B, I, C thẳng hàng

Vậy B, I, C thẳng hàng

2.2.3 – Giải pháp 3: Vẽ thêm tia phân giác của một góc

Phương pháp: Các bài toán liên quan đến góc nhiều khi vẽ thêm tia phân giác của

một góc giúp tạo thêm được mối quan hệ về góc, cạnh để đến với lời giải của bài toán

dễ dàng hơn

Ví dụ 9: Cho tam giác ABC có µ 0

A 60 = , BD và CE là hai đường phân giác của tam giác ABC Gọi I là giao điểm của BD và CE Chứng minh rằng ID = IE.

Hướng dẫn:

Dễ thấy · BIC 120 = 0 Vẽ đường phân giác IM của tam

giác IBC giúp chứng minh được ID = IE bằng cách

chứng minh ID = IM và IM = IE

Lời giải gợi ý:

Vẽ IM là đường phân giác của tam giác BIC

Ta có: IBC· 1·ABC

2

= (BD là phân giác của ·ABC )

· 1 ·

ICB ACB

2

= (CE là phân giác của ·ACB )

Nên ·BIC = 1800 – (·IBC ICB+· )

= 1800 - 1 ABC ACB(· · )

= 1800 - 1 180 BAC( 0 · )

= 1200

·

EIB và ·DIC kề bù với ·BIC nên ·EIB = ·DIC = 600

Suy ra ·EIB BIM MIC CID 60=· =· =· = 0

Xét BEI∆ và BMI∆ có:

· ·

EBI MBI= (BD là phân giác của ·ABC ).

·EIB BIM=· (=600)

BI là cạnh chung

Do đó BEI∆ = BMI∆ (g.c.g) Suy ra IE = IM

Chứng minh tương tự ta có ID = IM

Vậy ID = IE

Ví dụ 10: Cho tam giác ABC có A 60µ = 0 BD và CE là hai đường phân giác của tam giác ABC Chứng minh rằng BE + CD = BC.

Lời giải gợi ý:

Gọi I là giao điểm của BD và CE Vẽ IM là

đường phân giác của · BIC của tam giác IBC

Ta có: ·IBC 1·ABC

2

= (BD là phân giác)

và ·ICB 1ACB·

2

= (CE là phân giác).

Nên BIC 180· 0 (·IBC ICB· ) 1800 1(·ABC ACB· ) 1800 1(1800 ·BAC) 1200

Do đó EIB BIM MIC CID 60 · = · = · = · = 0

Xét ∆BEI và ∆BMI có:

· ·

EBI MBI = , · EIB MIB = · , BI là cạnh chung

Do đó ∆BEI = ∆BMI (g.c.g) ⇒ BE = BM

Chứng minh tương tự ta có CD = MC Vậy BE + CD = BM + MC = BC

2.2.4 – Giải pháp 4: Vẽ thêm tam giác vuông cân, tam giác đều

Phương pháp: Vẽ thêm tam giác vuông cân, tam giác đều làm xuất hiện các cạnh

bằng nhau, các góc bằng nhau, góc có số đo 450 (vẽ thêm tam giác vuông cân), góc có

số đo 600 (vẽ thêm tam giác đều)

Ví dụ 11: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) có µA 80 = 0 Gọi D là điểm nằm trong tam giác sao cho DBC 10 · = 0, DCB 30 · = 0 Tính số đo góc BAD.

Hướng dẫn: