Kinh nghiệm vẽ thêm hình phụ để giải một số bài toán hình học 7

1 - PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 – Lý chọn đề tài “Hiền tài nguyên khí quốc gia, ngun khí thịnh nước mạnh mà hưng thịnh, ngun khí suy nước yếu mà thấp hèn Vì bậc đế vương thánh minh khơng đời không coi việc giáo dục nhân tài, kén chọn kẻ sĩ, vun trồng ngun khí quốc gia làm cơng việc cần thiết " câu nói bất hủ Tiến sĩ triều Lê, Thân Nhân Trung cho thấy từ thời xa xưa hệ ông cha coi trọng nhân tài coi nhân tài tương lai đất nước Với cương vị giáo viên chuyên ngành Toán – Tin trực tiếp giảng dạy, thấy nhiệm vụ quan trọng phải làm làm để học sinh thích học học giỏi mơn Tốn Trong đó, Tốn học có vai trị vị trí đặc biệt quan trọng khoa học kĩ thuật đời sống, giúp người tiếp thu cách dễ dàng mơn khoa học khác có hiệu Thơng qua việc học tốn, học sinh nắm vững nội dung toán học phương pháp giải toán, từ vận dụng vào mơn học khác môn khoa học tự nhiên Dù thời đại nào, hay quốc gia việc bồi dưỡng nhân tài đặt lên hàng đầu Từ đào tạo người động sáng tạo, có khả giải xử lý vấn đề khó nhằm phục vụ cho lợi ích huyện, tỉnh quốc gia Trong năm trở lại đây, chất lượng giáo dục học sinh giỏi cấp tỉnh Phòng Giáo dục – Đào tạo Lệ Thủy có bước nhảy vọt đáng kể, đặc biệt mơn Tốn, điều thơi thúc tơi suy nghĩ tìm tịi dạng tốn quan trọng cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn Trong chương trình phân mơn hình học THCS, học sinh gặp nhiều khó khăn, từ việc nắm bắt lý thuyết, định lý, định nghĩa, tiên đề, đến việc lập luận để chứng minh tốn Trong chương trình hình học THCS, hình học lớp coi “nặng” nhất, tiếp nối phát triển kiến thức mở đầu lớp Trong trình dạy học hình học 7, khơng thể tránh khỏi việc phải vẽ thêm yếu tố phụ để giải toán – phương pháp hay khó Vẽ thêm yếu tố phụ giúp cho việc kết nối từ giả thiết đến kết luận toán dễ dàng hơn, thuận lợi Tuy nhiên, việc vẽ thêm hình phụ để có lời giải đẹp vấn đề khiến phải đầu tư suy nghĩ Thực tế cho thấy phương pháp chung cho việc vẽ thêm hình phụ giải tốn hình học Tùy tốn cụ thể mà có cách vẽ thêm hình phụ hợp lý để đến với lời giải tốn Sự xuất hình phụ thổi hồn vào lời giải toán mà hẳn có lần lúng túng, chật vật trước tốn hình học giật nảy phát cần vẽ thêm yếu tố đến với lời giải tốn Vẽ thêm hình phụ sáng tạo “nghệ thuật” tùy theo yêu cầu tốn cụ thể Bởi việc vẽ thêm hình phụ cần đạt mục đích tạo điều kiện để giải toán thuận lợi công việc tùy tiện Nếu giáo viên làm khơng tốt việc phân tích phải làm học sinh giỏi lơ mơ việc làm đó, thực cách thụ động mà khơng biết phân tích, tìm sở cho việc vẽ thêm yếu tố phụ Việc vẽ thêm hình phụ nhằm đạt ba vấn đề sau: - Giúp giải số tốn hình học mà khơng vẽ thêm hình phụ bế tắc - Trình bày lời giải số tốn hình học gọn hơn, hay - Phát vấn đề chưa học vốn kiến thức hạn chế mà sau vấn đề học đến đơn giản 1.2 – Điểm đề tài “Kinh nghiệm vẽ thêm hình phụ để giải số tốn hình học 7” nhiều người nhắc đến Tuy nhiên nêu chung chung chưa khái quát phương pháp cụ thể cho học sinh Vì thế, đề tài này, với kinh nghiệm thân đúc kết qua trình nghiên cứu thực tế giảng dạy, cố gắng phân tích, cụ thể việc vẽ thêm hình phụ thơng qua ví dụ minh họa Mong đề tài đồng nghiệp em học sinh đón nhận 1.3 – Phạm vi đối tượng nghiên cứu * Đối tượng nghiên cứu: Như nói trên, đề tài tập trung vào đối tượng: - Giáo viên giảng dạy mơn Tốn THCS Đặc biệt GV giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7, lớp - Học sinh giỏi lớp lớp * Phạm vi nghiên cứu: - Trong sáng kiến nêu số “kinh nghiệm”, số hình phụ vẽ thêm tốn hình học lớp mà thường hay gặp - Phân tích cụ thể trường hợp Trong trường hợp thường vẽ thêm hình phụ để giúp học sinh có định hướng việc giải tập – PHẦN NỘI DUNG 2.1 – Thực trạng nội dung cần nghiên cứu Thực tế cho thấy Toán học tảng cho ngành khoa học, chìa khố vạn để khai phá thúc đẩy phát triển cho ngành khoa học, kinh tế, qn sống Chính việc dạy học mơn tốn nhà trường đóng vai trị vơ quan trọng Dạy tốn chiếm vị trí số mơn học nhà trường, giáo viên, dạy toán niềm tự hào song thử thách vơ lớn Để dạy tốn học tốn tốt Thầy Trị khơng ngừng rèn luyện đầu tư trí lực vào nghiên cứu học hỏi Học dạy tốn với chương trình khó, xong dạy học toán đào tạo mũi nhọn lại vô gian truân, việc học dạy không dừng việc người học người dạy phải có trí tuệ định mà thầy trò phải dày cơng đầu tư vào nghiên cứu dạng tốn, thuật tốn vận dụng hợp lý tính chất tốn học nhà toán học nghiên cứu vào giải tốn, ngồi người dạy học tốn phải tự rèn luyện nghiên cứu để có cơng trình tốn riêng góp sức để đưa mơn tốn ngày phát triển Thực nhiệm vụ năm học phân cơng Phịng Giáo dục Đào tạo Lệ Thủy, qua trình giảng dạy nhiều năm gần thân thấy việc hình thành cho học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải cho tốn dạng tốn cơng việc khó Đứng trước tốn người thầy chưa hiểu, chưa có hướng giải ta hướng dẫn học sinh nào, thật khó tình người thầy vai trò chủ đạo việc dạy học sinh, cịn học sinh khơng giải tốn lại niềm tin thầy cảm thấy việc học tốn cực hình, khó vơ khơng thể học Hình học lĩnh vực cổ xưa Toán học, với số học xuất thời kỳ sơ khai lồi người Hình học có vẽ đẹp kỳ diệu làm say mê từ nhà toán học đến em học sinh THCS Khi trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi tơi tự thấy kiến thức hình học thân hạn chế, tốn hình học cần vẽ thêm hình phụ Đây dạng tốn hay, có nhiều cách để vẽ thêm hình phụ, xong thầy trị lại ngại đụng đến khó phải nhiều thời gian để dự đoán Từ thực tế xin trao đổi kinh nghiệm đồng nghiệp mong đề tài mở rộng phát triển sâu rộng 2.2 – Các giải pháp 2.2.1 – Giải pháp 1: Vẽ thêm đường thẳng vng góc Phương pháp: Vẽ thêm đường vng góc nhằm làm xuất tam giác vng, tam giác vng cân, hai tam giác vng nhau,… Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có � ABC  1350 , AB = cm, BC = cm Tính độ dài cạnh AC �  1350 = 900 + 450 Ta nghĩ đến đường phụ cần vẽ thêm AH, Hướng dẫn: Ta có ABC AH  BC H Lời giải gợi ý: Vẽ AH  BC H �  ABC �  1800 (hai góc kề bù) Ta có ABH � Nên ABH = 1800 – 1350 = 450 �  AHB vuông cân H � AH = HB Áp dụng định lý Pitago vào  AHB vng H, ta có: AH2 + HB2 = AB2 Hay 2AH2 = AB2 = ( )2 = � AH = 1(cm) Nên HB = AH = (cm) Ta có: HC = HB + BC = + = (cm) Áp dụng định lý Pytago vào tam giác AHC vuông H, ta có: AC2 = AH2 + HC2 = 12 + 32 = 10 � AC = 10 (cm) Vậy AC = 10 (cm) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vng A, Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A, vẽ �  ABC � tia Bx cho ABx Qua A vẽ đường thẳng d vng góc với Bx D Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với d E Chứng minh AD = AE Hướng dẫn: Vẽ đường AH vng góc với BC để sử dụng chứng minh tam giác Chứng minh AD AE với AH Lời giải gợi ý: � Ta có A thuộc tia phân giác DBC Vẽ AH  BC H � AD = AH (1) Ta có BD  d (gt), CE  d (gt) � BD//CE � �  ECB �  1800 DBC �  ACE �  ABC �  ACB �  1800 DBA �  ACB �  900 nên DBA �  ACE �  900 Mà ABC �  ABC � �  ACE � � A thuộc tia phân giác ECH � � AE = AH (2) Mà DBA nên ACB Từ (1) (2) suy AD = AE Ví dụ 3: Trên hình vẽ sau cho biết � O1  � O2 � � AB = AC, OCA OBA tù Chứng minh OB = OC Hướng dẫn: Từ A vẽ AH  Ox, AK  Oy  H �Ox, K �Oy  dễ dàng chứng minh OH = OK cần chứng minh BH = CK Điều thật dễ dàng Lời giải gợi ý: Vẽ AH  Ox, AK  Oy  H �Ox, K �Oy  Xét  KOA  HOA có: � � OKA  OHA  900 ; OA chung; � O1  � O2 (gt) Do  KOA =  HOA (cạnh huyền – góc nhọn) Suy OK = OH (1); AK = AH Xét  KAC  HAB có: �  AHB �  900 ; AC = AB (gt); AK = AH (cmt); AKC Do  KAC =  HAB (cạnh huyền – cạnh góc vuông) Suy CK = BH � � Do OCA OBA tù nên C nằm O K, B nằm O H Từ OC = OK – KC; (3) OB = OH – HB Từ (1), (2), (3) (4) suy OB = OC (4) (2) Ví dụ 4: Cho tam giác ABC cân đỉnh A, BD đường trung tuyến Biết BC = 8cm, BD = 7,5 cm Tính độ dài cạnh AB Hướng dẫn: Tam giác ABC cân A, có BD đường trung tuyến Điều gợi ý ta nghĩ đến vẽ đường cao AH tam giác ABC, AH đường trung tuyến Lời giải gợi ý: Vẽ AH đường cao tam giác ABC Do tam giác ABC cân đỉnh A, nên AH đường trung tuyến Gọi G giao điểm AH BD  ABC có AH BD hai trung tuyến cắt G, suy G trọng tâm tam giác ABC � BG  BD  5cm GH = AH 3 Áp dụng định lý Pitago vào  HBG vuông H, ta có: GH2 + BH2 = BG2 � GH2 = BG2 – BH2 = 52 – 42 = � GH = (cm) Nên AH = 3GH = 9cm Xét tam giác HAB vuông H � AB2 = AH2 + HB2 (định lý Pitago) � AB2 = 92 + 42 = 97 � AB = 97 (cm) Vậy AB = 97 cm Ví dụ 5: Cho tam giác ABC Về phía ngồi tam giác vẽ tam giác ABD vuông cân đỉnh B, tam giác ACE vuông cân đỉnh C Gọi M giao điểm BE CD Chứng minh AM  BC Hướng dẫn: Vẽ AK  BC K Qua B vẽ đường thẳng vng góc với CD cắt AK N Qua C vẽ đường thẳng vng góc với BE cắt AK P Tìm cách chứng minh N �P Lời giải gợi ý: Vẽ AK  BC K Qua B vẽ đường thẳng vng góc với CD cắt AK N Qua C vẽ đường thẳng vng góc với BE cắt AK P Xét  BDC  ABN có:   �  BAN � � DBC  900  ABC ; �  ABN � � ) (cùng phụ với DBN BDC BD = AB (Tam giác DBA vng cân A) Do  BDC =  ABN (g.c.g) � BC  AN Chứng minh tương tự có:  CEB =  ACP (g.c.g) � BC  AP Ta có AN = AP (=BC)  N P Xét tam giác NBC có BE, CD hai đường cao cắt M nên M trực tâm tam giác NBC � NM  BC Ta có AK  BC (gt) Do N, A, M, K thẳng hàng Vậy AM  BC 2.2.2 – Giải pháp 2: Vẽ thêm đường thẳng song song Phương pháp: Vẽ thêm đường song song nhằm làm xuất hai góc nhau, hai góc bù nhau, Ví dụ 6: Trên hình bên cho biết: � xAC   �   ACB �     Chứng minh , CBy Ax//By Hướng dẫn: Muốn chứng minh Ax//By, ta chứng minh chúng song song với �   ACB �     Ta tạo tia Cz cho đường thẳng thứ ba Vì � xAC   , CBy Cz//Ax Chúng ta chứng minh Cz//By, từ suy Ax//By Lời giải gợi ý: Vẽ tia Cz cho Cz//Ax (hình vẽ) � Ta có � (so le trong) xAC  ACz �  BCz �  ACB � Ta có ACz �  ACB �  ACz �        � BCz �  CBy �  , � � Vì BCz so le BCz CBy Do By//Cz Ta có Cz//Ax By//Cz Vậy Ax//By Ví dụ 7: Cho tam giác ABC (AB < AC) Từ trung điểm M BC kẻ đường thẳng vng góc với tia phân giác góc A cắt tia H, cắt AB D AC E Chứng minh BD = CE Hướng dẫn: Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm cách tạo “đoạn thẳng thứ ba” chứng minh chúng “đoạn thẳng thứ ba” Lời giải gợi ý: Kẻ đường thẳng qua B song song với CE cắt DE F Xét MBF MCE có: �  ECM � (so le trong) FBM BM = MC (gt) �  CME � (đđ) BMF �  MBF = MCE (g.c.g) � BF  EC (1)  ADE có AH đường cao (vì AH  BC) đồng thời phân giác (gt) nên  ADE cân A � � ADE  � AED � � Mặt khác BF//EC nên BFD AED (đồng vị) �  BFD � � BDF cân B � BD  BF (2) � BDF Từ (1) (2) suy ra: BD = CE Ví dụ 8: Cho tam giác ABC cân đỉnh A Trên cạnh AB lấy điểm D, tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE Nối D với E Gọi I trung điểm đoạn thẳng DE Chứng minh điểm B, I, C thẳng hàng Hướng dẫn: Vẽ thêm DF//AC (F�BC) Tìm cách chứng minh � EIC  � EIF  1800 Lời giải gợi ý: � Vẽ DF//AC (F�BC), DFB � ACB đồng vị � � = ACB � (tam giác ABC cân DFB  � ACB Mà ABC đỉnh A) � � �  DBF cân đỉnh D � DB = DF Suy DFB = ABC Xét  DIF  EIC có: F DI = IE (gt) �  CEI � (so le trong) FDI DF = CE (= BD) Do  DIF =  EIC (c.g.c) �  EIC � Mà � Suy DIF DIF  � EIF  1800 Do � EIC  � EIF  1800 Suy B, I, C thẳng hàng Vậy B, I, C thẳng hàng 2.2.3 – Giải pháp 3: Vẽ thêm tia phân giác góc Phương pháp: Các tốn liên quan đến góc nhiều vẽ thêm tia phân giác góc giúp tạo thêm mối quan hệ góc, cạnh để đến với lời giải toán dễ dàng �  600 , BD CE hai đường phân giác tam Ví dụ 9: Cho tam giác ABC có A giác ABC Gọi I giao điểm BD CE Chứng minh ID = IE Hướng dẫn: �  1200 Vẽ đường phân giác IM tam Dễ thấy BIC giác IBC giúp chứng minh ID = IE cách chứng minh ID = IM IM = IE Lời giải gợi ý: Vẽ IM đường phân giác tam giác BIC �  ABC � Ta có: IBC (BD phân giác � ABC ) �  ACB � ICB (CE phân giác � ACB ) Nên � BIC = 1800 – ( � IBC  � ICB )  = 1800 - � ABC  � ACB = 1800 - 1800  � BAC    = 1200 � DIC kề bù với � BIC nên � DIC = 600 EIB � EIB = � �  600 Suy � EIB  � BIM  � MIC  CID Xét BEI BMI có: � ABC ) EBI  � MBI (BD phân giác � 10   � EIB  � BIM  600 BI cạnh chung Do BEI = BMI (g.c.g) Suy IE = IM Chứng minh tương tự ta có ID = IM Vậy ID = IE �  600 BD CE hai đường phân giác tam Ví dụ 10: Cho tam giác ABC có A giác ABC Chứng minh BE + CD = BC Lời giải gợi ý: Gọi I giao điểm BD CE Vẽ IM � tam giác IBC đường phân giác BIC �  ABC � Ta có: IBC (BD phân giác) �  ACB � ICB (CE phân giác)       � �  1800  IBC �  ICB � � �  1800  ABC  ACB  1800  1800  BAC  1200 Nên BIC 2 �  BIM �  MIC �  CID �  600 Do EIB Xét  BEI  BMI có: �  MBI � , EIB �  MIB � , BI cạnh chung EBI Do  BEI =  BMI (g.c.g) � BE = BM Chứng minh tương tự ta có CD = MC Vậy BE + CD = BM + MC = BC 2.2.4 – Giải pháp 4: Vẽ thêm tam giác vuông cân, tam giác Phương pháp: Vẽ thêm tam giác vuông cân, tam giác làm xuất cạnh nhau, góc nhau, góc có số đo 450 (vẽ thêm tam giác vng cân), góc có số đo 600 (vẽ thêm tam giác đều) �  800 Gọi D điểm nằm Ví dụ 11: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) có A �  100 , DCB �  300 Tính số đo góc BAD tam giác cho DBC Hướng dẫn: 11 �  800 , � � �  100 , Nhận xét  ABC (AB = AC) có A ACB  � ABC  500 mà DBC �  300 Trong trường hợp ta sử dụng vẽ thêm tam giác BMC nằm DCB nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A Từ xác định số đo góc BAD Lời giải gợi ý: Vì  ABC cân A, �   nên � �  500 ABC  ACB Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, dựng tam giác MBC Ta có: � ABM  � ACM  100 Xét  AMB  AMC có: AB = AC (gt) BM = CM (theo cách dựng) AM cạnh chung �  AMB =  AMC (c.c.c) � � AMB  � AMC 0 Mà � AMB  � AMC = 60 nên � AMB  � AMC = 30 Xét  AMB  DCB có: MB = BC (theo cách dựng) � � = 300 AMB  DCB � ABM  � DBC  100 �  AMB =  DCB (g.c.g) � AB = BD 1800  400 � �� Xét  ABD cân B có � BAD  BDA   700 ABD  40 Vậy � BAD  700 Ví dụ 12: Cho tam giác ABC cân A có góc đáy 80 Trên AB lấy điểm D cho AD = BC Tính số đo góc ACD? Lời giải gợi ý: Vì tam giác ABC cân A nên � A  1800  2� ABC  200 Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, dựng tam giác EBC Ta có: � ACE  � ABE  200 Xét  ACE  CAD có: 12 AC cạnh chung EC = AD (= BC) � �  200 ACE  CAD � �  ACE =  CAD (c.g.c) � � ACD  EAC (1) Xét  AEB  AEC có: AB = AC (gt) AE cạnh chung EB = EC (theo cách dựng) �  EAC � �  AEB =  AEC (c.c.c) � EAB �  BAC �  100 �  EAC �  BAC �  200 � EAC Mà EAB (2) Từ (1) (2) ta có: � ACD  100 Ví dụ 13: Cho tam giác ABC vuông cân A Lấy điểm M nằm phía tam giác ABC cho � AMC  1350 , MA = 2cm, MB = 3cm Tính độ dài đoạn thẳng MC �  900 , ABC �  ACB �  450 Ta có: 1350 = 900 + 450 giúp ta Hướng dẫn: ABC có BAC nghĩ đến vận dụng định lý Pytago, tam giác vuông cân để tìm tam giác vng có cạnh MC hai cạnh tìm độ dài Lời giải gợi ý: Trên nửa mặt phẳng bờ AM không chứa điểm B dựng tam giác ADM vuông cân đỉnh A � Ta có AD = MA = 2cm AMD  450 , � � � DMC  AMC  AMD  900 Xét  ADC  AMB có: �  MAB � � AD = AM; DAC (cùng phụ với CAM ), AC = AB (gt) Do  ADC =  AMB (c.g.c) � DC  MB Xét  AMD vuông cân A nên MD2 = MA2 + AD2 (định lý Pytago) Do MD2 = 22 + 22 = Xét  MDC vng M, ta có: DC2 = MC2 + MD2 (định lý Pytago) � MC  DC  MD = 32 – = � MC = (cm) 13 – PHẦN KẾT LUẬN Trên vài kinh nghiệm nhỏ rút từ thực tế năm giảng dạy thân tơi Tốn vẽ thêm hình phụ dạng tốn khó mà khơng phải giáo viên hay học sinh làm Với khả hạn chế thân, đề cập đến số dạng đơn giản mà em học sinh thường gặp chương trình lớp 7, lớp Tơi sâu vào vấn đề nhỏ hướng dẫn, giúp em có kỹ nhìn nhận hướng đi, cách làm từ tìm cách giải theo yêu cầu toán Với việc làm nêu trên, thân tự nghiên cứu áp dụng Bước đầu thấy có số kết sau: - Phần lớn học sinh say mê giải toán vẽ hình phụ, em khơng cịn sợ lúng túng giải tốn dạng nữa, chí có nhiều em cịn có nhiều cách vẽ hình phụ khác để tìm cách giải khác hay độc đáo - Các em có niềm tin, niềm say mê, hứng thú học toán, từ tạo cho em tính tự tin độc lập suy nghĩ, phát triển tư logic, óc quan sát, suy luận tốn học - Trong q trình giải tập giúp em có khả phân tích, suy ngẫm, khái quát vấn đề cách chặt chẽ, em khơng cịn ngại khó, mà tự tin vào khả học tập Việc nghiên cứu đề tài việc làm thiết thực, góp phần cho GV dạy tốt hơn, học sinh học chủ động hơn, đặc biệt phát tốn, dạng tốn mà khơng vẽ thêm hình phụ khó để giải Đề tài nêu lên số phương pháp cụ thể tốn cần vẽ thêm hình phụ, từ tạo cho học sinh thêm linh động, chắn giải tốn Những biện pháp học tơi trình bày trên, bước đầu đạt kết chưa thật mỹ mãn tâm ý thân Tuy nhiên, thực tốt tơi nghĩ góp phần đổi phương pháp dạy học mà ngành quan tâm đạo để nâng cao chất lượng học sinh nói chung chất lượng mũi nhọn nói riêng Mặt khác, tơi thiết nghĩ, sau học xong tài liệu học sinh khơng cịn lúng túng tốn có vẽ thêm hình phụ mà cịn hình thành cho phương pháp giải đắn, xác Trên điều mà tơi nghiên cứu, đúc kết q trình giảng dạy mà thân vận dụng dạy học sinh đem lại kết tốt Tuy nhiên cịn nhiều thiếu sót, cịn nhiều vấn đề cần phải bàn thêm Vì tơi mong góp ý, xây dựng thầy giáo, cô giáo, bạn đồng nghiệp, nhằm giúp tơi bước hồn thiện phương pháp giảng dạy mình, đồng thời góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy học phần tốn hình có vẽ thêm hình phụ, góp phần tạo hứng thú cho học sinh học dạng toán Tuy nhiên khơng nên q lạm dụng có làm toán trở nên phức tạp  ... yếu tố phụ Việc vẽ thêm hình phụ nhằm đạt ba vấn đề sau: - Giúp giải số toán hình học mà khơng vẽ thêm hình phụ bế tắc - Trình bày lời giải số tốn hình học gọn hơn, hay - Phát vấn đề chưa học vốn... phương pháp chung cho việc vẽ thêm hình phụ giải tốn hình học Tùy tốn cụ thể mà có cách vẽ thêm hình phụ hợp lý để đến với lời giải tốn Sự xuất hình phụ thổi hồn vào lời giải toán mà hẳn có lần lúng... hình học giật nảy phát cần vẽ thêm yếu tố đến với lời giải tốn Vẽ thêm hình phụ sáng tạo “nghệ thuật” tùy theo yêu cầu tốn cụ thể Bởi việc vẽ thêm hình phụ cần đạt mục đích tạo điều kiện để giải