Cđ13 hàm số đồ thị của hàm số

TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Chương II HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Chuyên đề 13 HÀM SỐ - ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ A Kiến thức cần nhớ Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x cho với giá trị x ta xác định giá trị tương ứng y y gọi hàm số x x gọi biến số Khi y hàm số x ta viết y  f  x  , y  g  x  Tập xác định hàm số tập hợp tất giá trị biến số Hàm số cho bảng, cơng thức, sơ đồ mũi tên, đồ thị Khi x thay đổi mà y ln nhận giá trị y gọi hàm Mặt phẳng tọa độ Oxy xác định hai trục số vuông góc với nhau: trục hồnh Ox trục tung Oy; giao điểm hai trục O gốc tọa độ Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M xác định cặp số  x0 ; y0  ; ngược lại cặp số  x0 ; y0  xác định điểm M Cặp số  x0 ; y0  gọi tọa độ điểm M; x0 hoành độ, y0 tung độ điểm M Ta viết M  x0 ; y0  Đồ thị hàm số y  f  x  tập hợp tất điểm biểu diễn cặp giá trị tương ứng  x; y  mặt phẳng tọa độ Đồ thị hàm số y ax  a 0  đường thẳng qua gốc tọa độ Đồ thị hàm số y  a  a; x 0  hai nhánh (hai đường cong), nhánh nằm góc phần tư thứ I x nhánh nằm góc phần tư thứ III a  nhánh nằm góc phần tư thứ II nhánh nằm góc phần tư thứ IV a  B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho cặp số  x; y  sau: 2  1 ;8  ;  18;  ;   3;    5  3   2;  3 ;   1,5;   ;  1,2;5  ;  a) Lập bảng giá trị cặp số b) Vẽ sơ đồ mũi tên c) Giải thích bảng vừa lập xác định y hàm số x? d) Hàm số cho cơng thức nào?  Tìm cách giải: Ta cần kiểm tra xem giá trị đại lượng x có tương ứng với giá trị đại lương y Từ quan hệ x y viết công thức hàm số Giải a) Bảng giá trị cặp số: File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN x -2 -1,5 1,2 y -3 -4 5 18 -3 -2 b) Sơ đồ mũi tên: c) Trong bảng ta thấy giá trị x tương ứng với giá trị y hàm số x (việc lập bảng sơ đồ mũi tên chứng tỏ điều ấy) d) Hàm số cho cơng thức y  với x   x   2;  1,5;1, 2; ;18;  3   Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  xác định công thức f  x   x   1 a) Tính f  3 ; f   3 ; f    ;  3 b) Tìm x để f  x   74; f  x  1; c) Chứng tỏ với x  R f  x   f   x   Tìm cách giải: Để tính f  a  ta thay x a vào cơng thức, từ tìm giá trị Để tìm x biết f  x  m ta thay y m từ tìm x Ta thay vai trị x  x so sánh kết để kết luận Giải a) f  3  5.32   39; f   3    3   39  1  1 f           5 9  3  3 b) f  x   74 nghĩa  x   74  x 80  x 16  x 4 f  x  1 nghĩa  x  1  x 5  x 1  x 1 c) Với   x  f   x     x    x   f  x  File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN nÕu x 0 x  Ví dụ 3: Một hàm số xác định sau: y   x  nÕu x  a) Đặt y  f  x  Tính f   ; f    ; f   ; b) Hãy viết gọn công thức  Tìm cách giải: a) Thay x 5; x  x 0 vào f  x  để ý  0;    x nÕu x 0 b) Lưu ý định nghĩa giá trị tuyệt đối x   x nÕu x  Giải a) f   5  0 (vì  ) f         3 (vì   ) f   0    x nÕu x 0 b) Công thức viết gọn y  f  x   x  theo định nghĩa x   x nÕu x  Ví dụ 4: Tìm tập xác định hàm số sau: a) y  x  3; b) y  x  ; 4x  x 1 c) y  5 ; x2  d) y  2x ; x9 e) y  x  ; x  12 x  f) y   3x x2   Tìm cách giải: Để tìm tập xác định hàm số cho công thức, ta cần tìm tất giá trị biến làm cho cơng thức có nghĩa Giải a) Tập xác định hàm số y  x  R; b) x  khơng có nghĩa x  0 x  0 tức x  x  Vậy tập xác 4x  x 1 định hàm số y  c)   x  tập hợp số thực khác khác  1:  x  R x  ; x  1 4x  x 1   5 5 khơng có nghĩa x  0  x  Vậy tập xác định hàm số y  2 4x  4x  tập hợp số thực khác  3 khác  :  x  R x    2 File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN d) 2x khơng có nghĩa x  0  x 9  x 9 Vậy tập xác định hàm số x9 y 2x tập hợp số thực khác khác  :  x  R x 9 x9 e) x  khơng có nghĩa x  12 0  x 4 x  0  x  Vậy tập xác x  12 x  định hàm số y  x  tập hợp số thực khác khác  :  x  R x 4; x  5 x  12 x  f) x  0 với x nên tập xác định hàm số y   3x R x2  3 Ví dụ 5: Cho hàm số y  f  x   m   x  2m  Tìm m f  3  51  Tìm cách giải: Thay x 3 vào f  x   m3    2m3   51 Giải tìm m Giải 3 Ta có f  3  m    2m  51  5m    51  5m3  40  m3   m  Ví dụ 6: Cho điểm A  0;6  ; B  5;6  ; C  5;0  ; D  2;  ; M   4;0  ; N  0;  Tìm diện tích hình tam giác AMN hình tứ giác ABCD  Tìm cách giải: Biểu diễn điểm A, B, C , D, M , N mặt phẳng tọa độ nối lại AMN tứ giác ABCD Mỗi đơn vị trục tọa độ đơn vị độ dài Tam giác AMN có độ dài đáy AN (đvđd), chiều cao MO (đvđd) Ta có ABCO hình chữ nhật Để tính diện tích tứ giác ABCD từ D ta hạ đường vng góc DK DH xuống hai trục tọa độ Ox Oy tạo thành hình vng OHDK tam giác vng AHD DKC Giải Ta có tam giác AMN có độ dài đáy AN (đvđd), chiều cao MO (đvđd) Nên: 1 S AMN  AN MO  8.4 16 (đvdt) 2 Từ D ta hạ đường vng góc DK DH xuống hai trục tọa độ Ox Oy Ta có: OA 6 (đvđd) File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN OC 5 (đvđd); HA 4 (đvđd); CK 3 (đvđd) HD  DK OK OH 2 (đvđd) Ta có: S ABCD  S AOCB   S AHD  S DKC  SOHDK  S ABCD  AO.OC  1 AH HD  DK KC  OH OK 2 6.5  0,5.4.2  0,5.3.2  2.2 19 (đvdt)  Chú ý: Ta tìm S ABCD cách khác: Nối O với D ta có: S ABCD S AOCB   S AOD  S DOC  Bạn đọc tự giải Ví dụ 7: Cho hàm số y  x a) Viết cặp số  x; y  với x  2;  1;0;1; b) Biểu diễn cặp số mặt phẳng tọa độ c) Vẽ đường thẳng qua điểm   2;  gốc tọa độ O Kiểm tra thước xem điểm lại có nằm đường thẳng khơng  Tìm cách giải: Để xác định cặp số ta thay giá trị x vào cơng thức, sau tính giá trị y Khi biểu diễn   2;  mặt phẳng tọa độ từ điểm -2 trục hồnh ta vẽ đường thẳng vng góc với trục hoành; từ điểm trục tung ta vẽ đường thẳng vng góc với trục tung; giao điểm hai đường vng góc điểm cần biểu diễn Giải a) Năm cặp số cần xác định   2;  ;   1;  ;  0;0  ;  1;   ;  2;   b) Biểu diễn cặp số mặt phẳng tọa độ hình bên c) Các điểm cịn lại thuộc đường thẳng d qua hai điểm   2;  gốc tọa độ O Ví dụ 8: Đồ thị hàm số y  ax qua điểm A   4;   a) Xác định hệ số a vẽ đồ thị hàm số đó; b) Cho B   2;  C  2;1 Không cần biểu diễn B, C mặt phẳng tọa độ cho biết ba điểm sau, ba điểm thẳng hàng:  A, B, C  ;  A, O, B  ;  A, O, C  ;  B; O; C  ; c) Vẽ mặt phẳng tọa độ đồ thị hàm số y 2 x File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN  Tìm cách giải: Thay tọa độ điểm A vào y ax ta tìm a Đồ thị hàm số y ax đường thẳng qua gốc tọa độ nên cần xác định điểm đường thẳng Thông thường để vẽ đồ thị hàm số y ax cần xác định điểm vẽ đường thẳng qua điểm gốc tọa độ Một điểm thuộc đồ thị hàm số tọa độ thỏa mãn hàm số cho Giải a) Đồ thị hàm số y  ax qua điểm A   4;   nên cặp số   4;   phải thỏa mãn hàm số, tức a     suy a  Hàm số cho y  x Để vẽ đồ thị hàm số, ta cho x  y  vẽ điểm A   4;   Đường thẳng OA đồ thị hàm số y  x b) Thay tọa độ B   2;  vào y  x ta thấy khơng thỏa mãn     Vậy điểm B không thuộc đồ thị hàm số y  x 1 Thay tọa độ C  2;1 vào y  x ta thấy thỏa mãn  2 Vậy điểm C thuộc đồ thị hàm số y  x Do có ba điểm  A, O, C  thẳng hàng c) Cho x 1 y 2 Vẽ điểm D  1;  Đường thẳng DO đồ thị hàm số y 2 x (hình vẽ trên)  x nÕu x 0  Ví dụ 9: Vẽ đồ thị hàm số y   x nÕu x   Tìm cách giải: Vẽ hai đồ thị y  x x 0 y  x x  File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Hai đồ thị kết hợp thành đồ thị cần vẽ Giải Đồ thị  d1  hàm số y  x x 0 tia OM với M  2;   Đồ thị  d  hàm số y  x x  tia ON với N   2;  1  d1   x nÕu x 0   d  kết hợp thành đồ thị hàm số y   x nÕu x  Ví dụ 10: Vẽ đồ thị hàm số y  x  x  Tìm cách giải: Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối số thực x:  x nÕu x 0 x   x nÕu x  Xét hàm số với hai trường hợp x 0 x  Giải  x nÕu x 0 4 x nÕu x 0 Do x  nên hàm số trở thành y   x nÕu x   x nÕu x  Đồ thị  d1  hàm số y 4 x x 0 tia OQ gốc O qua điểm Q  1;  Đồ thị  d  hàm số y  x x  tia OP gốc O qua P   2;   d1   d  kết hợp thành đồ thị hàm số y  x  x File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN C Bài tập vận dụng 13.1 Cho cặp số  x, y  sau đây: x 0,5 y    -1 15 -6 -5 18 a) Hãy lập cặp số  x, y  b) Vẽ sơ đồ mũi tên c) Các cặp số xác định hàm số Tại sao? d) Hàm số cho công thức nào? 13.2 Trong sơ đồ sau, sơ đồ xác định hàm số? Tại Hàm số biểu thị công thức? 13.3 Cho hàm số y  f  x  xác định công thức f  x   a) Chứng tỏ với x  R f  x   f   x   1 b) Tính f   20   f    f   8  f    ;  2 c) Tìm x để f  x  6; f  x   1, File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 x TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 13.4 Hàm số y  f  x  xác định sau: 2 x  nÕu x 2,5 y  f  x     x  nÕu x  2,5 a) Tính f   ;  f  2018  ; f   ; f   3 ; b) Hãy viết gọn công thức trên; c) Tính nhanh tích P  f  0,5  f  1,5  f  2,5  f  99,5  ; d) Đại lượng x có hàm số đại lượng y khơng? 13.5 Tìm tập xác định hàm số sau: a) y   x ; c) y   2016 ; 27 x  b) y  x  18 ;  x  10   x   d) y  1975 x ; 30 x  2 13.6 Cho hàm số y  f  x   m  5 x   m  2m  1 a) Tìm f   m 1 ; b) Tìm m f    376 13.7 a) Cho hàm số y  f  x  2018 x  2019 Chứng minh với x  R f   x   f  x  b) Cho hàm số y  f  x  2 x  1945 x Chứng minh với x  R f   x   f  x  13.8 Cho hình chữ nhật có chiều rộng 25cm chiều dài 28cm Người ta tăng chiều  15  x  cm a) Tính chu vi y hình chữ nhật theo x Chứng minh đại lượng y hàm số đại lượng x; b) Tập xác định hàm số y 13.9 Đồ thị hàm số y ax qua điểm C  1;  a) Xác định hệ số a vẽ đồ thị hàm số đó; b) Vẽ mặt phẳng tọa độ đồ thị hàm số y 0,5 x 2 nÕu x  13.10 Vẽ đồ thị hàm số y  x đồ thị hàm số y  hệ trục  nÕu x  tọa độ Xác định giao điểm hai đồ thị Kiểm tra lại kết tính tốn 13.11 Cho hàm số y  2bx  x File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN a) Vẽ đồ thị hàm số b 2; b) Vẽ đồ thị hàm số b 0,5 (cùng hệ trục tọa độ câu a) 13.12 Biết đồ thị hàm số y  a  a 0  qua điểm A   2;0,5 x a) Xác định hệ số a, vẽ đồ thị (H) hàm số với a vừa tìm; b) P  xP ; yP  điểm (H) biết xP  yP 0 , xác định tọa độ P; c) Tìm giao điểm đồ thị hàm số với đồ thị (D) hàm số y  x 13.13 Gọi f hàm xác định tập hợp số nguyên thỏa mãn điều kiện sau đây: 1) f   0; 2) f  1 3; 3) f  x  f  y   f  x  y   f  x  y  , với x, y  Z Tính f   (Cuộc thi Olimpic Toán học thành phố Leningrat, LB Nga năm 1987) 13.14 Cho f  x  hàm số thỏa mãn f  x  1  x  12   x  13 , với số thực Hãy xác định giá trị f  31 (Cuộc thi Toán Canada mở rộng 2006) 13.15 Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x  1  x  2013  x  2014  Tính f  4207  (Đề thi Olimpic Toán tuổi thơ cấp THCS, Đăk Lăk năm học 2013 – 2014) HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 13.1 a); b) Bạn đọc tự lập cặp số vẽ sơ đồ c) Trong cặp số ta thấy giá trị x tương ứng với giá trị y nên y hàm số x (Việc lập cặp số sơ đồ mũi tên chứng tỏ điều ấy) d) Hàm số cho công thức y  1   với x   0,5;  ;3;  1; ;   15 3x   13.2 Theo khái niệm hàm số: - Quy tắc sơ đồ (a) biểu thị hàm số Công thức y  0,5 x - Quy tắc sơ đồ (b) khơng biểu thị hàm số với x  có hai giá trị tương ứng thuộc Y - Quy tắc sơ đồ (c) không biểu thị hàm số có phần tử chẳng hạn tập X khơng có giá trị tương ứng thuộc tập Y - Quy tắc sơ đồ (d) biểu thị hàm số Công thức y  x 13.3 File word: Zalo_0946 513 000 10 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN a) Với x  R f   x   3  x   x  4  3    x  f  x   4 Từ f   x   f  x    f   x   f  x  Vậy với x  R f  x   f   x   1 b) f   20   f    f     f     2  3      20    4  3  3             4  4 c) f  x  6 nghĩa   3  1       24  4  2 x 6  x  f  x   1, nghĩa  x  1,  x 1, 13.4 a) f   10  5;  f  2018   2018.2    4031; f   0  5; f   3    3  11 b) Công thức viết gọn y  f  x   x  theo định nghĩa  x nÕu x 0 2 x  nÕu x  0 hay x 2,5 x  nên y  f  x    x nÕu x   x  nÕu x   hay x  2,5 c) P 0 f  2,5  0 d) Đại lượng x khơng hàm số đại lượng y ứng với giá trị y ta có hai giá trị tương ứng x (chẳng hạn y 9 x 7 x  ) nên theo định nghĩa hàm số đại lượng x không hàm số đại lượng y 13.5 a)  x x  R vµ x 0 ; b)  x x  R; x 5 vµ x 8 ;  1 c)  x x  R; x   ; 3  d)  x x  R 2 13.6 a) Khi m 1 f  x     x  16 nên f       16  32 2 b) f     m  5      m  2m  1 376  m  50 13.7 a) Ta có: f   x  2018   x   2019 2018 x  2019  f  x  File word: Zalo_0946 513 000 11 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN  f   x  f  x 9 b) f   x  2   x   1945   x   x  1945 x   x  1945 x   f  x   f   x   f  x  13.8 a) Chiều rộng 25   15  x  ; chiều dài 28   15  x  Chu vi hình chữ nhật y 2  25 15  x  28  15  x   x  166 y  x  166 hàm số ứng với giá trị x ta có giá trị tương ứng y b) Tập xác định hàm số y  x  166 D  x x  R; x 15 13.9 a) Đồ thị hàm số y  ax qua điểm C  1;  nên cặp số  1;  phải thỏa mãn hàm số, tức a.1 2 suy a 2 Hàm số cho y 2 x Vẽ điểm C  1;  Đường thẳng OC đồ thị hàm số y 2 x b) y  f  x  0,5x nÕu x 0 0,5 x    0,5 x nÕu x  * Đồ thị  t1  hàm số y 0,5 x x 0 tia OA với A  4;  * Đồ thị  t2  hàm số y  0,5 x x  tia OB với B   4;  Hợp t1 t2 đồ thị hàm số y 0,5 x 3x nÕu x 0 13.10 y  f  x   x   x nÕu x  Đồ thị  d1  hàm số y 3 x x 0 tia OA với A  1;3 Đồ thị  d2  hàm số y  x x  tia OB với B   1;3 ,  d1   d  kết hợp thành đồ thị hàm số 3 x nÕu x 0 y   3x nÕu x  File word: Zalo_0946 513 000 12 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 2 nÕu x  Đồ thị hàm số y  phần đường thẳng t1 với x  kết hợp với phần đường thẳng  nÕu x  t2 với x  2  Giao điểm hai đồ thị C  ;  3  Kiểm tra với y 2 3x nên x   x nÕu x 0 13.11 Do x  nên  x nÕu x  a) Khi b 2 hàm số trở thành  3x nÕu x 0 y   5x nÕu x  Đồ thị y 3 x x 0 tia  d1  gốc O qua P  1;3 Đồ thị y  x x  tia  d  gốc O qua Q   1;5   t1   t2  hợp thành đồ thị hàm số y  x  x  nÕu x 0 b) Khi b 0,5 hàm số trở thành y  f  x   x  x   x nÕu x  Đồ thị y 0 x 0 tia Ox Đồ thị y  x x  tia  d3  gốc O qua M   1;  Tia Ox  d3  hợp thành đồ thị hàm số y  x  x 13.12 a) Đồ thị (H) hàm số y  A   2;0,5  nên ta có 0,5  Hàm số cho y  a  a 0  qua điểm x a  a  2 1 x Vẽ đồ thị: x y -4 0,25 -2 0,5 File word: Zalo_0946 513 000 -1 -0,25 0,25 -4 0,5 -2 13 -File word: Zalo_0946 513 000 -1 -0,5 -0,25 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Vẽ điểm  x; y  nối lại được: Đồ thị hàm số y  1 hai nhánh đường cong  h1  nằm góc x phần tư thứ II  h2  nằm góc phần tư thứ IV b) P nằm đồ thị hàm số y  xP  yP nên xP  1 1 nên yP xP thỏa mãn biểu thức nghĩa yP  Do xP x 1 0  xP2 4 xP 2 xP Với xP 2 yP  0.5; xP  yP 0.5 Ta có hai điểm P1  2;  0.5  P2   2;0.5   x nÕu x 0 c) Đồ thị (D) hàm số y  f  x   x  gồm tia OM ON với  x nÕu x  M  2;  ; N   2;  Hai đồ thị (D) (H) cắt I   1;1 13.13 Áp dụng tính chất cho ta có: f  1 f    f     f    2 f  1 6  f   2 f  1 f  1  f   1  f   1  f    f    f   7 f   f  1  f   1  f   1  f  3  f  1  f  3 18 f  3 f  1  f    f    f   47 f   f  3  f    f  1  f   843 Vậy f   843 13.14 Ta có: 31 2 x   x 15 Vậy f  31  15  12   15  13 84 13.15 Ta có: 4027 2 x   x 2013 Vậy f  4027  0 File word: Zalo_0946 513 000 14 -File word: Zalo_0946 513 000