6 KHAO SAT HAM SO

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ A CHUẨN KIẾN THỨC SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ Tập xác định Tìm tập xác định hàm số Sự biến thiên * Xét chiều biến thiên hàm số : + Tính đạo hàm y’; + Tìm điểm đạo hàm y’ không xác định ; + Xét dấu đạo hàm y’ suy chiều biến thiên hàm số * Tìm cực trị * Tìm giới hạn vô cực ,các giới hạn vô cực tìm tiệm cận (nếu có ) * Lập bảng biến thiên (Ghi kết tìm vào bảng biến thiên ) Tìm khoảng lồi ,lõm điểm uốn đồ thị hàm (bước thực với hàm bậc ba ) + Tính y’’ + Giải phương trình y’’=0 + Lập bảng xét dấu y’’ Đồ thị Dựa vào bảng biến thiên yếu tố xác định để vẽ CHÚ Ý Nếu hàm số tuần hồn với chu kì T cần khảo sát biến thiên vẽ đồ thị chu kì ,sau tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox Nên tính thêm toạ độ số điểm ,đặc biệt giao điểm đồ thị với trục toạ độ Nên lưu ý đến tính đối xứng đồ thị để vẽ cho xác B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Hàm số bậc ba vấn đề liên quan HÀM SỐ BẬC BA : y  ax3  bx2  cx  d Tập xác định: D  � Đạo hàm: y'  3ax2  2bx  c , �  b2  3ac �  : Hàm số có cực trị � �0 : Hàm số tăng giảm � b Đạo hàm cấp 2: y''  6ax  2b , y''  � x   3a 134 b hoành độ điểm uốn, đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng 3a y  �; lim y  � Giới hạn: Nếu a  thì: xlim �� x�� x  y  �; lim y  � Nếu a  thì: xlim �� x�� Bảng biến thiên đồ thị: Trường hợp a  : * �  b2  3ac  : Hàm số có cực trị *  � � b�  3ac y� 0, x � : Hàm số tăng � Trường hợp a  : * �  b2  3ac  : Hàm số có cực trị *  � � b�  3ac y� 0, x � : Hàm số ln giảm � Một số tính chất hàm số bậc ba Hàm số có cực đại cực tiểu khi: �  b2  3ac  � a � Hàm số đồng biến � � � �  b2  3ac �0 � � a � Hàm số nghịch biến � � � �  b2  3ac �0 � (x) : f(x)  f � (x).g(x)  rx  q Để tìm giá cực trị ta lấy f(x) chia cho f� (x) thì: f(x1)  rx1  q; f(x2 )  rx2  q Nếu x1,x2 hai nghiệm f� Khi đường thẳng qua điểm cực trị y  rx  q Đồ thị có điểm uốn I tâm đối xứng đồ thị Đồ thị cắt Ox điểm phân biệt � hàm số có hai cực trị trái dấu Đồ thị cắt Ox hai điểm phân biệt � đồ thị hàm số có hai cực trị cực trị nằm Ox Đồ thị cắt Ox điểm � hàm số khơng có cực trị hàm số có hai cực trị dấu Tiếp tuyến: Gọi I điểm uốn Cho M �(C) * Nếu M �I ta có đúng tiếp tuyến qua M tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ ( a  ), lớn (nếu a  ) * Nếu M khác I có đúng tiếp tuyến qua M Các ví dụ Ví dụ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số: y  x3  3x2  y  x3  3x2 3 x  2x2  4x Lời giải y Tập xác định : D  � 135  Chiều biến thiên : o  � 3x x  2  � x  x  y�  3x2  6x  3x x  2 ; y� Hàm số nghịch biến khoảng   �; 0  ;  � , đồng biến khoảng  ; 2 Hàm số đạt cực đại điểm x  ; giá trị cực đại hàm số y  2  Hàm số đạt cực tiểu điểm x  ; giá trị cực tiểu hàm số y  0   y   � ; lim y   � o Giới hạn hàm số vô cực : xlim � � x�  � Bảng biến thiên :  ­¥ +¥ x y' ­ ­ +¥ y + 0 ­4 ­¥  Đồ thị : o Cho x  1� y  0; x  � y   Tập xác định : D  �  Chiều biến thiên: o  � 3x x  2  � x  x  y�  3x2  6x  3x  x  2 ; y� Hàm số nghịch biến khoảng   �; 0  ;  � , đồng biến khoảng  ; 2 Hàm số đạt cực đại điểm x  ; giá trị cực đại hàm số y  2  Hàm số đạt cực tiểu điểm x  ; giá trị cực tiểu hàm số y  0  y   � ; lim y   � o Giới hạn hàm số vô cực: xlim � � x�  � Bảng biến thiên:  Đồ thị : 136 Cho x  1� y  4; x  � y  Tập xác định: D  �  Chiều biến thiên:  y   � ; lim y   � Giới hạn hàm số vô cực: xlim � � x�  �  Ta có: y'  x2  4x    x  2 �0,x �� Hàm số đồng biến khoảng   �;  � , hàm số khơng có cực trị  Bảng biến thiên:  Đồ thị : Cho x  � y  Ví dụ Cho hàm số y  x3  3x2  có đồ thị ( C ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số; Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) A  3;1 Lời giải Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị:  Tập xác định: D  �  Chiều biến thiên : Ta có : y'  3x2  6x  3x  x  2 y'  � 3x x  2  � x  x  y�  � x � ; 2 ; y�  � x �  � ; 0 � ;  � Hàm số nghịch biến khoảng   �; 0  ;  � , đồng biến khoảng  ; 2 Hàm số đạt cực đại điểm x  ; giá trị cực đại hàm số y  2  Hàm số đạt cực tiểu điểm x  ; giá trị cực tiểu hàm số y  0  y   � ; lim y   � o Giới hạn hàm số vô cực : xlim � � x�  � o Bảng biến thiên: x  + y'  137 0 + y  +  o Đồ thị : Cho x = 1  y = 5; x =  y = Phương trình tiếp tuyến (C) điểm A  ; 1 có dạng : y   y�  3  x  3 � y  9 x  3  1� y  9x  28 Ví dụ Cho hàm số y  x3  3x2  mx  , m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho với m  ; Với giá trị m hàm số nghịch biến khoảng  �; 0 Lời giải Khi m  hàm số : y  x3  3x2   Tập xác định: D�  Chiều biến thiên: o Giới hạn hàm số vô cực: lim y   � ; lim y   � x�  � x�  � o Bảng biến thiên:  � 3x x  2  � x  x  2  3x2  6x  3x  x  2 , y� + y� Hàm số đồng biến khoảng   �;  2  ;  � , nghịch biến khoảng   ; 0 Hàm số đạt cực đại điểm x  2 ; giá trị cực đại hàm số y  2  Hàm số đạt cực tiểu điểm x  ; giá trị cực tiểu hàm số y  0   y   � ; lim y   � o Giới hạn hàm số vô cực : xlim � � x�  � o Bảng biến thiên: x ­¥ ­2 +¥ y' + ­ ­ y +¥ ­¥ ­4  Đồ thị : Cho x  3 � y  4 ; x  1� y  0 0 138 Hàm số y  x3  3x2  mx  đồng biến khoảng  �;0 � y�  3x2  6x  m �0 , x �  �;0 Xét: g  x  3x2  6x  m , x �  �;0 Bảng biến thiên : x g'(x) g(x) g�  x  6x  � g� x  � x  1  1  + + m 3 – m Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy: y' �  g  x� �2��� 6x m0 , x  3x  ;0 m m Vậy m �3 u cầu tốn thỏa mãn Ví dụ Cho hàm số y  2x3  9x2  12x  có đồ thị  C  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số; Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x  9x2  12 x  m Lời giải + Bảng biến thiên: x  + y' + + y +  + Đồ thị :  Ta có: x  9x2  12 x  m � x  9x2  12 x   m  Gọi  C  : y  2x3  9x2  12x   C' : y  x  9x2  12 x  Ta thấy x �0 thì:  C�  : y  2x3  9x2  12x  Mặt khác hàm số đồ thị (C’) hàm số chẵn nên (C’) nhận Oy trục đối xứng Từ đồ thị (C) ta suy đồ thị (C’) sau: o Giữ nguyên phần đồ thị (C) bên phải trục Oy, ta  C1� o Lấy đối xứng qua trục Oy phần  C1�  , ta  C� 2 o  C�    C1� � C� 2 139 Số nghiệm phương trình: x  9x2  12 x  m � x  9x2  12 x   m  số giao điểm đồ thị (C’) đường thẳng  d  : y  m  Từ đồ thị (C’), ta thấy yêu cầu toán � 0 m  4 � 4 m  Ví dụ Cho hàm số y  x3  mx2  có đồ thị  C m  ,m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  m  3 Tùy theo k giải biện luận phương trình:  x  3x2  k  Gọi A B hai điểm cực trị  C  , tìm điểm M  C  cho tam giác MAB cân M Tìm m để đồ thị hàm số  C m  cắt trục hoành điểm Lời giải  Hàm số cho xác định �  Ta có: y'  3x2  6x  3x  x  2 y'  � x  x  y  � lim y  �  Giới hạn: xlim �� x��  Bảng biến thiên: x � � y' y �  2   � 2 Hàm đồng biến khoảng  �;0  2;� , nghịch biến  0;2 Hàm số đạt cực đại điểm x  với giá trị cực đại hàm số y  0  hàm số đạt cực tiểu điểm x  với giá trị cực tiểu hàm số y  2  2  Đồ thị � Điểm uốn: : y''  6x  y"  � x  140 Ta thấy y" đổi dấu x qua điểm x  Vậy I  1;0 điểm uốn đồ thị �Giao điểm đồ thị với trục tọa độ Giao điểm đồ thị với trục Oy điểm  0;2  y -1  x Đồ thị cắt Ox ba điểm  1;0 , 1� 3;0 � Chọn x  � y  2, x  1� y  2 Nhận xét: Đồ thị nhận I  1;0 làm tâm đối xứng -2  x  3x2  k  � x  3x2   k  , phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị  C' : y  x  3x2  đường thẳng  d  : y  k  � số nghiệm phương trình cho số giao điểm hai đồ thị �y  x  3x2  C' �   � � �y  k   d  y � k   2 � k  � d không cắt đồ thị  C' nên phương trình cho vơ nghiệm � k   2 � k0 �� �� � d cắt  C' k  2 k4 � � y k 2 hai điểm phân biệt nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt � k   � k  � d cắt  C' -_3 -1 O x ba điểm phân biệt nên phương trình cho có ba nghiệm phân biệt � 2  k   �  k  � d cắt -_2 C'   bốn điểm phân biệt nên phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt Giả sử A  0;2 B 2; 2 hai điểm cực trị  C  Tam giác MAB cân M � MA  MB M ,A ,B không thẳng hàng MA  MB � M thuộc trung trực AB : x – 2y –  � �y  x3  3x2  Tọa độ M thỏa nghiệm hệ phương trình: � x – 2y –  �   �  x 1�2x2 4x 141 � M� � � 14 ; 14 � � � � Loại M  1;0 M ,A ,B thẳng hàng Cách 1: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số  C m  với trục Ox: x3  mx   � x2   m x 2 Ta có: f ' x  2x  f ' x  � x  x x Lập bảng biến thiên suy m  � m  3 giá trị cần tìm Cách 2: Để đồ thị hàm số  C m  cắt Ox điểm ta có trường hợp sau: TH 1: Đồ thị hàm số  C m  khơng có cực trị hàm số  C m  đồng Xét hàm số f  x  x2  biến (do a   ) � � y'�3x �۳ m x � TH 2: Đồ thị hàm số  C m  có hai cực trị dấu y'  � x2   m m m với m  � x �  3 Hai giá trị cực trị là: y1   2m m 2m m  , y2    3 3 4m3  � 3  m  27 Vậy m  3 giá trị cần tìm � y1.y2   CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y  x3  3x2  9x  có đồ thị  C  Tìm m để đường thẳng dm : y   2m  1 x  cắt đồ thị  C m  ba điểm phân biệt A  0; 1 ,B,C cho BC  82 Tìm điểm nằm  C  mà qua vẽ tiếp tuyến đến  C  Bài Cho hàm số y   x3  3x2  mx  , m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho, với m  Tìm tất giá trị tham số m để hàm số cho nghịch biến khoảng  0;� Tìm m để đồ thị hàm số cho cắt Ox ba điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Bài 3: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị  C m  hàm số y  x3  3x2   4m  1 x  2m2  cắt Ox ba điểm A ,B,C cho AB  BC 142 Bài Tìm m để đồ thị  C m  : y  x3  3 m  1 x2  3mx  m  cắt Ox ba điểm phân biệt có điểm có hồnh độ âm Bài Tìm m để đồ thị  C m  : y  x3  2x2   3m  1 x  m  cắt đường thẳng d : y   1 m x  m  ba điểm phân biệt có hồnh độ x1  x2  1 x3 Bài Cho hàm số  C  y  x3  5x2  6x  Tìm đồ thị  C  cặp điểm đối xứng qua O Tìm m để O tồn cặp điểm đối xứng qua Oy Bài Cho hàm số y  x3   2m  1 x2  mx  3m  có đồ thị  C m  Tìm  C1 cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ Tìm m để  C m  tồn cặp điểm đối xứng qua trục tung Tìm tất điểm cố định họ đường cong  C m  qua 4.Tìm điểm cố định mà khơng có đồ thị họ  C m  qua có đồ thị  C  Trên đồ thị  C  có x bốn điểm A ,B,C,D cho tứ giác ABCD hình vuông tâm I  1; 1 Bài Cho hàm số  C  : y   Bài Trên mp Oxy cho đồ thị  C  : y  x3  2x Chứng minh hình bình hành có tất đỉnh nằm  C  tâm hình bình hành gốc tọa độ O Bài 10 Biết đồ thị hàm số y  x3  ax2  bx  c cắt Ox ba điểm phân   9x  5  biệt Chứng minh 27c  2a3  9ab  a2  3b Bài 11: Cho hàm số : y   x  3x2 có đồ thị  C  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  , biết tiếp tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Bài 12: Cho hàm số y  f(x)  x3  x  , có đồ thị  C  Khảo sát biến thiên vẽ  C  Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x  x   m (1) Bài 13: Cho hàm số y  x3  3x2  có đồ thị  C  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  Tìm m để phương trình x3  3x2  m (1) có ba nghiệm phân biệt 143 � 2 � 0; �: sin6 x  cos6 x  m (sin4 x  cos4 x) trình sau có nghiệm đoạn � � 3�   2 Bài 8: Chứng minh phương trình: x  m  x  m   ln có nghiệm phân biệt x1,x2 ,x3 ,x4 với mọi giá trị m Tìm giá trị m�� cho x12  x22  x23  x24  x1x2x3x4  11 Bài 9: Tìm m để đường thẳng y  1 cắt  C m  : y  x4 –  3m  2 x2  3m điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ Bài 10: Cho hàm số y  x4  2 m  1 x2  2m  có đồ thị  C m  Khảo sát hàm số vẽ đồ thị hàm số m  Tìm giá trị m để đồ thị  C m  cắt trục hoành điểm phân biệt A ,B,C,D cho AB  BC  CD Tìm m để  C m  có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông Dạng 3: Hàm số hữu tỷ vấn đề liên quan Phương pháp giải HÀM SỐ NHẤT BIẾN: y  ax  b , ac �0 cx  d � d�  � TXĐ: D  �\ � �c ad  bc  Đạo hàm: y� Đặt m  ad  bc , ta có: (cx  d)2 * Nếu m  hàm số tăng khoảng xác định * Nếu m  hàm số giảm khoảng xác định d a Các đường tiệm cận : x   tiệm cận đứng y  tiệm cận c c ngang Bảng biến thiên đồ thị : * m0 m : x x d d � �   c c � �     || y' || y' � a � y y a c � c a a � c c 153 Đồ thị hàm số biến gọi hypebol vuông góc có tâm đối xứng � d a� I�  ; �, giao điểm đường tiệm cận � c c� HÀM SỐ PHÂN THỨC y  ax2  bx  c , a. �0 x   Thực phép chia đa thức ta được: y  Ax  B  C (a..C �0) x   � �  � TXĐ: D  �\ � � A Đạo hàm: y� C (x  )  A(x  )2  C (x  ) � y�  � (x  )2  C A C  hàm số khơng có cực trị, hàm số tăng giảm A khoảng xác định C  hàm số có cực trị * Nếu A  Các đường tiệm cận: Tiệm cận đứng: x   Tiệm cận xiên: y  Ax  B  Bảng biến thiên * A  0, AC  : Hàm số có cực trị x  � x1 x2   �    0 y'  � CĐ y � � � CT * A  0, C  : Hàm số không có cực trị x  �   �   y' � y � � � A  0, C   * : Hàm số có cực trị * Nếu 154 x � � y' y  � � x1  CT     x2  � � CĐ * A  0, AC  : Hàm số không có cực trị x  �   �   || y' � � y � � Một số tính chất hàm số hữu tỉ bậc bậc g(x)  Giả sử y� với g(x) tam thức bậc có biệt số  (x  )2 Hàm số có cực đại cực tiểu � g(x) có nghiệm phân biệt khác    � 0 � � ��  � g�  ��0 � ��  � 2ax1  b 2ax2  b với x1,x2 nghiệm y'  ;y2    Đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị có phương trình : y  (2ax  b)  Điều kiện để cực trị trái dấu : g(x)  có hai nghiệm phân biệt khác   ax2  bx  c  vô nghiệm  Giả sử M điểm thuộc đồ thị hàm số Nếu tiếp tuyến với đồ thị M cắt tiệm cận A, B ta có : * M trung điểm AB SIA B không đổi ( I giao điểm đường tiệm cận, tâm đối xứng đồ thị) * Tích khoảng cách từ M đến đường tiệm cận số Các cực trị là: y1  Các ví dụ Ví dụ 1.Cho hàm số y  155 mx  , m tham số thực x m Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số với m  Với giá trị m hàm số nghịch biến khoảng  � ;1 Lời giải x x  Tập xác định: D  �\  1 Khi m  1thì hàm số là: y   Chiều biến thiên:  + Ta có : y� 3  x  1  , x �1 Hàm số nghịch biến khoảng   �;  1 , 1;  � o Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực đường tiệm cận: lim y   �, lim y   � + Ta có: x�   , đường thẳng x  1  x� 1     tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho (khi x �  1   x �  1 ) + Ta có: lim y  lim y  1, nên đường thẳng y  tiệm cận x�  � x�  � ngang đồ thị hàm số cho (khi x �  � x �  �) o Bảng biến thiên: x  1 + y'   y +   Đồ thị : (hình vẽ) o y  � x  4 ;x  � y  , tức đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm  4; 0 , cắt trục tung  0; 4 o Đồ thị hàm số nhận giao điểm I  1; 1 hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng Với giá trị m hàm số nghịch biến khoảng  �; 1 Tập xác định: D  �\   m 156 y�  m2   x  m Yêu cầu toán � y'  0,x � �; 1 � � 2  m  � 2  m  m2   � �� �� �� m �1 m �1 x   m � �;1 � � � Vậy giá trị cần tìm là: 2  m �1 � 2  m �1 2x  , gọi đồ thị hàm số ( C ) x1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số; Tìm m để đường thẳng  d  : y  x  m cắt (C) hai điểm phân biệt Ví dụ Cho hàm số y  Lời giải Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  Tập xác định: D  �\  1  Sự biến thiên:  o Chiều biến thiên: y� 3  x  1  , x �D Suy ra, hàm số nghịch biến khoảng   �; 1  ;  � o Cực trị: Hàm số khơng có cực trị y  lim y  ; lim y   � lim y   �  Giới hạn : xlim   � � x�  � x� x�1 Suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đường thẳng x = 1, tiệm cận ngang đường thẳng y =  Bảng biến thiên: x  + y'   y +   Đồ thị : Đồ thị cắt trục tung A  ;  1 , �1 � cắt trục hoành B� ; 0� �2 � Đồ thị nhận giao điểm đường tiệm cận I  ; 2 làm tâm đối xứng Đường thẳng 157  d  : y  x  m cắt (C) hai điểm phân biệt  2x    x  m có hai nghiệm phân biệt x1 � x2   m  2 x  m   có hai nghiệm phân biệt khác � �    m  2  4 m  1  � m m2  8m  � � �� �� �� m8 �0 � �   m  2 1 m  �0 � � Vậy, với m  m  đường thẳng (d) cắt đồ ( C ) hai điểm phẩn biệt 2x  , gọi đồ thị hàm số ( C ) x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số; Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ A B đến trục hoành Lời giải 2x  1 Xét hàm số y = (C) x1  Tập xác định : D = �\{1}  Sự biến thiên :   0, x �D  Chiều biến thiên : y� (x  1)2 Hàm số đồng biến khoảng ( ; 1) (1 ; +)  Giới hạn tiệm cận: lim y  lim y  2; tiệm cận ngang: y = Ví dụ Cho hàm số y  x�� x�� lim y  �, lim y  �; x�(1) x�(1)  Bảng biến thiên: x  1 y' + y +   Đồ thị : tiệm cận đứng : x = 1 + 2 Gọi (d) đường thẳng y = kx + 2k + Khi hồnh độ giao điểm 2x  (d) (C) nghiệm phương trình : kx  2k   x  (x + 1)(kx + 2k +1 ) = 2x + (do x = 1 không nghiệm) 158  kx2 + (3k  1)x + 2k = (1) Để (d) (C) cắt hai điểm phân biệt A, B (1) cần có hai nghiệm phân biệt Điều xảy �� k � k � k � �k � �� � �2 � � 0 � k   2 �k   2 (3k  1)  8k  �k  (k  1)  � � Khi k thỏa mãn (2) ta có: A  x1; kx1  2k  1 B x2; kx2  2k  1 , x1 , x2 hai nghiệm phân biệt (1) Ta có : d(A, Ox) = d(B, Ox)  kx1  2k   kx2  2k  � kx1  2k   kx2  2k   � kx1  2k   kx2  2k  � � k(x1  x2)   � k(x1  x2)  4k   � � x1  x2 (do k �0) � k  x1  x2   4k   (do x1 �x2 )  � k(x1  x2 )  4k   � 1 3k , từ ta có : Theo định lí Viet, ta có x1+x2  k 1 3k k  4k    k + =  k = 3 k Rõ ràng k = 3 thỏa mãn (2), nên giá trị cần tìm tham số k 2x , gọi đồ thị hàm số ( C ) x1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Từ suy đồ thị 2x hàm số: y   C1 x 1 Ví dụ Cho hàm số y  1; 2� �của phương trình: Biện luận theo m số nghiệm x �� �  m  2 x  m  Lời giải + Bảng biến thiên : + Đồ thị (C) 159 * Ta có :  C1 : y  Mặt khác y 2x 2x  x �0 x 1 x1 2x x 1 hàm số chẵn nên  C1 nhận Oy làm trục đối xứng Vậy đồ thị hàm số 2x y  C  gồm hai phần: x 1 + Phần 1: Phần (C) x �0 + Phần 2: Đối xứng phần qua Oy 2x  m  1 Ta có :  m  2 x  m  � x 1 1; 2� �của (1) số Số nghiệm x �� � giao điểm (C1)  d  : y  m � 1; 2� � Nhìn vào đồ thị đoạn � ta thấy: � m  Khi � phương trình (1) có m � 1; 2� nghiệm x �� � � 1; 2�  Khi m  phương trình (1) có hai nghiệm x �� � � Khi  m  phương trình (1) khơng có nghiệm x2  x  , gọi đồ thị hàm số ( C ) x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số ; � 5� 0; �và tiếp xúc với đồ Viết phương trình đường thẳng qua điểm M � � 4� thị Lời giải  Tập xác định D = �\ { 1} Ví dụ Cho hàm số y  x2  2x � x  0� � x  2 (x  1)2 �  Giới hạn tiệm cận: lim y  �; lim y  � x = –1 tiệm cận  Sự biến thiên: y’ = x�1 x�1 đứng y= x2  x  1  x   x x 160 lim y  (x  2)  lim y  (x  2)   y = –x + tiệm cận xiên x�� x��  Bảng biến thiên: x y ’ y – +  – –2 - 0 + + +  – +  Cực đại Cực tiểu – – Đồ thị nhận điểm I(–1; 3) làm tâm đối xứng; cắt trục Oy (0, 1), cắt trục Ox �1 ��1 � ; 0�� , ; 0� � � �� � Gọi (d) đường thẳng y = kx  Để (d) tiếp xúc với đồ thị (C ) điểm có hồnh độ x0 hệ : � x2  x  �  kx0  (1) � x0  có nghiệm x0 � � x0  2x0 k (2) � (x  1) � Thế k từ (2) vào (1): x02  x0  x02  2x0  x0  x0  (x0  1) � x �0 �� ( x0  x0  1)(x0  1)  x02  2x02  (x0  1)2 � � � x0  � x � �� �� x  3x0  2x0  1 � � �0 3 , có tiếp tuyến (T1): y =  x  4 5  Tại x0 =   k = , có tiếp tuyến (T2): y = x  4  Tại x0 =  k =  Ví dụ Cho hàm số y  161 x2  2x  , gọi đồ thị hàm số ( C ) x1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số ; x2  x  x 1 từ đồ thị hàm số này, biện luận số nghiệm phương trình Dựa vào đồ thị hàm số câu 1, vẽ đồ thị hàm số y = x2  x   a theo giá trị tham số a x 1 Lời giải x2  2x   x  1 x1 x  Tập xác định D = �\ { 1} y = x2  2x   với mọi x thuộc D: hàm số (x  1)2 đồng biến D, khơng có cực đại cực tiểu  Giới hạn tiệm cận: lim y  �; lim y  �  Sự biến thiên: y’ = x�11 x�11  x = –1 tiệm cận đứng lim y  (x  1)  lim y  (x  1)   y = x + tiệm cận xiên x�� x�� x  Bảng biến thiên: – - y ’ y + +  + +  + – – Đồ thị nhận điểm I(–1; 0) làm tâm đối xứng; cắt trục Oy (0, –1),     cắt trục Ox 1 2; , 1 2; x2  x  hàm số chẵn (do f(–x)= f(x)) nên đồ thị nhận Oy x 1 làm trục đối xứng  Vẽ phần đồ thị (1) ứng với x   Lấy đối xứng phần đồ thị qua trục Oy đồ thị hàm số y = y= x2  x  (hình bên) x 1 162 Số giao điểm đường thẳng y = a đồ thị số nghiệm phương trình: x2  x   a x 1 Xét qua vị trí đường thẳng y = a: (1): a < –1: vô nghiệm; (2): a = –1: nghiệm x = 0; (3): a > –1: thỏa nghiệm CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 2x  Bài Cho hàm số y  có đồ thị  C  x 1 Chứng minh đồ thị  C  có hai trục đối xứng Tìm tất cặp điểm M ,N nằm hai nhánh  C  cho MN có độ dài nhỏ Tìm tất điểm K thuộc  C  cho tiếp tuyến  C  A tạo với hai trục tọa độ tam giác có chu vi nhỏ 2x Bài Cho hàm số y  có đồ thị  C  Tìm đồ thị  C  hai điểm x1 phân biệt A ,B cho AB đối xứng qua đường thẳng d : 2x  y   mx  Bài Chứng minh với mọi m � 1;1 đồ thị  C m  : y  cắt x m đường tròn  C  : x2  y2  12 bốn điểm phân biệt 3x  có đồ thị  C  x Tìm a,b để đường thẳng  : y  ax  2b  cắt Bài Cho hàm số y   C hai điểm phân biệt M , N cho M , N đối xứng qua O Đường thẳng y  x cắt  C  hai điểm A , B Tìm m để đường thẳng y  x  m cắt  C  C, D cho ABCD hình bình hành x có đồ thị  C  x1 Tìm điểm M thuộc  C  , cho khoảng cách từ M đến đường Bài Cho hàm số y  thẳng  :2x  y    Bằng  Nhỏ Tìm hai điểm A ,B thuộc hai nhánh  C  cho AB nhỏ Tìm N � C  cho khoảng cách từ N đến Oy gấp đôi khoảng cách từ N đến Ox 163 Tìm A � C  cho tổng khoảng cách từ A đến hai trục tọa độ nhỏ Bài Chứng minh với điểm A ,B,C phân biệt thuộc đồ thị  C  : y   x tam giác ABC có trực tâm H thuộc đồ thị  C  3x  Bài Cho hàm số y  có đồ thị  C  x Tìm điểm nằm  C  cách hai trục tọa độ Tìm điểm M nằm  C  , cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ Tìm hai điểm A, B nằm hai nhánh  C  cho AB nhỏ Tìm M thuộc  C  cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 x Bài Cho hàm số y  có đồ thị  C  Tìm điểm M đồ thị  C  x1 cho khoảng cách từ M :  : 3x  4y   Đến đường thẳng  d  : 2x  y   Đến Oy gấp đôi khoảng cách từ M đến Ox x Bài Chứng minh A ,B,C thuộc  C  : y  trực tâm H tam giác x ABC thuộc  C  mx  có đồ thị  C m  2x  m Tìm điểm cố định mà họ đồ thị  C m  qua Bài 10 Cho hàm số y  Tìm tập hợp điểm mà khơng có đường cong họ  C m  qua x Bài 11: Cho hàm số y = có đồ thị (C) x1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Tìm điểm (C) có tọa độ x, y số nguyên Chứng minh tích khoảng cách từ điểm M tùy ý (C) đến hai đường tiệm cận (C) số khơng đổi Tìm điểm (C) cho tổng khoảng cách từ điểm đến hai đường tiệm cận (C) nhỏ mx2  (3m2  2)x  (1), với m số thực x  3m Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m  Bài 12: Cho hàm số y  164 Tìm m để góc hai tiệm cận đồ thị hàm số (1) 450 mx  Bài 13: Cho hàm số y  có đồ thị  C m  ,m tham số 2x  m Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m   Xác định tham số m để tiệm cận đứng đồ thị qua điểm A 1;  Chứng minh với mọi giá trị tham số m , hàm số đồng biến khoảng xác định x2  3x  , có đồ thị (C) x1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Cho M điểm nằm (C) , tiếp tuyến (C) M cắt hai đường tiệm cận (C) hai điểm A ,B Chứng minh diện tích tam giác IAB ( I giao hai tiệm cận) không phụ thuộc vào M M trung điểm đoạn AB Bài 15: Cho hàm số y  x   có đồ thị (C) x1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) hàm số Tìm (C) điểm có tọa độ số nguyên Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận Chứng minh khơng có tiếp tuyến (C) qua I Chứng minh tích khoảng cách từ điểm thuộc (C) đến hai tiệm cận không đổi Bài 16: Cho hàm số y  2x  1 có đồ thị  C  x1 Khảo sát vẽ đồ thị  C  hàm số Bài 14: Cho hàm số f  x  Chứng minh đồ thị  C  nhận giao điểm I hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng Chứng minh tích khoảng cách từ điểm thuộc  C  đến hai tiệm cận  C  số không đổi 2x  có đồ thị (C) x1 Khảo sát biến thiên vẽ (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân Chứng minh mọi tiếp tuyến (C) tạo với hai tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi Bài 17: Cho hàm số y  x2  mx  m2  2m  (1) x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Bài 18: Cho hàm số y  165 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị hai điểm cực trị cách đường thẳng  : 2x  y   2x  Bài 19: Cho hàm số y  có đồ thị (C) x1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Chứng minh đồ thị (C) có hai trục đối xứng Tìm tất cặp điểm M ,N nằm hai nhánh (C) cho MN có độ dài nhỏ Tìm tất điểm K thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) K tạo với hai trục tọa độ tam giác có chu vi nhỏ  4x Bài 20: Cho hàm số y  có đồ thị (C) 1 x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)của hàm số Gọi M điểm (C) , d tiếp tuyến (C) M , d cắt hai đường tiệm cận (C) hai điểm A, B gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C) a) Chứng minh M trung điểm đoạn AB b) Chứng minh tam giác IAB có diện tích khơng đổi c) Tìm điểm M cho tam giác IAB có chu vi nhỏ 2x  Bài 21: Cho hàm số y = có đồ thị (C) x1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)của hàm số Tìm điểm thuộc (C) cách hai trục tọa độ Tìm điểm thuộc hai nhánh khác (C) cho khoảng cách hai điểm ngắn Bài 22: mx2   2m  1 x  có đồ thị  C m  ,m�� x a Chứng minh với mọi m  hàm số ln có cực đại , cực tiểu b .Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  hàm số với m  1 Cho hàm số y  c Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C  hàm số biết tiếp tuyến qua A  1;0 Cho hàm số y  x2  x1  1 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số  1 b Tìm đường thẳng y  điểm mà từ kẻ đúng tiếp tuyến đến đồ thị hàm số x2  x  Bài 23 Tìm m để đường thẳng y  2x  m cắt đồ thị hàm số y  x hai điểm A ,B cho trung điểm đoạn AB thuộc Oy 166 Bài 24 Tìm tất giá trị m để đường thẳng y  x  m cắt đồ thị hàm số y  x2  hai điểm phân biệt A ,B cho AB  x x2  4x  Bài 25 Tìm k để đường thẳng d : y  kx  cắt đồ thị  C  : y  x 2 điểm phân biệt A ,B Tìm quỹ tích trung điểm I A ,B x2  2x  có đồ thị  C  x1 Tìm hai điểm thuộc hai nhánh  C  cho khoảng cách chúng nhỏ Tìm m để đồ thị  C  tồn hai điểm A  xA ;yA  , B xB ;yB  thỏa mãn: Bài 26 Cho hàm số y  � 2xA  yA  m � 2xB  yB  m � x2  x  có đồ thị  C  Gọi  C' đồ thị đối x1 xứng với  C  qua điểm A  3;4 Tìm phương trình đồ thị  C' Bài 27 Cho hàm số : y  Bài 28 Tìm đồ thị  C  : y  x  4x  điểm M có khoảng cách x đến đường thẳng 3x  y   nhỏ Bài 29 Tìm đồ thị �1 � qua điểm I � ;1� �2 � 167  C : y x2  3x  tất cặp điểm đối xứng x ... phương trình : 2x  x   x1 Bài 15: Cho hàm số y  x3  3mx2 (C m ) , với tham số thực m Giả sử tiếp tuyến (C) A, B song song với Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m  Chứng minh trung điểm... 2(m  1)x2  3(m  1)x  (1) ( m tham số ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) hàm số (1) m = Tìm giá trị tham số m để hàm số (1) nghịch biến � Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số (1) tồn... thị (C) hàm số m = 2.Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x – 144 Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại điểm cực tiểu có hồnh