Cđ13 1 ba đường phân giác

BÀI 2: TÍNH CHẤT CÁC ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG VÀ PHÂN GIÁC NGOÀI A Các kến thức cần nhớ Định lý A B C D Trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời đường trung tuyến tam giác Xét ABC có   ABC cân A BAD DAC  BD DC Định lý A F E I B C D Ba đường phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác Trong hình bên, ta có A  A  ,B  B  ,C  C   ID IE IF 2 Nhận xét: Điểm chung ba đường phân giác tam giác cách ba cạnh tam giác gọi tâm đường trịn nội tiếp tam giác B Bài tập Dạng 1: Tính số đo góc tam giác, dựng hình theo yêu cầu I Phương pháp giải  Sử dụng tính chất tia phân giác góc  Tính chất ba đường phân giác tam giác qua điểm  Tính chất tổng ba góc tam giác 180 II Bài toán Bài 1: Cho tam giác ABC Các tia phân giác góc B C cắt I A 700 , a Biết tính số đo A  BIC   b Biết BIC 140 , tính số đo A A  BIC 900  c Chứng minh: I C B Lời giải 0      a Xét ABC  B  C 110  IBC  ICB 55  BIC 125 0      b Xét BIC  IBC  ICB 40  ABC  ACB 80  BAC 100  C  A A B 1800  A 0 BIC 1800  ( IBC    ICB ) 180  180  1800  (900  ) 900  2 2 c Ta có: Bài 2:  Cho xOy 50 Lấy điểm A  Ox, B  Oy x   Các tia phân giác xAB ; yBA cắt E AEB a Tính số đo b Các đường AE , BF cắt phân giác E A K 50° O B   góc xOy K , F Biết OBA 40 Tính góc KEF F Lời giải y 0    a Xét AOB, O 50  OAB  OBA 130 mặt khác:   xAB 1800    yAB 180   OAB    xAB  yAB 2300  EAB  EBA 1150 OBA 0  - Xét AEB  AEB 180  115 65 0   b Tương tự, tính được: EKF 70  KFE 45 Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh   AC lấy điểm D cho ABC 3 ABD B   cạnh AB lấy E cho ACB 3 ACE Gọi F I giao điểm BD CE , I giao điểm E tia phân giác tam giác BFC a Tính F  BFC A b Chứng minh tam giác DEI tam giác C D Lời giải    C  900 ; FBC   B  FCB  (B  C ) 600  C 120  FBC : BF a Ta có: 0       b BFC 120  BFE CFD 60 FI phân giác góc BFC  BFI CFI 60 BED BID(cgc )  ED DI ; CDE CIE (cgc )  DE EI (2)  DE EI ID  DEI Bài 4:  Cho tam giác ABC , A 120 Các tia phân A E ABC cắt đường thẳng AC F Chứng minh a BO  BF  y F giác góc A C cắt O , cắt cạnh BC AB lân lượt D E Đường phân giác góc đỉnh B tam giác x B O D  b BDF  ADF c Ba điểm D , E , F thẳng hàng Lời giải a BO BF hai tia phân giác hai góc kề bù nên vng góc với  0    b FAB  BAC 180 ; BAC 120  FAB 60 C    BAD DAC 600 - AD tia phân giác góc BAC     - FAy DAC 60  BAF FAy - Xét tam giác ABD có hai đường phân giác góc ngồi đỉnh A B cắt F , suy DF   phân giác góc ADB Vậy BDF  ADF c Xét tam giác ACD có phân giác góc C phân giác ngồi đỉnh A cắt E , suy DE phân giác góc ngồi đỉnh D - DE DF tia phân giác góc ADB , ba điểm D , E , F thẳng hàng Bài 5: Cho hai tam giác vuông cân ABC DBC F cạnh huyền BC Đường thẳng d qua D cắt cạnh AB E , cắt đường thẳng AC F Đường phân giác góc BDE cắt BC I , cắt AB M , hai điểm A B hai nửa mặt phẳng khác bờ BC M B  a Chứng minh EI phân giác BED b Từ M kẻ đường vng góc với DE , cắt E A H AC N , cắt DE H Chứng minh NH NC c Đường thẳng DN cắt BC K Chứng I N  minh FK phân giác DFC K C D Lời giải    a Vì ABC , DBC tam giác vuông cân nên ABC DBC 45  BC phân giác DBE  - DM phân giác BDE Hai phân giác cắt I , suy EI phân giác góc ˆ BED b MBD MHD  DH DB; DB DC  DH DC  DNH DNC  NH  NC   c Ta có CB phân giác góc ADC , DN phân giác góc FDC Trong tam giác DCF , hai phân giác CB DN cắt K Vậy FK phân giác góc  DFC Bài 6: Cho ABC vng A , có AB 6cm , C  600 , B kẻ đường phân giác BD ( D  AC ) Tính độ dài đoạn thẳng BD , AD , DC 2x 12 D 2x x 30° 30° A B Lời giải 0       Do B 60  C 30 ; B1 B2 30  B1 C  DB DC - Đặt AD x(cm)  BD DC 2 x(cm) 2 - Theo pytago  (2 x) x  36  x 2 3(cm)  BD 4 3(cm); DA 2 3(cm); DC 4 3(cm) Bài 7:  Cho ABC có A 120 , phân giác AD y Đường phân giác đỉnh C cắt đường thẳng AB M Gọi N giao điểm DM C ˆ AC Tính BND D N M A B Lời giải Gọi Ax tia đối tia AD; Cy tia đối tia CB CM, AM phân giác ADC  M thuộc phân giác đỉnh D     DM phân giác ADC  D1 D2 - Xét ADB có DM , AC phân giác ngoài, mà DM cắt AC N nên BN phân giác ABD  B  B     - Ta có: D1 DNB  B1    B   ( ADC  ABD )  DAB  BND)  BND D 300 1 2 (góc ngồi (Góc ngồi tam giác) Bài 8: Cho ABC cân A , M trung điểm A BC , kẻ MH  AB( H  AB) Gọi P điểm thuộc cạnh AH , AC lấy Q cho APQ 2MNP  QM Chứng minh Q tia phân P  giác PQC ? H B M C Lời giải  900  M  1 P  (1) PHM : P 1  1800  P   P  900  P  (2) P -  P   PM   P BPQ phân giác Từ (1)(2) Xét APQ, có AM phân giác trong, PM phân giác nên QM phân giác (đpcm) Bài 9: Cho ABC vuông A , kẻ AH  BC H B  AD phân giác CAH M trung điểm AD , I giao điểm đường phân giác I   góc BAH , BHA ABH Chứng minh E 2 H 1 F rằng: a B , I , M thẳng hàng b Qua I kẻ đường vng góc với BC E , A đường thẳng cắt AB F Chứng minh rằng: FE FA  HE Lời giải D M C   a B, I , M thẳng hàng  BI BM  ABD cân B  B1 B2       Có: A1  A2 ; A1  D1 90 ; A2  BAD 90  ABD cân     b FE FA  HE  FI  IE  AE  HE  AFI ; EIH cân E F  I1  A3 ; I H ( SLT ) Bài 10: A  Cho ABC có BAC 80 Gọi I giao điểm hai đường phân giác kẻ từ góc Bˆ Cˆ  Tính góc BIC I B Lời giải  Ta có BI phân giác ABC  IBC  ABC Suy  Ta có CI phân giác BCA   ICB  BCA Suy Xét IBC có:       BIC  IBC  ICB 180  BIC  ABC  BCA 180 2 C 1       BIC  ( ABC  BCA ) 180  BIC 180  ( ABC  BCA ) 2 1     BIC 180  (180  BAC )  BIC 90  BAC 2  BIC 90  80 130 Suy Bài 11:  Cho ABC có BAC 60 Gọi I giao điểm A hai đường phân giác kẻ từ góc Bˆ Cˆ  Tính góc BIC I B Lời giải  Ta có BI phân giác ABC  IBC  ABC Suy  Ta có CI phân giác BCA   ICB  BCA Suy Xét IBC có:       BIC  IBC  ICB 180  BIC  ABC  BCA 180 2 1       BIC  ( ABC  BCA ) 180  BIC 180  ( ABC  BCA ) 2 1     BIC 180  (180  BAC )  BIC 90  BAC 2  BIC 90  60 120 Suy Bài 12: C  Cho ABC có BAC a Gọi I giao điểm A hai đường phân giác kẻ từ góc Bˆ Cˆ  Tính số đo góc BIC theo a I C B Lời giải  Ta có BI phân giác ABC  IBC  ABC Suy  Ta có CI phân giác BCA   ICB  BCA Suy Xét IBC có:       BIC  IBC  ICB 180  BIC  ABC  BCA 180 2 1       BIC  ( ABC  BCA ) 180  BIC 180  ( ABC  BCA ) 2 1     BIC 180  (180  BAC )  BIC 90  BAC 2  BIC 90  a Suy Bài 13: Cho ABC AH  BC có A  BAH 2Cˆ Tia phân giác góc B cắt AC E Tia phân giác góc E  BAH cắt BE I Tính EAI I C H Lời giải     Xét AHB vuông ta có: BAH  ABH 90 mà BAH 2C ABH 2 IBH     IBH   C 90   IBH    EBH   2C 90 C 45 B    Xét BEC có AEI góc ngồi đỉnh E nên AEI ECB  EBC 45    IAB  90 Xét AHB có: ABH  HAB 90  IBA   IAB   IBA 45    Xét AIB có AIE góc ngồi đỉnh I nên AIE IAB  IBA 45 Xét IAE có: AIE 45  AEI     EAI 180  AEI  AIE 90 (tổng ba góc tam giác) Bài 14:  Cho ABC có A 120 Các đường phân x giác AD, BE Tính số đo góc BED A E B 2 D C Lời giải Gọi Ax tia đối AB 1   BAD DAC  BAC 60   Ta có: (vì AD tia phân giác BAC ) nên CAx 60 Xét ABD có AE tia phân giác góc ngồi đỉnh A , BE tia phân giác góc B chúng cắt E , nên DE tia phân giác góc ngồi góc D     Mà EDC góc ngồi đỉnh D BED , nên BED  B2 EDC          B   ADC  ABC  ABD  BAD  ABC  BAD 30 BED D 2 2 Do 10 Bài 2: Cho ABC Gọi I giao điểm ba đường phân giác tam giác Chứng minh A điểm I cách ba cạnh ABC L K I B C H Lời giải Kẻ IK  AB; HI  BC ; IL  AC Ta có IK  AB; ; HI  BC BI phân giác ABC (1) Suy IK HI (định lí) Ta có HI  BC ; IL  AC  CI phân giác BCA (2) Suy IH IL (định lí) Từ (1) (2) Suy IK IH IL Suy I cách ba cạnh tam giác ABC Bài 3: Cho ABC cân A Gọi D trung điểm A BC , I giao điểm đường phân giác BF , CE Chứng minh ba điểm A , D , I thẳng hàng E F I B Lời giải 13 D C Xét ABC có I giao điểm đường phân giác BF , CE  1  AI đường phân giác góc A Xét ABD ACD có: AB  AC ( ABC cân A ) AD cạnh chung BD CD ( D trung điểm BC )  ABD ACD  c  c  c     BAD CAD (2 góc tương ứng)  2  AD đường phân giác góc A Từ  1 ,   suy A; I ; D thẳng hàng Bài 4: Cho ABC cân A Hai đường phân giác BE A CF cắt I Chứng minh BE CF F E I B Lời giải   IBC  ABC  Ta có BI phân giác ABC    ICB  BCA  Ta có CI phân giác BCA   Mà ABC  ACB (do ABC cân A )   Suy IBC ICB Xét BFC CEB có   IBC ICB (chứng minh trên) BC cạnh chung ABC  ACB (do ABC cân A ) 14 C  BFC CEB (g-c-g)  BE CF (hai cạnh tương ứng) Bài 5: Cho ABC gọi I giao điểm hai tia phân giác góc A góc B Qua I kẻ đường thẳng song song với BC , cắt AB M , cắt AC A N Chứng minh MN BM  CN M B I N C Lời giải Ba phân giác tam giác qua điểm nên CI tia phân giác góc C   Vì MN //BC nên C1 I (2 góc so le trong)     Mà C1 C2 nên C2 I Do NIC cân nên NC NI (1) Tương tự, ta có: MB MI (2) Từ  1   ta có: MI  IN BM  CN hay MN BM  CN Bài 6: Cho ABC Hãy tìm điểm cho khoảng cách từ điểm đến đường thẳng A AB, BC , CA nhau, đồng thời khoảng cách ngắn I B Lời giải Gọi I điểm cần tìm Vì khoảng cách từ I đến AB, BC , CA Nên I cách ba đoạn thẳng AB, BC , CA 15 C Suy I giao điểm ba đường phân giác ABC Mà đường vng góc đường ngắn nên I thỏa mãn yêu cầu toán Bài 7: Cho tam giác ABC cân A Gọi G trọng tâm, I điểm nằm tam giác cách ba cạnh tam giác Chứng minh ba điểm A A, G , I thẳng hàng N B G I M C Lời giải Gọi M , N trung điểm CA BA ABC cân A có BM , CN đường trung tuyến ứng với cạnh AC , AB  BM CN 2 GB  BM ; GC  CN 3 Mà (Tính chất trọng tâm tam giác)  GB GC Xét AGB AGC có AG chung AB  AC (do ABC cân A ) GB GC (chứng minh trên)  AGB AGC (c-c-c)    BAG CAG (hai góc tương ứng)   G thuộc tia phân giác BAC Theo đề I cách ba cạnh tam giác  I điểm chung ba đường phân giác   I thuộc tia phân giác BAC  Vì G, I thuộc tia phân giác BAC nên A, G , I thẳng hàng 16 Bài 8: Cho ABC cân A Đường phân giác BD, CE góc B C cắt O Từ O , kẻ OH  AB, OK  AC Chứng minh: a) BCD CBE b) OB OC c) OH OK Lời giải a) BCD CBE ;  DBC  ABC  Ta có BD phân giác ABC Suy   ECB  BCA  Ta có CE phân giác BCA Suy   Mà ABC  ACB (do ABC cân A )   Suy DBC ECB Xét BCD CBE , ta có   DBC ECB (chứng minh trên) BC cạnh chung ABC  ACB (do ABC cân A )  BCD CBE (g-c-g) b) OB OC ;   Ta có DBC ECB (chứng minh trên) Suy OBC cân O 17 Suy OB OC c) OH OK Xét ABC có: BD; CE phân giác góc B; C Và BD cắt CE O Suy AO phân giác góc A Mà OH  AB, OK  AC (giả thiết) Suy OH OK (giả thiết) Bài 9: Cho ABC nhọn có góc Aˆ 60 Phân giác A ABC  cắt AC D , phân giác ACB cắt AB E BD cắt CE I D E  a) Tính số đo BIC b) Trên cạnh BC lấy điềm F cho BF BE Chứng minh CID CIF c) Trên cạnh IF lấy điềm M B I F N cho IM IB  IC Chứng minh BCM tam giác M Lời giải   B   ABC B  a) BD phân giác ABC nên   C   ACB C  CE phân giac ACB nên Xét ABC có:  BAC  ABC  ACB 180 (tổng góc tam giác)  60  ABC  ACB 180  C  60  BIC   ABC  ACB 120  B 120   b) BIE BIF (c.g.c )  BIE BIF 18 C     BIC 120  BIE 60  BIE BIF 60     Mà BIE  BIF  CIF 180  CIF 60   CID BIE 60 (đối đỉnh)    CIF CID 60  CID CIF (g.c.g) c) Trên đoạn IM lấy điềm N cho IB IN  NM IC   BIN  BN BI BNM 120  BNM BIC (c – g - c)    BM BC B2 B4  BCM Bài 10: Cho ABC có Aˆ 90 Vẽ phân giác BD CE A  D  AC , E  AB  chúng cắt O Trên BC lấy hai điểm M N cho BM BA , CN CA E a) Chứng minh EN song song với DM B b) Gọi I giao điểm BD AN Chứng minh AIM vuông cân D I O N M Lời giải a) Chứng minh EN song song với DM ABM cân, nên phân giác BD đồng thời đường trung trực AM ACN cân, nên phân giác CE đồng thời đường trung trực AN Suy DA DM , EA EN Dẫn tới ABD MBD , ACE NCE (c – c – c)     Suy DMB DAB 90 ; ENC EAC 90 Hay EN  BC , DM  BC Do EN / / DM b) Chứng minh AIM vuông cân  Phân giác BD phân giác CE cắt O cho tia AO phân giác BAC   OAE 45 19 C  1   OAE ONE (c – c – c)  OAE ONM 45 Theo chứng minh câu b, ta thấy, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN  2  OM ON hay OMN cân O Từ  1   suy OMN vuông cân O     Dễ chứng minh MON 2MAI  2MAI 90  MAI 45 AIM có IA IM (do I thuộc trung trực BD AM nên cân I )  Lại có MAI 45 Vậy AIM vng cân I BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Đề HSG Tốn 7_huyện_Hạ Hịa_2010-2011 Cho ABC vng B Vẽ tia AD phân  BCA  E  AB  K B  giác BAC ( D  BC ) Vẽ tia CE phân giác D E Hai tia AD CE cắt I I A  a) Chứng minh CIA 135 b) Vẽ tia Cx tia đối tia CA Tia phân giác góc BCx cắt tia AD K Tính góc  CKA Lời giải a) Xét AIC ta có: AIC  CAI   ACI 1800   AIC 1800  CAI  ACI    ACB   BAC 1800      2   Mà ABC B nên 20 C x